2024-2025年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

2024年浙江省中学数学竞赛试题及具体解析答案范围为()A.a≥3B.a≤-1.2.若α,β∈R,则α+β=90是sina+sinβ>1的()3.已知等比数列{a,}:a₁=3,且第一项至第八项的几何平均数为9,则第三项是A.z=2+2iB.C.z=-2+2i,或z=2-2iD.z=2+2i,或z=-2-2i否是输出K7.若三位数abc被7整除，且a,b,c成公差非零的等差数列，则这样的整数共有()个。8.已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为()。1 21 210.已知f(x),g(x),h(x)为一次函数，若对实数x;1二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分)17.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限x,y轴上的整点),其运动规律为(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1)。若该动点从原点动身，经过6步运动到(6.2)点，则有种不同的运动轨迹。两点。证明，存在唯一一点K,使得为常数，并确定K点的坐标。557961四、附加题：(本大题共有2小题，每题25分，共50分。)21.设a,b,c∈R*,ab+bc+ca≥3,证明a⁵+b⁵+c⁵+a³(b²+c²)+b³(c²+a²)+c22.从0,1,2,…,10中选择若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”,若各试问：对图1和图2是否存在完备填法?若存在，请给出一种完备填法；若不存在，请说明A7(图2)2024年浙江省中学数学竞赛答案一、选择题(本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分)2.答案D若a=0,β=90→sina+sinβ=1。3.答案B计算a=33x。4.答案D5.答案B6.答案C7.答案D设三位数为(b-d)b(b+d)=111b-99d(O≤b<9,-9<d<9,d≠0),由7|(111b-99d)>7|(b+d)→b=210,420,630,147,8408.答案D从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。10.答案C二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分)11.解答：由所以,13.解答..14.解答把等式看成关于x的一元二次方程15.解答曲线关于(0,1)点对称，设直线方程为y=kx+1,A(x,y),则17.解答三、解答题(本大题共有3小题，每题17分，共51分)形(2-t)²=[a(t²-1)+2bi]²≤(a²+b²)((t²-1)²+t²)=(a²+b²)(1+t……………12分,时取等号，故(以下同(a,b)到原点的距离大于原点到直线的距离，即(以下同20.解：首先，a₁=(x+1)²x²02-1+(i-1)x²3,-----------2分则b₄₂-a₁=(b+2-b₄)-(a₄₁-a₁)+(b₄四、附加题：(本大题共有2小题，每题25分，共50分。)22.解答对图1,上述填法即为完备(答案不唯一)。………………10分对于图2不存在完备填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的肯定值恰好为，1,2,3,……,10,……………15分另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都2012年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题(本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分)2.下列函数中，既是奇函数，又在区间(-c,+x)上单调递增的函数为(C)A.y=x²+xB.y=x+2sinxC.y=x³+xA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分也非必要条件1NY解答：计算得正确答案为B。则取值范围为(D2,0)与(1,0)距离3,最小值就是点(-2,0)到线段的距离正确答案为D。9.已知F₁.F₂分别为双曲线C:的左、右焦点，点A的坐标为则∠F₁AF₂的平分线与x轴交点M的坐标为(A).A.(2,0)B.(-2,正确答案为A。A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实数根f(x)>x,所以f(f(x))>f(x)>x。正确答案为D。二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，11.设直线y=ax-4与y=8x-b关于直线y=x对称，则解答：y=ax-4关于y=x对称的直线方程为,且且14.已知实数a,b.c.d满足ab=c²+d²=1,则(a-c)²+(b-d)²的最小值为15.设{a。}为等比数列，且每项都大于1,则的值为解答：当公比为1时，则·解答：补全幻方4017+2012=x-2003+x→x=4016。9X三、解答题(本大题共3小题，每小题17分，共计51分)x。 (10) ,,所以=(x;+x₂)²-2xX₂-2a(x₁+x₁)+(Y₁+y₂)² (15) () (5) (10) xi=N-√N²-q,x;=N+√N²-q……(17)21.解答：(1)根据弦切角等于圆心角之半，我们有所以(2)O₄O+OO₁=(OR+OP)+(OR+OR)=(=(O₄R+O₃P)+(O₁R+O₂R)(3)由(1)(2)四边形RPRR的四条边的垂直平分线交于一点O,0也是所以，(3)的结论成立。 (25)22.设i,,i₂…,in为1,2,…,10的一个排列，记S=|i-i|+|i₂-i(|+…+j,-io|·求S可以取到的所有值。22.解答：因为S≥1+1+1+1+1=5,S≤6+7+8+9 (5) (10)下面证明S可以取到从5到25的所有奇数。记f(1,2,3,4,6;5,7,8,9,10)=23,f(1,2,3,4,7;5,6,8f(1,2,3,4,8;5,6,7,9,10)=19,f(1,2,3,4,9;5,6,7,8,10)=17,……f(1,2,3,5,9;4,6,7,8,10)=15,f(1,2,3,6,9;4,5,7f(1,2,3,7,9;4,5,6,8,10)=11,f(1,2,4,7,9;3,5, (20) (25)AA2024年浙江省中学数学竞赛试题一、选择题(本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分)A.2sinθB.-2sinθc.-2c3.设A,B为两个互不相同的集合，命题P:x∈A∩B,命题q:x∈A或x∈B,则p85.函数则该函数为()6.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为(A)侧视图俯视图(圆和正方形)若程序运行中输出的一个数组是(x,-10),则数组中的x=()A.64BA.64B成平面区域的面积为()在为()10.已知a∈[-1,1],则x²+(a-4)x+4-2a>0的解为()A.x>3或x<2B.x>2或x<1C.x>3或x<1D.1<x<3二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分)NY11.函的最小正周期为.(含端点),D为BC边上的中点，且PD⊥PE。则直线AP,PE的夹角为_。16.公路上有编号为1,2,3,…,2024的2024只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满意条件的关灯方法共有 种。(用组合数符号表示)三、解答题(本大题共3小题，每小题17分，共计51分)19.给定两个数列{x,},{y,}满意x₀=yo=1,20.已知椭圆过其左焦点F作一条直线交椭圆于A,B两点，D(a,0)为F右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过F,求a的 4.解答：椭圆的右焦点为(1,0),则弦AB为y=x-1,代入椭圆方程得5.解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分所以该几的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)满意ax-2by≤2,即有a+2b≤2,a-2b≤2,-a-2b≤2,-a+2b≤2,由此计算动点P(a,b)所形成平面区域的面积为4。正确答案为A。m的取值范围正确答案为C。11.解答：最小正周期为4π。其最大值为3,最小值为1,取值范围为[1,3]。PE,又PE⊥PD,PE⊥平面APD,所以PE⊥PD。即夹角为90。4(x²+y²)=10x-x²=25-(5-x)²≤25-3²16.解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。都是整数，所以前两个方程组无解；后两个为2,公比为2,所以设A(x,y₁),B(x₂,y₂),得,同,,而,而y,2024年浙江省中学数学竞赛试卷本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道,,一、选择题(本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分)1.化简三角有理式的值为()A.1B.sinA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a,b为两个相互垂直的单位向量。已知OP=a,OQ=b,OR=ra+kb.若△PQR为等边三角形，则k,r的取值为()B7.若x∈R*,则(1+2x)'⁵的二项式绽开式中系数最大的项为()C.第8项和第9项D.第11项8.讠,则下述关系式正确A.a>b>cB.b>c>a9.下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为()的半圆以及高为1的矩形以及高为1的矩形半径为1的圆YN假如输入A=144,B=39,则输出的结果是()A.144B.3二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分)为12.x∈R,函数的最小正14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试三、解答题(本大题共有3小题，每题17分，共51分)问：(1)这个数列第2024项的值是多少；(2)在这个数列中，第2024个值为1的项的序号是多少.19.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每20.已知椭圆),Ri△ABC以A四、附加题：(本大题共有2小题，每题25分，共50分。),(2)进而设a是一个正整数，证明：(注[x]表示不超过x的最大整数)分母=(sin²x+cos²x)(sin⁴x+cosP={x|-6≤x≤-3},C₄P={x|x<-6,4.解答.C.,,9.解答：C.依据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。10.解答B(1)A=144,B=39,C=27:(2)A=39,B=27,C=12:(3)A=2二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分) 解答如图，(1)AD=AC=BD;(2)DC=AC,AD=BD。BB在(1)中，设最小的角为x,则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45;在(2)中，设最小的角为x,则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30当b=0,无解；当 解时x²-x+1答最小值为,,,17.0或q.其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q-三、解答题(本大题共有3小题，每题17分，共51分)18.解(1)将数列分组：因为1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2024,所以数列的第2024项属于第63组倒数第7个数，即为--10分(2)由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1,所以第2024个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2024位，所以第2024个值为1的项的序号为19.解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为x,y,z,则有1≤x,y,z≤9,且xyz=(10-x)(10-y)(10-z)----------5分即有此时，y可取1,2,…,8,9(相应地z取9,8,…,2,1),共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有x=y=z时二种放法重复。因此可得共有9×3-2=25种放法。,,有分(不合题意，舍去),∴a=3.:分分=(1-α)(1-β)(1-γ)+αβy≥aβy,等号成立⇔α=1或β=1或y=1。---20分22.证明(1)考虑区域O<x≤n,O<y≤m,且该区域上的格点为nm个。组成。在区域E上，直线段x=k(k∈N+,1≤k≤n)上的格点为[ak³]个，所以(1)中的N=n。同时，m=an³。将以上数据代入(1)得2009年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分)A.{1}B.(1.2}C.(1,2.3}D.2.已知椭圆上一点P到点(4.0)距离等于4,则P点到直线的距离为(由于直线为椭圆的左准线方程，则P到直线的距离为4.已知平面上单位向量,则下列关系式正确的是(B)5.方程x³-12x+a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(A)A.(-16.16)B.[-16.16]C.(-,-8)D.(8.+x)的图形(C)解：由题意,则动点(x,y)形成的图形关于直线y=x对(等腰直角三角边长为1,高为1)否是。解：(1)x,y,z的取法有6种；(2)x,y,z不取2,4,6的取法有3³种；(3)x,y,z不取5的取法有5种；(4)x,y,z不取2,4,5,6(2)求B到平面ASC的距离；(2)设平面ASC的法向量为π=(x.y,z),则π⊥(17分)(17分)解：设y²=2pe,y₁²=2pm₂,则。又因为QA⊥OB,所以 (7分)≈0<a+b≤√Sa(此不等式显然成立)此时同样有j(x,)fQ)|fu,|≤f(0)≈a²+b³-ab≤3a(12分)综合1),2),3),有(17分)(17分)四、附加题(本大题共2小题，每小题25分，共计50分)注：附加题每题的得分只能是：0,5,10,15,20,25,即5分为一个档次。,并证明之。。试求21.设x,εR*(i=1,2,…,2010)