一元二次不等式与基本不等式

一元二次不等式与基本不等式班级姓名 题组一一元二次不等式的解法1．已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0))的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是________．2．解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．3．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.题组二基本不等式4.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2)B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤35．设a、b是正实数，以下不等式①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④6.设x、y均为正实数，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，则xy的最小值为()A．4B．4eq\r(3)7．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)(x∈(0，eq\f(1,2)))取得最小值时x的值为()A．1B.eq\f(1,5)C．2D.eq\f(1,3)8．(2010·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值时，函数f(x)的解析式是________．9．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8.题组三不等式的应用问题10.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台11．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？12．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为eq\f(f(10),10))的月饼最少为()A．18B．27C13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．14.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？题组四不等式的恒成立15．已知关于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________16．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．8B．6C．417.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是()A．a≥2或a≤－3B．a＞2或a≤－3C．a＞2D．－2＜a＜218．设奇函数f(x)在上是单调函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈都成立，当a∈时，则t的取值范围是________．

参考答案：1．已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0))的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是________．解析：因为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0))的解集是{x|2＜x＜3}，设f(x)＝2x2－9x＋a，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤0，,f(3)≤0，))解得a≤9.答案：a≤92．解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．解：由12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0⇔(x＋eq\f(a,4))(x－eq\f(a,3))>0，①a>0时，－eq\f(a,4)<eq\f(a,3)，解集为{x|x<－eq\f(a,4)或x>eq\f(a,3)}；②a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a<0时，－eq\f(a,4)>eq\f(a,3)，解集为{x|x<eq\f(a,3)或x>－eq\f(a,4)}．3．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝\f(3,a)，,1×b＝\f(2,a).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.综上所述：当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.题组二基本不等式4.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2)B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：法一：由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)得ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝1，又a2＋b2≥2ab⇒2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒a2＋b2≥2.法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.答案：C5．设a、b是正实数，以下不等式①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2eq\r(ab)⇒1≥eq\f(2\r(ab),a＋b)⇒eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b).当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋eq\f(2,ab)≥2eq\r(ab·\f(2,ab))＝2eq\r(2)>2恒成立．答案：D6.设x、y均为正实数，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，则xy的最小值为()A．4B．4eq\r(3)解析：由eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2eq\r(xy)(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2eq\r(xy)－8≥0，可解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D7．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)(x∈(0，eq\f(1,2)))取得最小值时x的值为()A．1B.eq\f(1,5)C．2D.eq\f(1,3)解析：由eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)得，f(x)＝eq\f(22,2x)＋eq\f(32,1－2x)≥eq\f((2＋3)2,2x＋(1－2x))＝25.当且仅当eq\f(2,2x)＝eq\f(3,1－2x)时取等号，即当x＝eq\f(1,5)时f(x)取得最小值25.答案：B8．(2010·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值时，函数f(x)的解析式是________．解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故eq\f(1,2)a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,2)a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(3,2)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(3,2)＋eq\r(2).当且仅当b＝eq\f(\r(2),2)a时取等号，将b＝eq\f(\r(2),2)a代入eq\f(1,2)a＋b＝1得a＝2eq\r(2)－2，故f(x)＝(2eq\r(2)－2)x＋1＋1.答案：f(x)＝(2eq\r(2)－2)x＋1＋19．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8.证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，∴(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)＝eq\f((1－a)(1－b)(1－c),abc)＝eq\f((b＋c)(a＋c)(a＋b),abc)≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时取等号．题组三不等式的应用问题10.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台解析：依题意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200，因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．答案：C11．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得y＝×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－(1.2－1)×1000＞0，,0＜x＜1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x＞0，,0＜x＜1.))解得0＜x＜eq\f(1,3).∴投入成本增加的比例应在(0，eq\f(1,3))范围内．12．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为eq\f(f(10),10))的月饼最少为()A．18B．27C解析：平均销售量y＝eq\f(f(t),t)＝eq\f(t2＋10t＋16,t)＝t＋eq\f(16,t)＋10≥18.当且仅当t＝eq\f(16,t)，即t＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d千米处，由已知y1＝2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20，∴y1＝eq\f(20,d)，y2＝8＝k2·10，得k2＝eq\f(4,5)，∴y2＝eq\f(4,5)d，∴y1＋y2＝eq\f(20,d)＋eq\f(4d,5)≥2eq\r(\f(20,d)·\f(4d,5))＝8，当且仅当eq\f(20,d)＝eq\f(4d,5)，即d＝5时，费用之和最小．答案：514．为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－eq\f(2,m＋1)，每件产品的销售价格为1.5×eq\f(8＋16x,x)(元)，∴2010年的利润y＝x·－(8＋16x)－m＝－[eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．(2)∵m≥0，∴eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq\r(16)＝8，∴y≤29－8＝21，当eq\f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3，ymax＝21.∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．题组四不等式的恒成立15．已知关于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x>a，所以2x＋eq\f(2,x－a)＝2(x－a)＋eq\f(2,x－a)＋2a≥2eq\r(2(x－a)·\f(2,x－a))＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥eq\f(3,2)，即a的最小值为eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)16．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋