线性代数 课件 第三章 线性方程组

线性方程组第三章高等职业教育公共基础课新形态教材线性代数向量组的线性相关性013.1.1N维向量空间

定义1：由n个实数组成的有序数组称n维向量，一般用拉丁字母表示，

有时也用等英文字母表示。3.1.2线性相关性概念

定义2：给定向量组：，若存在不全为零的数，使则称向量组A线性相关，否则称向量组A线性无关，即若当且仅当

时

式子成立，则向量组A线性无关。

注：①包含零向量的任何向量组都是线性相关的；②当向量组中含一个向量a时，a线性无关的充分必要条件实a≠O；③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件实这两个向量的对应分量成比例；④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线，三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面。3.1.3线性相关性的判定

定义3：给定向量组

和向量β，若存在一组数，使则称向量β是

向量组A线性表示。

定理1：向量组线性相关的充分必要条件实向量组中至少有一个向量可

由其余向量线性表示。3.1.3线性相关性的判定

定理2：设有列向量组，则向量组线性相关的充分必要

条件是矩阵的秩小于向量的个数s.

推论1：s个n维列向量组线性无关（线性相关）的充分必要条件是矩阵

的秩等于（小于）向量的个数s.

推论2：n个n维列向量组线性无关（线性相关）的充分必要条件是矩阵

的行列式不等于（等于）零。

推论3：当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关。3.1.3线性相关性的判定

定理3：若向量组中有一部分向量（向量组）线性相关，则整个向量组线性相关。推论4：线性无关的向量组中的任一部分向量组线性无关。

定理4：若向量组，β线性相关，而向量组线性无关，则向量

β可由唯一线性表示。3.1.3线性相关性的判定

定理5：设有两个向量组

向量组B能由向量组A线性表示，

若，则向量组B线相关。推论5：设向量组B能由向量组A线性表示，若向量组B线性无关，则s≥t.推论6：设向量组B与向量组A可以相互线性表示，若A与B都是线性无关的，则s=t.向量组的秩与矩阵023.2.1极大线性无关向量组

定义1：设有向量组，若在向量组A中能选出r个向量，满足：

（1）向量组线性无关；

（1）向量组A中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关。

定理1：如果是的线性无关部分组，则它是极大无关组的

充分必要条件是的每个向量均可由线性表示。3.2.2向量组的秩

定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。3.2.3矩阵雨向量组秩的关系

定理2：设A为m◊n矩阵，则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行

向量组的秩。

推论：矩阵A的行向量组的秩等于列向量组的秩。线性方程组的解033.3.1消元法解线性方程组

定理1：设，n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩R（A）<n.

定理2：设，n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的

秩等于增广矩阵的秩。3.3.2线性方程组解的结构1、齐次线性方程组解的结构：定义：若齐次线性方程组Ax=o的有限个解满足：（1）

线性无关；（2）Ax=o的任意一个解均可有线性表示。定理3：对n元齐次方程组Ax=o，若R（A）=r<n，则该方程组的基础解系一定

存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于n-r.3.3.2线性方程组解的结构2、非齐次线性方程组解的结构：定理4：设是n元非齐次线性方程组A