第2章-计算机控制技术-20150109

本章要点(1)拉普拉斯变换及主要性质(2)传递函数与方块图(3)典型系统的方块图与传递函数(4)Z变换(5)离散系统传递函数第2章微型计算机控制理论基础2.1连续系统数学基础2．1．1拉普拉斯变换用表示时间的函数，而且当，，以表示的拉普拉斯变换，记之为2.拉普拉斯变换的性质线性

（平移性质）令则,∴

当

令

0t

f(t)图2-1平移性质曲线示意

f(t)t（3）相似性质（比例变换）

令则（4）微分性质(原函数导数的象函数)

f(0)为t=0时f(t)的值，一般控制系统中f(0)=0同样，对于f(t)的n阶导数，可以得到（5）原函数积分的象函数

一般

t=0；f(t)=0(6)初值定理其中f(t)及其一阶导数可拉,存在证明：由拉普拉斯变换的微分性质可知有(7)终值定理

其中f(t)及其一阶导数可拉，存在。3.拉普拉斯反变换由复变函数表达式推导成为时间函数表达式的数学运算叫做反变换，拉普拉斯反变换的符号是，记作具体的拉普拉斯反变换计算公式为2．1．2传递函数与方块图

1．传递函数传递函数是描述线性定常系统或线性元件的输入-输出关系的一种最常用的数学模型。传递函数全面地反应了线性定常系统或线性元件的内在固有特性。传递函数(G(s))：线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为0，输出量（响应函数）的拉氏变换与输入函数（量）拉氏变换之比。

传递函数的定义适用于输入输出信号呈线性关系的元件或系统，既适用于开环系统，也适用于闭环系统。传递函数有如下基本性质（1）系统和元件的传递函数是描述其动态特性的一种关系式，它和系统或元件的运动方程式一一对应。（2）传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关。（3）传递函数不能反映系统或元件的物理结构，即不同物理性质的系统或元件可以具有相同的传递函数。（4）传递函数是复变量的有理分式，均为多项式，每一项的系数都是实数。2．方块图(方框图，动态结构图)方块图是系统中每个元件的功能和信号流向的图解表示，它表明系统中各元件或各环节间的相互关系，信号流动情况。方块图输出信号的拉普拉斯变换式等于其输入信号的拉普拉斯变换式与方块内传递函数的乘积。信号通过方块的流向以箭头来表示，使输入信号的箭头指向方块，输出信号的箭头背向方块。方块图中只包含与系统动态性能有关的信息，并不包含与系统物理结构有关的一切信息。许多物理结构上完全不同的系统，可以用相同的方块图来表示。一般结构如图2-2所示.G（s）X（s）Y（s）图2-2传递函数方块图3.典型系统的方块图与传递函数1)开环控制系统方块图与传递函数开环控制系统的抽象结构包含控制、执行与对象三个环节，方块图结构见图2-3。控制G1(s)执行G2(s)对象G3(s)R(s)Y（s）图2-3开环控制系统方块图对应的传递函数2)闭环控制系统方块图与传递函数闭环控制系统的抽象结构由执行(含对象)、反馈及偏差计算（⊗符号表示）等环节构成，方块图结构见图2-4所示。执行G(s)反馈H(s)R(s)Y(s)E(s)B(s)＋－图2.4闭环控制系统方块图称为系统中的开环传递函数。

闭环控制系统的传递函数为执行G(s)反馈H(s)R(s)Y(s)E(s)B(s)＋－图2.4闭环控制系统方块图G1(s)G2(s)＋—H(s)＋＋Y(s)N(s)R(S)扰动3）含扰动量的闭环控制系统方块图与传递函数当；扰动项→0;扰动被抑制；

及

此时控制系统的传递函数

例2.1：如图所示，R,C低通网络

Ui(s)CiR＋—Uc(s)图2-6RC电路方块图Ui(s)4．方块图等效法则1)分支点移动规则GGGAAGAGAAGAG（a）AGGGAAGAAAG（b）图2-7分支移动规则（2）相加点移动规则GGGBA＋∓A＋∓BAG∓BGAG∓BG（a）GGBA＋∓A＋∓BAG∓BAG∓B（b）图2-8相加点移动规则根据代数运算法则，还可实现其它类型方块图的简化或等效，相关内容请参阅自动控制原理教材。在简化或等效处理过程中应注意两条原则(1)前向通道中传递函数的乘积必须不变。(2)各反馈回路中传递函数的乘积必须保持不变。例2.2

(1)进行拉普拉斯变换；（2）画方块图；

KPKPTIS

KPTdSE(S)＋＋U(S)+tttttt2.1.3线性定常系统的脉冲响应系统分析：稳定性、快速性、准确性线性定常系统的脉冲响应是初始条件等于零的情况下线性系统对单位脉冲输入信号的响应，在数学上可以表示为对线性系统传递函数的拉氏反变换。2.2离散系统数学基础离散系统：控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，这些信号仅定义在离散时间上，这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。包括：采样控制系统（脉冲控制系统）离散信号是脉冲序列形式数字控制系统（计算机控制系统）离散信号是数字序列形式数学定义：所涉及的数字信号总是以序列的形式出现，将序列变换为输出序列c(n)的一种变换关系，称为离散系统，记为c(n)=F[r(n)]2.2.1采样控制系统的采样过程及数学描述采样过程：在采样控制系统中，把连续信号变为脉冲序列的过程。实现采样过程的装置，称为采样器，或采样开关。采样时，分为周期采样、多阶采样、随机采样周期采样：采样瞬时等间隔的多阶采样：间隔随被测参数动态变化随机采样：采样间隔是时变的，或不固定的。应用最广的是周期采样1采样过程实际采样过程采样周期为T，闭合时间。由于非常小，近似认为其约等于0.这样采样器可以用理想采样器代替。采样过程可以看成幅值调制过程理想采样过程理想单位脉冲序列2数学描述在上述讨论中，假设对于任意的t<0,e(t)=0采样信号的拉氏变换由拉氏变换的位移定理3.Z变换式中各项均含有因子，为超越函数。不便于应用。令变量，代入上式其中，T为采样周期，z为复数平面的一个复变量，通常称为z变换算子。

记为的z变换。记为

后一记号是为了书写方便而已

对于离散信号e(kT)，往往省略采样周期T简写为e(k)Z变换求取方法1.级数求和法

将离散时间函数写成展开式的形式

例2.2求f(t)=at/T函数（a为常数）的Z变换。解：根据Z变换定义有2．部分分式法设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为

因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出例2.3已知（a为常数）

求F(Z)

解：将F(s)写成部分分式之和的形式

2.1.2常用信号的Z变换

1．单位脉冲信号

2．单位阶跃信号

3．单位速度信号

4．指数信号

5．正弦信号

2.3Z变换的性质和定理

1．线性定理设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t)的Z变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有2．滞后定理设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)，则有证明：令m=k-n,且t<0时，f(t)=0,m若为负值，f(mT)=03．超前定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有证明：令m=k+n4．位移定理设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有

证明：

5．初值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有

证明：所以

6．终值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，函数序列f(nT)为有限值，且极限存在。并且F(z)在z平面的以原点为圆心的的单位圆上至多有一个极点，在单位圆外没有极点。证明：由z变换线性性质，有由超前性质上式两边取时的极限，得当取n=N为有限项时，上式右端可写为令所以也可以写成在离散系统分析中，常采用终值定理求取系统输出序列的终值误差，或称稳态误差卷积是分析数学中一种重要的运算。设：,是两个可积函数，作积分：一般情况，关于几乎所有的，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f(x)与g(x)的卷积，记为h(x)=f(x)*g(x)对于离散域7．卷积定理

设连续时间函数

和

的Z变换分别为

及

，若定义有证明：

3Z反变换

所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法

1．长除法设

用长除法展开得：由Z变换定义得：比较两式得：则：

例2.52．部分分式法又称查表法，设已知的Z变换函数F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将F(z)展开成如下分式之和

然后逐项查Z变换表，得到

则：求系数例2.63．留数法设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算

根据柯西留数定理，上式可以表示为

n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点的留数之和。

F(z)有q个单根。则有留数定理F(z)有p个重根。则有留数定理F(z)有q个单根和p个重根。则有留数定理例2.7的Z反变换4差分方程与差商1差分方程的概念差分是自变量均匀改变时，自变量对应的函数在离散的节点上的值之差。有前向差分和后向差分。差分有阶次。一阶前向差分定义为二阶前向差分定义为n阶前向差分同理，一阶后向差分定义为二阶后向差分定义为n阶后向差分定义为：差分方程：若方程的变量除了含有f(k)以外，还有f(k)的差分，则称该方程为差分方程。2用z变换法解差分方程式中为常系数，r(k)为输入信号；c(k)为输出信号。对于线性定常系统，其线性定常差分方程可表示为：会用到Z变换的超前性质

解对上式进行z变换得代入初始条件，并解得

故：例

用z变换解下列差分方程

3差商称比值为f(x)关于节点的一阶差商。称比值为节点的二阶差商。n－1阶差商称为函数y=在点的n阶差商（n阶均差）。1.脉冲传递函数的定义脉冲传递函数：零初始条件下，线性系统的（或环节）输出脉冲序列的z变换与输入脉冲序列的z变换之比。

在图所示的环节中，若R(z)和是C(z)初始静止条件下的输入脉冲序列和输出脉冲序列的z变换，则该环节的脉冲传递函数为2.2.4离散系统传递函数注意：

1、G（s）线性环节本身的传递函数，G（z）表示线性环节和采样器两者组合体的传递函数；2、G（z）不是通过G（s）置换两个自变量而成，而是通过求G(s)的Z变换而来；3、实际上大多数采样系统的输出信号往往是连续信号c(t)，而不是离散信号。在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，我们可以在输出端虚设一个采样开关。如图中虚线所示，它与输入采样开关一样以周期T同步工作。这样，输出的采样信号就可根据公式求得

三、开环系统（或环节）的脉冲传递函数a）两环节间有采样开关b）两环节间无采样开关

1、串联环节的环脉冲传递函数

串联环节之间有采样器隔开两个串联环节之间无采样器隔开为简化起见，表示为

一般，几个串联环节之间都有采样器隔开时，等效的脉冲传递函数等于几个环节的脉冲传递函数之积。所以，等效的脉冲函数为注意：z变换的乘积和传递函数乘积的z变换是不同的，求脉冲传递函数解例设注意：

1、串联环节有无同步采样开关时，其总的脉冲传递函数和输出z变换是不同的；2、不同表现在零点不同，但极点相同；a)b)c)d)a）连续输入，连续输出

b）连续输入，采样输出c）采样输入，采样输出

d）采样输入，连续输出

离散系统中含连续元件类型：对图a，连续输入，连续输出：C(s)=G(s)R(s)。对图b，连续输入，采样输出：C(z)=Z[R(s)G(s)]=RG(z)。对图c，采样输入，采样输出：C(z)=R(z)G(z)。

对图d，采样输入，连续输出：如果不必掌握所有时刻的输出c(t)，而只需注意采样瞬间c*(t)的信号，则可以在输出端人为地附加一个理解的采样开关，这时，元件的输出就和图c情况相同，即C(z)=R(z)G(z)。2、有零阶保持器的开环脉冲传递函数零阶保持器-保持器-将离散信号变为连续信号的装置在采样时刻上，连续信号的函数值与脉冲序列的脉冲强度相等，在nT时刻在（n+1）T时刻而在nT时刻与(n+1)T时刻之间，即时多大，与e(nT)关系如何。这是保持器要解决的问题。实际上保持器具有外推功能，表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。等系数是过去离散时刻0，-T,-2T,…等时刻的离散信号的值m取0就是零阶保持器，取1就是一阶保持器。零阶保持器外推公式按常值外推。若给零阶保持器输入一个理想单位脉冲，则脉冲过渡函数为g(t)=1(t)-1(t-T)则取拉氏变换，得零阶保持器的传递函数系统的结构图：r*(t)r(t)C(t)C*(t)其开环传递函数为

因为中包含两个分量，一个分量是输入采样信号经后所产生的响应，其z变换另一个分量是输入采样r*(t)信号经所产生的响应，而e-Ts是一个延迟环节，因此

故开环脉冲传递函数为

例

具有零阶保持器的开环采样系统结构图如图所示，其中T=1秒，试求脉冲传递函数G(z)。解：r*(t)r(t)C(t)C*(t)所以有

闭环系统脉冲传递函数闭环脉冲传递函数:是指系统的输出信号和输入信号的z变换之比。例

求下图所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数。D(z)、G(z)分别表示计算机和连续部分的脉冲传递函数。解：由于输入、输出信号都是连续信号，不能直接作z变换。又所以

消去中间变量可得故：

例2.10采样控制系统的稳定性分析其中s是复变量，即

1、z平面与s平面的关系根据z变换的定义故：

s平面的虚轴上则：在z平面上为即s平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆类似分析，s左半平面内的点：则：在z平面上为即s左半平面内的点对应于z平面上的单位圆内的点；同理s右半平面内的点对应于z平面上的单位圆外的点；2、z域稳定性条件推论1：若有一个或一个以上的闭环特征根在单位圆外，系统就不稳定；采样控制系统稳定的充要条件：

闭环系统的特征根均位于z平面的单位圆之内；连续系统稳定的充要条件：

是闭环系统的特征根均位于s平面的左半平面；推论2：若有一个或一个以上的闭环特征根在单位圆上时，系统就处于临界稳定。即：必须寻求一种变换，使z平面上单位圆内映射到一个新平面的虚轴之左，我们称该新平面为w平面。或

令

3、劳斯稳定判据劳斯判据：特征根在s左半平面连续系统特征根在z平面单位圆内部采样系统

z平面单位圆内

s左半平面根据双线性变换则当：

（z平面的单位圆方程）

即：z平面的单位圆上的点对应于w平面虚轴当：

（z平面的单位圆内部）

即：z平面的单位圆内的点对应于w平面左半平面例13设采样控制系统的特征方程为试用劳斯判据判别稳定性。代入特征多项式中，有

解：因为

化简得

列劳斯表

由于第一列元素的符号有两次改变，则有两个根在右半平面，即有两个根处于平面单位圆外，故该系