排列组合基础知识及排列组合公式(全)

排列组合基础知识两大原理加法原理定义：做一件事，完成它有类方法，在第一类方法中有中不同的方法，第二类方法中有种不同的方法......第类方法中种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。本质：每一类方法均能独立完成该任务。特点：分成几类，就有几项相加。例1.从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有3+2种方法。乘法原理定义做一件事，完成它需要个步骤，做第一个步骤有中不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法......做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。特点：分成几步，就有几项相乘。例2.从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车1—汽车1，火车2—汽车1火车1—汽车2，火车2—汽车2火车1—汽车3，火车2—汽车3所以共有种方式。排列组合排列排列的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列。使用排列的三条件①个不同元素；②任取个；③讲究顺序。组合组合的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素并为一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合。使用三条件①个不同元素；②任取个；③并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从个不同元素中任取个元素”；排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数，记为。例1.从甲、乙、丙三个中任取2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有6种方式。需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为，即，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项3，而且之后的每项总是比前一项少1。例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为：ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc.共有12种，即，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1。例3.从a,b,c,d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为：abc,acb,bac,bca,cab,cba,abd,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca.bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种，即，其中上标3是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式，其中上标表示相乘的项数，其中。尤其：。5组合数的定义：从个不同的元素中，任取个（）元素所有组合的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的组合数，记为。例4.从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3种需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素并成一组，所有共有的组合数为，即。这个结果与例1比较发现。例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个并成一组，共有多少种可能？解所以的可能排列为：ab,ac,ad,bc,bd,cd.共有6种，即。这个结果与例2比较发现。例6.从a,b,c,d四个元素中任取3个并成一组，共有多少种可能？解所以的可能排列为：abc,abd,acd,bcd。共有4种，即。这个结果与例3比较发现。由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式尤其：我们这本书用表示。下面3题要求学解题过程1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的上方；（2）列出所有冠军的可能情况。2.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226 B.246 C.264 D.2883.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。A.60 B.100 C.120 D140排列组合公式排列定义

从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,r)。组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合

有记号C(n,r),C(n,r)。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于

(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；

(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；

(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；

(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法

1．加法原理

2．加法原理的集合形式

3．分类的要求

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

(2)乘法原理和分步计数法

1．乘法原理

2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数

集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！

集合B为数字不重复的六位数的集合。

把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！

这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则

S（A）=S（B）*3！

S（B）=9！/3！

这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）

例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？

设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则

S（B）=S（C）*6！

S（C）=9！/3！/6！

这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）

以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1，2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。

例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？

9个人排成一排，不同排法有9！种，对应集合为前面的集合A

9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S（D）=9！/9

我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为8！。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。

例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排在2前面，求符合要求的九位数的个数。

集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。则S（B）+S（C）=S（A）

在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字，对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S（B）=S（C）=9！/2

以同样的思路可解出下题：

从1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数，且要求a>b>c，问这样的函数共有多少个？

例5：M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。

这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。

假设我们把M个球用细线连成一排，再用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起，就表示相应的盒子里球数为0）。所以方法总数为C（M+N-1，N-1）

例6：7人坐成一排照像,其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻,则共有________排法.

解：甲、乙、丙三人把