熟悉平面几何知识-实现由导迹法向待定系数法的转化获奖科研报告论文

熟悉平面几何知识，实现由导迹法向待定系数法的转化获奖科研报告论文平面解析几何中求曲线的方程不外乎两种方法，一是不知曲线类型的用设动点坐标列含动点坐标的方程，即导迹法，就是设动点M(x,y)，列出方程f(x,y)=0，这与初中数学中列方程解应用题的设未知数列方程一样.二是已知曲线类型用待定系数法，即设方程列方程求方程中的参数(系数)，一般来说，待定系数法比导迹法简单，但必须先判断出曲线类型，这就必须熟悉平面几何，特别是平面几何中直线与圆的知识，在高考试题中直线与圆一般是不设解答题的，只设选择和填空题，考查重要的数学思想方法——数形结合法中的“以形代数法”，即几何法.

例1已知平面上两定点A(-2，0)，B(1，0)，动点M满足|MA|=2|MB|.求动点M的轨迹方程.

这是一个需设动点M(x,y)列方程(导迹)的题，但若熟悉平面几何中三角形内、外角平分线和中线性质，则可化为待定系数法的题求解.

解法1：如图1延长MB到D使MB=BD,延长OB到E，使OB=BE,连OD，OM，ME，则由

已知有OM平分∠AMB，∴∠A=∠D=∠BME,∠MOE=∠OME,∴OE=ME=2,∴点M的轨迹是E(2，0)为圆心，半径为2的圆，方程为(x-2)2+y2=22.

解法2：如图2，连OM，过M作△MAB的外角平分线交AB延长线于点E，则由已知

有OM平分∠AMB，由三角形内、外角平分线性质得AMMB=AOOB=AEEB=2,∴E(4，0)，△OME是直角三角形，∴动点M的轨迹是以OE为直径的圆，方程为(x-2)2+y2=22.

例1可推广为一般情形，例1的解法2可推广为一个很有价值的解法.

如已知平面上两定点A，B的距离为a(a>0)，平面上一动点M满足MAMB=λ.求动点M的轨迹方程.

由例1的解法2知，如图3，过点M分别作△MAB的内、外角平分线MD，ME，分别交AB于点D，E，则动点M的轨迹就是以线段DE为直径的圆，∵AMMB=ADDB=AEEB=λ，且AB=a，∴建立坐标系后可确定D，E的坐标，∴动点M的轨迹方程可用待定系数法求出.

例2已知点P(1，2)为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意射线交圆于点B，C，求BC中点M的轨迹方程.

分析：因为不知道轨迹是什么，所以要用导迹法，即设M(x,y)，列方程f(x,y)=0，这样求解较繁.如设M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2)，可得方程组x1+x2=2x，

y1+y2=2y，

x21+y21=9，

x22+y22=9，

y1-2x1-1·y2-2x2-1=-1，则要消去x1,y1,x2,y2，若没找到好的消元途径(把x1x2,y1y2,x1+x2,y1+y2视为元消去)就很难得出轨迹方程，当然如果设一条弦的斜率为k，列出方程组x=f(k)，

y=g(k)，再消去k，更繁，就是用圆的参数方程也不是很简单，即M(x,y),B(3cosα,3sinα),C(3cosβ,3sinβ)得方程组3(cosα+cosβ)=2x,

3(sinα+sinβ)=2y,

3sinα-23cosα-1·3sinβ-23cosβ-1=-1，消去cosα,cosβ,sinα,sinβ，其运算过程也不简单.

因此，应寻求几何法和待定系数法.

解法1：如图4，连OM，MP，则由已知MP=BM=MC,OB2=OM2+BM2,

∴OB2=OM2+MP2,即OM2+MP2=9，∴要求轨迹是到两定点O(0，0)，P(1，2)的距离平方和为常数9的轨迹，这样就可直接列出方程x2+y2+(x-1)2+(y-2)2=9,即(x-12)2+(y-1)2=134.

解法2：由解法1知，OM2+MP2=9，OP的中点D(12，1)，由三角形的中线长公式得MD2=OM2+MP22-OP24=92-54=134(定值)，所以，要求轨迹是