抛物线的定义、性质及标准方程

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值〔离心率e〕不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。2.抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质〔如下表〕：其中为抛物线上任一点。3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。4.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，那么有，，，，，，。说明：1.求抛物线方程时，假设由条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；假设由条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能防止求交点坐标的复杂运算。3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】例1.抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为或设交点〔y1>0〕那么，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。例2.设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，那么∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是，知三点共线，从而直线经过原点。证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足那么∥∥，连结交于点，那么又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。评述：此题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。【考点突破】【考点指要】抛物线局部是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查根底知识、根底技能、根本方法，分值大约是５分。考查通常分为四个层次：层次一：考查抛物线定义的应用；层次二：考查抛物线标准方程的求法；层次三：考查抛物线的几何性质的应用；层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。解决问题的根本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】例3.〔2006江西〕设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，假设，那么点的坐标为〔〕A.B.C.D.答案：Ｂ解析：解法一：设点坐标为，那么，解得或〔舍〕，代入抛物线可得点的坐标为。解法二：由题意设，那么，即，，求得，∴点的坐标为。评述：此题考查了抛物线的动点与向量运算问题。例4.〔2006安徽〕假设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，那么的值为〔〕A.－2B.2C.－4Ｄ.4答案：D解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，那么。评述：此题考查抛物线与椭圆的标准方程中的根本量的关系。【达标测试】一.选择题：1.抛物线的准线方程为，那么实数的值是〔〕A.B.C.D.2.设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，那么等于〔〕A.4B.4或－4C.－2D.－2或23.焦点在直线上的抛物线的标准方程为〔〕A.B.或C.D.或4.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为〔〕A.B.C.D.5.正方体的棱长为１，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为１，那么点的轨迹是〔〕A.抛物线B.双曲线C.直线D.以上都不对6.点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，那么的最小值是〔〕A.5B.4C.D.7.点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，那么的最小值是〔〕A.B.4C.D.58.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，那么的值是〔〕A.12B.－12C.3D.－3二.填空题：9.圆和抛物线的准线相切，那么的值是＿＿＿＿＿。10.分别是抛物线上两点，为坐标原点，假设的垂心恰好是此抛物线的焦点，那么直线的方程为＿＿＿＿＿。11.过点〔0，1〕的直线与交于两点，假设的中点的横坐标为，那么＿＿＿。12.直线与抛物线交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿＿＿＿。三.解答题：13.抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求抛物线的方程。14.过点〔4，1〕作抛物线的弦，恰被所平分，求所在直线方程。15.设点F〔1，0〕，M点在轴上，点在轴上，且。⑴当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；⑵设是曲线上的三点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E〔3，0〕时，求点的坐标。【综合测试】一.选择题：1.〔2005上海〕过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线〔〕A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在2.〔2005江苏〕抛物线上的一点到焦点的距离为1，那么点的纵坐标是〔〕A.B.C.D.03.〔2005辽宁〕双曲线的中心在原点，离心率为，假设它的一条准线与抛物线的准线重合，那么该双曲线与抛物线的交点与原点的距离是〔〕A.B.C.D.214.〔2005全国Ⅰ〕双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，那么该双曲线的离心率为〔〕A.B.C.D.5.〔2004全国〕设抛物线的准线与轴交于点，假设过点的直线与抛物线有公共点，那么直线的斜率的取值范围是〔〕A.B.C.D.6.〔2006山东〕动点是抛物线上的点，为原点，当时取得最小值，那么的最小值为〔〕A.B.C.D.7.〔2004北京〕在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，那么该球的外表积的取值范围是〔〕A.B.C.D.8.〔2005北京〕设抛物线的准线为，直线与该抛物线相交于两点，那么点及点到准线的距离之和为〔〕A.8B.7C.10D.12二.填空题：9.〔2004全国Ⅳ〕设是曲线上的一个动点，那么点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。10.〔2005北京〕过抛物线的焦点且垂直于轴的弦为，以为直径的圆为，那么圆与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。11.〔2005辽宁〕抛物线的一条弦，，所在直线与轴交点坐标为〔0，2〕，那么＿＿＿＿＿。12.〔2004黄冈〕抛物线的焦点在直线上，现将抛物线沿向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线移到点处，那么平移后所得抛物线被轴截得的弦长＿＿＿＿＿。三.解答题：13.〔2004山东〕抛物线C：的焦点为，直线过定点且与抛物线交于两点。⑴假设以弦为直径的圆恒过原点，求的值；⑵在⑴的条件下，假设，求动点的轨迹方程。14.〔2005四川〕如图，是