第3讲 基本几何元素的投影

3

基本几何元素的投影点、线、平面、曲面的投影特性空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。VWHOXYZAa’aa’’3.1.1点的三面投影及其展开YWZOXYHa’aa’’

3.1点的投影VWHOXYZAa’aa’’OXYWYHZa’aa’’3.1.2点的三面投影和坐标点的投影规律点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离长对正、高平齐、宽相等投影点间的连线和投影轴的关系：

a’a⊥OX

a’a”⊥OZ

aax＝a”az点的投影规律OXYHYWZa’aa’’b’bb’’c’cc’’利用点的两个投影求第三个投影如果知道点的两个投影，则该点在空间的位置就确定了，因此它的第三投影也唯一确定。

●●a

aax已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz方法一:通过作45°线使a

az=aax方法二:用分规直接量取a

az=aaxa

●点在投影面和投影轴上的投影规律

点在投影面上；点在投影轴上点的两个投影落在投影轴上；点的三个投影和其本身重合d’dee’f’f’’e’’fd’’zxYW

YH0例：已知点的两投影，求其第三投影daa’a’’1.两点的相对位置3.1.3两点的投影及重影点例二：题解重影点:空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。OXYWYHZa’aa’’b’b’’(b)重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。3.2直线的投影:1.投影面垂直线:垂直于一个投影，平行于另二个投影面2.投影面平行线:平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面

3.一般位置直线:

倾斜于三个投影面的直线。

2、投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线投影面垂直线的投影特性

投影面垂直线种类正垂线：⊥V面，∥H，∥W铅垂线：⊥H面，∥V，∥W侧垂线：⊥W面，∥H，∥V。投影面垂直线投影特性当直线AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影ab变成一个点a≡b。直线上任一点M的投影m也重合在这个点上，这种性质叫积聚性；在另外两个投影面的投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。

铅垂线的投影总结：投影面垂直线的投影特性

在所垂直的投影面上积聚为一点；其它两投影垂直于相应的投影轴。1、投影面的平行线水平线正平线侧平线投影面平行线的投影特性

投影面平行线种类正平线：∥V，对H、W面倾斜。水平线：∥H，对V、W倾斜。侧平线：∥W．对H、V倾斜。投影面平行线投影特性在直线所平行的投影面上，投影反映实长；且其投影与投影轴的夹角反映直线与相应投影面的倾角；在另外两个投影面上的投影小于实长，且平行于相应的投影轴。

反映ＡＢ实长正平线投影图总结:投影面平行线的投影特性

在所平行的投影面上的投影反映实长；其它两投影平行于相应的投影轴，且小于实长。

一般位置直线的投影特性直线的各投影均对投影轴倾斜；直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。当直线AB倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影ab长度小于实长，缩短多少，根据对投影面夹角大小确定。

投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。abb

a

b

a

讨论：如何判断直线于投影面关系投影面垂直线：有两个垂直于投影轴的投影有一个投影积聚成一点投影面平行线：有一个平行于投影轴的投影一般位置直线：有两个不平行于投影轴的投影3.2.2直线上的点：①从属性：点在直线上，点的投影在直线的同面投影上。②定比性：点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。

C点在直线ＡＢ上NEW例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上解法１：

点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。NEWd0M0解法２例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上O

点Ｍ的投影不符合直线上点定比性，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV3.2.3直线与直线的相对位置空间两直线的相对位置同面直线异面直线平行相交交叉例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB和CD的三面投影。

题解：acbb″〝da″〝c″〝d″〝d′〝a′〝c′〝b′〝NEW两相交直线两交叉直线正面投影重影点水平投影重影点重影点的可见性判断b

d

c

a

cbadd

b

a

c

AB与CD不平行。判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影3.3平面的投影1、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形各种位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面3.3.2各种位置的平面的投影特性VWHPPH铅垂面投影特性：1、

abc积聚为一条线

2、

a

b

c

、

a

b

c

为

ABC的类似形

3、

abc与OX、OY的夹角反映

、

角的真实大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

VWHQQV正垂面投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线

2、abc、a

b

c

ABC的类似形

3、a

b

c

与OX、OZ的夹角反映α、

角的真实大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

BVWHSWS侧垂面投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线

2、abc、a

b

c

为

ABC的类似形

3、a

b

c

与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

投影面垂直面投影特性垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜投影面垂直面的投影特性：平面所垂直的投影面上的投影积聚为直线，与投影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的真实倾角。（积聚性）在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。（类似性）

VWH水平面投影特性：

1、a

b

c

、a

b

c

积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性

2、水平投影abc反映

ABC实形

CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

正平面VWH投影特性：

1、abc

、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2、正平面投影a

b

c

反映

ABC实形

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：

1、abc

、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2、侧平面投影a

b

c

反映

ABC实形

侧平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

投影面平行面投影特性平行于一个投影面，垂直于另两个投影面。正平面：平行于V面，对H，W面垂直水平面：平行于H面，对V，W面垂直侧平面：平行于W面，对H，V面垂直投影面平行面投影特性：平面所平行的投影面上的投影反映实形；（实形性）平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。（积聚性）一般位置平面投影特性对V，H，W面都倾斜，不在同一直线上的三点构成的平面。投影特性一般位置平面的投影特性：三面投影仍为平面图形，且面积缩小。其投影为和原来形状类似的图形。（类似性）

一般位置平面投影特性

1、abc

、a

b

c

、a

b

c

均为

ABC的类似形

2、不反映

、

、

的真实角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB平面和直线投影特点实形性：投影反映实形。直线或平面平行于投影面时。积聚性：投影积聚成一点或一条线。直线或平面垂直于投影面时。类似性：投影成为缩小的类似形。直线或平面倾斜于投影面时。3.3.2平面上的点和直线

点和直线在平面上的几何条件是：(1)点在平面上，则该点必定在平面上的一条直线上。(2)直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。上述几何条件，是解决有关平面上点和直线的作图和判别等习题的依据。可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解例题2

已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。d

da

b

c

abcee

a

b

c

bac例题已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。m

n

nmbckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例3：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二3.5回转曲面的投影3.5.1回转曲面的形成特点母线轴线母线轴线母线轴线3.5.2圆柱体、筒体1.母线2.素线3.回转轴4.纬圆在圆柱表面上取点已知圆柱表面上的点M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它们的其余两投影。圆柱表面上取点a’a”ab’(b”)b筒体：3.5.3圆锥体如果是圆锥转向轮廓线上的点，可以直接作出点的其它两个投影。如果在圆锥面上一般位置的点K，就只能作辅助线，才能由一已知投影，求出另外两个投影。已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影。过m’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。1’11”mm”a’(b’)图3-14圆锥的投影及表面上的点