第3章：单相正弦交流电

3.1正弦交流电3.2纯电阻电路3.3纯电感电路3.4纯电容电路第3章：单相正弦交流电路3.5RLC串联电路3.6功率因数及其提高3.1正弦交流电的基本概念交流电：大小和方向均随时间变化的电压或电流称为交流电。直流电：电压、电流的大小和方向是恒定的，不随时间变化而变化。ti三角波ti矩形脉冲波tu正弦波ti直流电波形图交流电波形图tu其中，大小和方向均随时间按正弦规律变化的电压或电流称为正弦交流电。正弦交流电广泛应用于工农业生产、科学研究及日常生活中，了解和掌握正弦交流电的特点，学会正弦交流电路的基本分析方法，是本章学习的目的。正弦交流电：正弦交流电流ti1.正弦交流电的周期、频率和角频率周期：正弦量变化一周所需要的时间称周期，用T表示。频率：正弦量一秒钟内变化的次数称为频率，用f表示。1秒钟T=0.5sf=2Hz单位是赫兹单位是秒ω=4πrad/s单位是每秒弧度周期与频率的关系：互为倒数1Tf=即：1fT=或正弦交流电的基本概念：角频率：正弦量一秒钟内变化的弧度数称为角频率，用ω表示。角频率、周期、频率三者之间的关系：三者是从不同的角度反映的同一个问题：正弦量随时间变化的快慢程度。电工常识：工频我国工业交流电的标准频率为50Hz，简称为工频。工频的频率是50Hz，周期是0.02S思考与练习：1、交流电的周期为0.01S,则此交流电压的频率为（）HZ，角频率为（）rad/S.2、我国电力系统中交流电的频率为（）HZ，周期为（）S,角频率为()rad／S2.正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值正弦交流电在某一瞬间的大小称为瞬时值。电动势、电压和电流的瞬时值分别用e、u

、i表示。

瞬时值是变量，注意要用小写英文字母表示。瞬时值对应的表达式应是三角函数解析式。(1)瞬时值e=Emsin(ωt+ψ)u=Umsin(ωt+ψ)i=Im

sin(ωt+ψ)(2)最大值：正弦交流电称为最大值，用Em

、Um、、Im表示。(3)有效值：

有效值是指与正弦量热效应相同的直流电数值。用E、U、I

表示。例RiRI交流电流i通过电阻R时，在t时间内产生的热量为Q直流电流I通过相同电阻R时，在t时间内产生的热量也为Q。两电流热效应相同，可理解为二者做功能力相等。我们把做功能力相等的直流电的数值I定义为相应交流电i的有效值。有效值可确切地反映正弦交流电的大小。

有效值与最大值的关系：练习：已知一正弦交流电流i=10√2sin(314t-60°)A,则该交流电流的最大值为（），有效值为（），频率为（）,周期为（）2mII=或：作业：交流电压的最大值为311V，变化周期为0.02S，计算：1、交流电压的有效值；2、交流电压的频率；3、交流电压的角频率。3.正弦交流电的相位、初相和相位差显然，相位反映了正弦量随时间变化的整个进程。

初相确定了正弦量计时始的位置，初相规定不得超过±180°。(1)相位(2)初相相位是随时间变化的电角度，是时间t

的函数。初相是对应t=0时的确切电角度。正弦量与纵轴相交处若在正半周，初相为正。正弦量与纵轴相交处若在负半周，初相为负。u=Umsin(ωt+ψ0)u=Umsin(ωt+ψ0)ωu例u、i

的相位差为：

显然，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等于它们的初相之差。已知(3)相位差（两个同频率正弦量的相位之差），求电压与电流之间的相位差。解注意不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。相位差不得超过±180°!相位的关系0ti,

ui,

u0ti,

u0t0ti,

u0ti,

u称电压与电流同相。

称电压与电流反相。

称电压与电流正交。

称电压超前电流ψ角

。

称电压滞后电流ψ角。

思考回答何谓正弦量的三要素？它们各反映了什么？耐压为220V的电容器，能否用在180V的正弦交流电源上？何谓反相？同相？相位正交？超前？滞后？正弦量的三要素是指它的最大值、角频率和初相。最大值反映了正弦量的大小及做功能力；角频率反映了正弦量随时间变化的快慢程度；初相确定了正弦量计时始的位置。

不能！因为180V的正弦交流电，其最大值≈255V>180V!u1与u2反相，即相位差为180°；u3ωtu4u2u1uu3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。u1与u4同相，即相位差为零。例题1：已知某正弦电压为u=311sin(100лt+л／3)V，试求该交流电压的最大值Um、有效值U、频率f、初相位φ0

.例题2：作业：已知某交流电流i=sin(314t-л／4)A,则该电流的最大值为

、有效值为

，频率为

，周期

，初相位为

。

2、已知一正弦电动势的最大值为220V，频率为50Hz，初相位为30°,试写出此电动势的表达式。

第二节：纯电阻电路纯电阻电路：交流电路中，只含有电阻，而没有电感和电容的电路。一、电压与电流的关系

iR

u1、瞬时值关系：2、有效值关系：URI=UmRIm

=3、最大值关系：

电流与电压的瞬时值、有效值、最大值都符合欧姆定律。二、电流与电压的相位关系：纯电阻电路中电流与电压同相。结论：1.p随时间变化；2.p≥0；耗能元件。uiωtuip0PR三、电路的功率1、瞬时功率2、有功功率（平均功率）3.电感元件（1）电感元件上的电压、电流关系

i

uL电流、电压的瞬时值表达式导出u、i的有效值关系式：u、i

动态关系！u在相位上超前i90°电角！上式称为电感元件上的欧姆定律表达式。Lu、i

最大值的数量关系为：IU相量图为：电感元件上的电压、电流相量关系式为：

式中XL称为电感元件的电抗，简称感抗。感抗反映了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用。单位也是[Ω]。感抗与哪些因素有关？直流情况下感抗为多大？感抗与频率成正比，与电感量L成正比。直流情况下频率f等于零，因此感抗等于零，电感元件相当于短路。（2）电感元件的功率

1）瞬时功率p则uip=ULIsin2tωtui

关联,吸收电能;建立磁场;p>0ui

非关联,送出能量;释放磁能;p<0ui

关联,吸收电能;建立磁场;p>0ui

非关联,送出能量;释放磁能;p<0p为正弦波，频率为ui

的2倍；在一个周期内，L吸收的电能等于它释放的磁场能。问题与讨论2.能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？f变化时XL随之变化，导致电流i变化。不能！感性设备如果没有无功功率，则无法工作！无功功率意味着只交换不消耗。为和有功功率相区别，无功功率的单位定义为乏尔[Var]。

2）平均功率P电感元件不耗能！电感元件虽然不耗能，但它与电源之间的能量交换始终在进行，这种电能和磁场能之间交换的规模可用无功功率来衡量。即：1.电源电压不变，当电路的频率变化时，通过电感元件的电流发生变化吗？

3）无功功率Q电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型。如下图所示。两块平行的金属极板就可构成一个电容器。

C在外电源作用下，电容器两极板分别存贮等量的异性电荷形成电场。+－US+q-qE电容器的储能本领用电容量C表示：式中电荷量q的单位是库仑[C]；电压u的单位是伏[V]；电容量C的单位为法拉[F]。实用中还有较小的单位，它们之间的换算关系如下：3.电容元件能够容纳和存储电荷的器件1F=106μF=109nF=1012pF设UIC

i超前u90°电角！（1）电容元件上的电压、电流关系

则ui相量表达式

C

u

iC其中

称为电容元件的电抗，简称容抗。容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。相量图

i和u

有效值符合欧姆定律！（2）电容元件的功率1)瞬时功率p瞬时功率iup=UICsin2tωtui

关联,电容充电;建立电场;p>0ui

非关联,电容放电;释放能量;p<0ui

关联,电容充电;建立电场;p>0ui

非关联,电容放电;释放电能;p<0

电容器的基本工作方式是充放电。在一个周期内C充电吸收的电能等于它放电时释放的电能。电容元件不耗能！容抗与频率成反比，与电容量成反比。

直流情况下频率f等于零，因此容抗等于无穷大，即直流下电容器相当于开路。[Var]

2）平均功率P电容元件不耗能！电容元件和电源之间的能量交换规模也是用无功功率衡量的。即：

3）元功功率Q问题与讨论1.直流情况下，电容器的容抗多大？2.容抗与哪些因素有关？1、电感元件在直流、高频交流电路中如何？2、电容元件在直流、高频交流电路中如何？3、无功功率能否认为是无用之功？如何正确理解无功功率的概念？有功功率、无功功率的单位相同吗？4、感抗、容抗和电阻有何相同？有何不同？5、电压、电流相位如何时只吸收有功功率？只吸收无功功率时二者相位又如何？6、即时元件指得是什么？动态元件又指的是什么？所谓即时和动态是根据什么而言的？7、电容器的主要工作方式是什么？电容器的极间电压很大时，是否此时电流也一定很大？8、你能得出电容和电感两元件之间有哪些特点吗？练习与思考想想练练1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？判断下列表达式的正误。2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。3.纯电容元件在交流电路中电压与电流之间的相位差是多少？容抗与频率有何关系？判断表达式的正误。2.4多参数组合的正弦交流电路I

U

URajXLR－jXC

UL

UCb电路相量模型1、R、L、C串联电路的相量分析法设可得对假想回路列相量形式的KVL方程：为电路参考相量

式中复阻抗Z的模值对应正弦交流电路中的阻抗|Z|，幅角对应总电压与电流的相位差。阻抗|Z|反映了多参数串联电路对正弦交流电流总的阻碍作用。阻抗的单位是欧姆[Ω]。对R、L、C串联电路进行相量分析IULURUCURLC串联电路相量图式中由相量图可导出几个三角形UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)由相量图可以看出：UX=UL+UC÷I=阻抗三角形×I2=功率三角形复功率SSP

j(QL-QC)注意：上述三角形都是按照感性电路画出的。其中复功率的模对应电路的总功率S，通常称为视在功率(表观功率)。UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)阻抗三角形功率三角形SP

j(QL-QC)电压三角形是相量图。它不仅定性反映各电压间的数量关系，还可反映各电压间的相位关系。阻抗三角形不是相量图！它的各条边仅仅反映了各个复阻抗之间的数量关系。功率三角形也不是相量图！其各边也是仅仅表明了各种功率之间的数量关系。2.多参数组合串联电路的功率

观察三个三角形可看出：同相位的电压和电流构成了有功功率P，显然这是由电阻元件耗能的电特性决定的。

P的单位是瓦特。有功功率的能量转换过程是不可逆的。

由几个三角形还可看出：正交关系的电压和电流构成的是无功功率Q，电感元件的QL为正；电容元件的QC为负。

Q的单位是乏尔。无功功率的能量转换过程可逆。

视在功率是电路中的总功率，它包含了有功功率和无功功率。

S的单位是伏安。视在功率表征电源或设备的总容量。有关电路性质的讨论由可知，电路的性质取决于电抗UX。当时，UX>0，电路呈感性，u超前i一个φ角；时，UX<0，电路呈容性，u滞后i一个φ角；时，UX=0，电路呈阻性，u和i同相，φ=0。IULURUCUUX=UL+UCIULURUCUUX=UL+UCUX=0IULURUCU同理：在含有L和C的电路中，出现总电压与电流同相的阻性电路时，称电路发生了谐振。电路发生谐振时，情况比较特殊。由于谐振时电抗为零，所以阻抗最小；电压一定时谐振电流最大；在L和C两端将出现过电压情况等等。电力系统中的电压一般为380V和220V，若谐振发生出现过电压时，极易损坏电器，因此应避免谐振的发生。谐振现象被广泛应用在电子技术中。想想练练交流电路中的三种功率，单位上有什么不同？有功功率、无功功率和视在功率及三者之间的数量关系如何？阻抗三角形和功率三角形是相量图吗？电压三角形呢？你能正确画出这几个三角形吗？在含有L和C的电路中出现电压、电流同相位的现象，称为什么？此时RLC串联电路中的阻抗如何？电压一定时电流如何？L和C两端有无电压？多大？3.功率因数

电力设备如变压器、感应电动机、电力线路等，除从电力系统吸取有功功率外，还要吸取无功功率。无功功率仅完成电磁能量的相互转换，并不作功。无功和有功同样重要，没有无功，变压器不能变压，电动机不能转动，电力系统不能正常运行。但无功功率占用了电力系统发供电设备提供有功功率的能力，同时也增加了电力系统输电过程中的有功功率的损耗，导致用电功率因数降低。式中cosφ称为电路的功率因数。可得世界各国电力企业对用户的用电功率因数都有要求，并按用户用电功率因数的高低在经济上给予奖惩。功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。提高功率因数意味着：1)提高用电质量，改善设备运行条件，保证设备在正常条件下工作，有利于安全生产；2)可节约电能，降低生产成本，减少企业的电费开支。例如：当cosφ=0.5时的损耗是cosφ=1时的4倍；3)提高企业用电设备利用率，充分发挥企业的设备潜力；4)减少线路的功率损失，提高电网输电效率；5)因发电机容量的限定，提高功率因数将意味着让发电机多输出有功功率。为什么要提高功率因数？1.避免感性设备的空载和减少其轻载；提高功率因数的方法2.在线路两端并联适当电容。提高功率因数的意义1.提高供电设备的利用率；2.减少线路上的能量损耗。一台功率为1.1kW的感应电动机，接在220V、50Hz的电路中，电动机需要的电流为10A，求：(1)电动机的功率因数；(2)若在电动机两端并联一个79.5μF的电容器，电路的功率因数为多少？（1）（2）设未并联电容前电路中的电流为I1；并联电容后，电动机中的电流不变，仍为I1，但电路中的总电流发生了变化，由I1变成I。电流相量关系为：画电路相量图分析：UIICI1IC例解UIICI1IC可见，电路并联了电容C后，功率因数由原来的0.5提高到了0.845，电源利用率得以提高。检验学习结果1.RL串联电路接到220V的直流电源时功率为1.2KW，接在220V、50Hz的电源时功率为0.6KW，试求它的R、L值。2.如果误把额定值为工频“220V”的接触器接到