第6章 正弦稳态电路的功率

6.5正弦稳态功率和能量1基本概念2电阻平均功率3电感、电容的平均储能5单口网络的无功功率

6复功率7正弦稳态最大功率传递定理4单口网络的平均功率功率因数一、单口网络的平均功率（有功功率)、无功功率、视在功率、功率因数1、单口网络的瞬间功率：

设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向,表示为u(t)=Umcos(t+

u)，i(t)=Imcos(t+

i)，则网络吸收的功率为p(t)=i(t)•u(t)=UmImcos(t+

u)cos(t+

i)=[cos(

u–

i)+cos(2t+

u+

i)]UmIm2=UI[cos

+cos(2t+

u+

i)]

不可逆部分可逆部分4、视在功率：S=UI＝（VA)

视在功率反映电力设备的最大负载能力。3、单口网络的无功功率：无功功率反映电路中储能元件与外电路或电源之间能量交换。“无功”表示能量在往复交换过程中没有被消耗掉。

（var）2、单口网络的平均功率：

平均功率亦称有功功率，是电路实际消耗的功率。（W）5、功率因数：

=cos

＝P/S（超前或滞后）

功率因数表示传输系统中有功功率所占的比例。1、电阻R：

z＝u－

i＝0二、单个元件的功率

P=IU=ImUm21=RI2=GU2平均功率：P(t)=UI[1+cos2(t+

u)]瞬时功率：无功功率：Q=02、电感L：

z＝u－

i＝90ºp(t)=UIsin2(t+

u)平均功率：P=0瞬间功率：无功功率：3、电容C：

z＝u－

i＝－90ºp(t)=-UIsin2(t+

u)平均功率：P=0瞬间功率：无功功率：电感和电容的平均功率等于零。

物理意义是什么？正弦稳态电路的无功功率：对任何一个正弦稳态电路，其无功功率为所有电感、电容的无功功率之和。即Q=QL+QC=2(WL–WC)WL=WL1+WL2+•••+WLmWC=WC1+WC2+•••+WCn无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。三、复功率视在功率相量：S

=UI*=UI(cos

z+jsin

z)=P+jQ=Scos

+jSsin

(V•A)•••6.5.4正弦稳态最大功率传递定理

与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不同的是所有的量都必须是相量。+–Zs+–UL•ZLUs•I•Us••I==Zs+ZLUs•(Rs+RL)

+j(Xs+XL)Us(Rs+RL)2

+(Xs+XL)2I=负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为PL=I2RL=Us2(Rs+RL)2

+(Xs+XL)2RL目标：选择RL和XL，使PL最大。第一步，使分母第二项为零，即XL=–Xs；PL=Us2RL(Rs+RL)2

由此可得第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的结论，即：RL=Rs

时，负载上获得的功率最大。此时PLmax=Us2RL(2RL)2

=Us24RL

总结：当ZL=RL+

jXL=Rs

–jXs

=Zs*

时（共轭匹配），负载获得的功率最大。

如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获得最大功率？

当负载阻抗角不变，而模值可以改变时，它的模等于电源内阻抗的模时可以获得最大功率，称为模匹配。负载获得的最大功率为，3

j4

–j5

I•+–U•I1•I2•解：视在功率S根据已知条件可得：S=UI=100×12.65=1265W例已知ZR=3

，ZL=j4

，ZC=–j5

，I=12.6518.5°

I1=20–53.1°，I2=2090°，U=1000°。求单口网络的功率P及视在功率、功率因数。••••Z=3+j4–j5–j4(3+j4)=功率因数

=cos

z=cos

18.45°=0.9487（超前）20–36.87°16–j123–j1=3.162–18.43°=6.325–18.45°网络平均功率

P=UIcos

z=1200.05WP也是电阻上消耗的功率，由此也可得

P=I12R=202×3=1200W功率因数

=cos=PS=0.9486更简单的方法：由U和I之间的相位关系可得S=UI*=1000°×12.65–18.5°=1265–18.5°W=1200+j401.4W•••即

P=1200W，Q=401.4W功率因数

=cos

z=cos

18.5°=0.9483（超前）例

求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。102cos2tV+–3

F2H184

100°+–3

4

j4

–j4

I•解

利用

P=UIcos

z

计算，只要算得阻抗Z即可，Z=3+j4+4–j4j4(4–j4)=3+4+j4=7+j4=8.062329.74°

I=U|Z|=8.062310=1.2403AP=UIcos

z=10×1.2403×cos29.74°=10.77Wxjy

PSOQQLQC例

工厂中的感应电机是感性负载，功率因数较低，为提高功率因数，可并联合适的电容器。设有一220V，50Hz，50kW的感应电机功率因数为0.5。问（1）使用时电源电流为多少，无功功率Q为多少？（2）若并联电容器使功率因数为1，则电容量为多少，此时电源电流等于多少？解：（1）由有功功率的定义，可得PL=UILcos

L

，IL=PLUcos

L=50000220×0.5=454.55AQL=UILsin

L

=UIL1–

cos2

L=220×454.55×0.866=86600var=86.6kvar（2）根据电容与电感之间无功功率相互抵消的原理，并联后电源提供的无功功率为：RCLILICPL=50kW=0.5IQ=QL+QC=0，QC=–QL=–86.6kvar=–

CU2

C=–QC

U286600=100

×2202=5695.4µF此时，因

=1，故

P=UI，即I==PU50000220=227.27A

LUILICI••••QCQLS•

采用相量叠加法更加简单直接，如右图所示。例12-12电路如图12-20所示，已知I1=100+j50A，U1=500+j0V，I4=50–j50A，U4=200+j200V，试求每个元件吸收的无功功率以及整个电路的总无功功率。••••+–1I1•234+–+–I2•I3•I4•U1•U2•+–U3•U4•解：由无功功率的定义，可得Q1=Im[U1(–I1)*]=Im[(500+j0)(–100+j50)]=25kvarQ4=Im[U4I4*]=Im[(200+j200)(50+j50)]=20kvarQ2=Im[U2(–I2)*]=Im[(U1–U4)I1*]=Im[(300–j200)(100–j50)]=–35kvar•••••••Q3=Im[U3I3*]=Im[U4(–I2–I4)*]=Im[(200+j200)(50–j100)]=–10kvar•••••••Q=Q1+Q2+Q3+Q4=25–35–10+20=0(为什么？)例12-13电路如图12-21所示，试求每个负载吸收的总复功率，及输入电流有效值。+–I2300V10kW0.8(超前)15kW0.6(滞后)解：由无功功率的定义，可得S1=S1[cos

Z1+jsin

Z1]由S=UI得I=•=100000.8[0.8–j1–0.82]=10000–j7500V•AS2=S2[cos

Z2+jsin

Z2]•=150000.6=15000+j20000V•A[0.6+j1–0.62]S=S1+S2

=25000+j12500=27950.8526.57°V•A•=SU27950.852300=12.15A例12-3求图12-5所示正弦稳态电路中各电阻的平均功率总和，各电感、电容平均储能的总和。2cos2tVi1+–1

1

1F1F1H1Hi2解：用相量网孔方程法求解。列网孔方程)I1(1+j2–j21•)I2–(–j21•=1)I1–(–j21•+(1+j2–j1)I2•=0解得I1=•1+j23j21101+j231+j23j21j21=0.563–50.7°I2=•1+j23j21101+j231+j23j21j21=0.2174.3°电阻平均功率和P=I12R

+I22R=05632+0.22=0.357W电感平均储能和WL===0.178JLI22LI12+2121(05632+0.22)21电容平均储能和WC==0.07JCU22CU12+2121(0.36062+0.12)21U2=I2C0.22==0.1VU1=I2|1+j1.5

|=0.212+1.52=0.3606VWC=