平面向量的基本概念及平面向量的几何运算

平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段的三要素：起点，大小，方向A(A(起点)B（终点）a5.有向线段与向量的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线段表示相同（等）的向量。③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；7.向量的模：向量的大小（长度）称为向量的模，记作||.8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0∥ａ。说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.10.相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.11.共线向量与平行向量关系：BAOCBAOCDEF说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。（2）共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（4）零向量（5）共线向量（平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例2.下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例3.如右图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量相等的向量。解：按照向量相等的定义可知：向量的加法运算及其几何意义１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”）3.三角形法则的来由如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+aAABCa+ba+baabbaｂba+ba4.向量加法的字母公式：5.平行四边形法则图1如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别：平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。一般结论当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.二．例题讲解例1、已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于（）A．0 B．3 C．2 D．2.解：DCA作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=2,所以选D.例2.化简:(1)+;(2)++;(3)++++.例3.如图所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴=,=.于是a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=8.1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2.（1）．判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因.①=0②.-=0若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是___________.将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？___________3．下列说法正确的是（）A.平行向量是方向相同的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在同一条直线上的向量4．若非零向量与共线，则以下说法下确的是（）A.与必须在同一直线上B.与平行，且方向必须相同`C.与平行，且方向必须相反D.与平行1、在四边形中，若，则四边形的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是（）A、与为平行向量B、与为模相等的向量C、与为共线向量D、与为相等的向量3、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>bD.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|平面向量的加法运算用三角形法则和平行四边形法则分别画出2、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>bD.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|3、已知正方形的边长为1，=a，=b，=c,则|a+b+c|等于()A.0B.3C.D.24、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是A、与为平行向量B、与为模相等的向量C、与为共线向量D、与为相等的向量5、在四边形中，若，则四边形的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形6、已知正方形的边长为1，，，，则等于()(A)0(B)3(C)(D)7、如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）(A)(B)(C)(D)选择题已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(

)．A．1

B．2

C．

D．C

又∵，，，∴∴，∴的最大值为选择题记，设为平面向量，则(

)A.

B.C.

D.D本题考查平面向量的模、数量积以及分段函数、函数最值，考查向量的加法和减法的几何意义．中档题．和是以为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量，所以选择题平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（

）

B．

C．

D．D本题考查平面向量中的有关知识：平面向量基本定理、向量加法的几何含义、向量数量积的定义以及利用数量积求夹角等基础知识．单选不同的方法难易度不一样，中档题．方法一）因为，，所以，又，所以即．方法二）由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又，故．选择题设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不向的四点，若，，且，则称A3，A4调和分割A1，A2．已知点C(c，0)，D(d��0)，(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(

)．A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上D由题意得，，且，若C，D都在AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1，，这与矛盾，故选D．选择题已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a∙b=0，若向量c与a-b共线，则|a+c|的最小值为（

）A．1

B．

C．

D．2

B

如图,设=b,=a,则=a-b作CD⊥AB于D∵向量c与a-b共线|a+c|的最小值即为||=

选择题在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（

）A．B．

C．

D．

A

方法一：设，则．方法二：将向量按逆时针旋转后得，

设=+，则=（14，2）

因为||=||，所以四边形OMQ′P为正方形，所以向量在正方形之对角线上。

因为是的一半，所以向量与反向且||=||=||=10所以=－λ（λ>0）由|－λ|=10得，λ=，所以．

选择题已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足=，=(1－λ)，λ∈R，若·=－，则=（

）A．B．C．D．

A

如图，设，则，又，，由·=－得即也即，整理得，解得λ=．

选择题如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若

，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

试题分析：由于、、三点共线，设，则

，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此

，，所以，选C.

考点：1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示选择题在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，下列命题正确的个数是（

）

（1）平面内点G满足，则G是的重心；（2）平面内点M满足，点M是的内心；（3）平面内点P满足，则点P在边BC的垂线上；

A.0

B.1

C.2

D.3【答案】B【解析】

试题分析：对（2），M为的外心，故（2）错.

对（3），，所以点P在的平分线上，故（3）错.易得（1）正确，故选B.

考点：三角形与向量.选择题已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（

）A．无论k，如何，总是无解B．无论k，如何，总有唯一解C．存在k，，使之恰有两解D．存在k，，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意，直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．

【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．选择题如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c.点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于()

A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c【答案】B【解析】＝－＝

(＋)－＝

(b＋c)－a＝－a＋b＋c.选择题在四边形ABCD中，=，且，则四边形ABCD是（

）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】B【解析】

试题分析：∵，∴，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵，∴，∴四边形ABCD是菱形.

考点：平行四边形与菱形的判定，平面向量的数量积.选择题在平行四边形中，等于

（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】

试题分析：如图，在平行四边形ABCD中，,∴.

考点：平面向量的加法与减法运算.选择题已知为平行四边形，若向量，，则向量为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

试题分析：

考点：向量的减法选择题在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是()A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求两三角形面积之比只需求出高的比，变换已知的向量等式即可得出两三角形面积之比等于高的比值.2＋＝－，即2＋＝＋＝，即＝3，即点P在边AC上，且PC＝AC，即△PBC与△ABC高的比是，两三角形具有相同的底BC，故面积之比为.选择题如图，已知＝，用，表示，则等于()

A．－B．＋C．－＋D．－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋

(－)＝－＋，选C.选择题设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－

e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.选择题四边形OABC中，，若，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】

试题分析：,所以.

考点：向量的加减.选择题在中，D为AB边上一点，，，则=（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】

试题分析：由已知得，，故,故．

考点：1、平面向量基本定理；2、向量加法的三角形法则.选择题设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A．若B．若C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则【答案】C【解析】

试题分析：根据向量加法的几何意义，其中等号当且仅当向量共线时成立，由可得，其中，由此可知，只有C项是正确的，故选C.

考点：1、向量加法的几何意义；2、数乘向量与共线向量.选择题平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|的值为()A．B．2C．4D．12【答案】B【解析】由已知|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，

所以|a＋2b|＝2．选择题空间任意四个点A、B、C、D，则等于(

）

A．

B．

C．

D．【答案】C【解析】

试题分析：如图，

，故选：B．

考点：向量加减混合运算及其几何意义．选择题在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

试题分析：，

因为是的中点,,所以，

==

，

＝,故选C.

考点：1、向量的加法，减法几何运算；2、向量共线.选择题在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点,若，，则(

)A．B．C．D．【答案】D【解析】

试题分析：由题意可知，与相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，，解得，，由向量加法的三角形法则可知，,故D正确。

考点：平面向量的加减法选择题关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b=a·c，则b=c；

②若a=（1，k），b=（-2，6），a∥b，则k=-3;

③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a－b|，则a与a+b的夹角为30o．

（参若a-（1，k），b=（-2，6），a

其中真命题的序号为（

）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】C【解析】

试题分析：①当时，不一定相等，故①不正确；②若a∥b，则有，解得，故②正确；③令,则,因为|a|=|b|=|a－b|，所以为正三角形。设以为临边的平行四边形为,因为为正三角形，所以为菱形且。由向量加法的平行四边形法则可知。所以。故③正确。

考点：平面向量的加减法、平行及数量积的计算。选择题已知向量，若，则(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】

试题分析：因为，所以，解得，即，所以，，所以

考点：向量共线数量积公式，向量加减法坐标公式选择题△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（

）A．B．1C．D．【答案】D【解析】

试题分析：∵,即，∴，为直径，

∴.

考点：1.向量的加减法运算；2.向量的数量积.选择题已知三个内角A，B，C所对的边，若且的面积，则三角形的形状是（

）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．有一个为的等腰三角形【答案】C．【解析】

试题分析：由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，故是等腰直角三角形，故选C．

考点：1．向量垂直的充要条件；2．三角形形状的判断；3．求三角形面积公式．选择题如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（）

A．B．9C．D．－9【答案】C．【解析】

试题分析：由题意设，则，所以

，当时有最小值.

考点：向量的运算．选择题已知不共线向量，，｜｜＝2，｜｜＝3，·（－）＝1，则｜－｜＝（

）A．B．2C．D．【答案】A【解析】

试题分析：由已知，可得，又，故选A．

考点：向量的运算选择题在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】

试题分析：

过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，

则是在上的投影，即，

即在上的投影，，

令，，

，

，

故需要，

，即，

为的中点，又是边上的高，

是等腰三角形，故有,选C.

考点：共线向量，向量的数量积.填空题已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为________．【答案】6【解析】|a|＝＝5，|b|＝＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝＝＝.故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝5×2×＝6.填空题在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是________．[1，4]如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1)．设，则，．设M(2，t)，N(2－2t，1)，故，因为f(t)递减，所以，．填空题在边长为1的正三角形中，设，则．

∵=+,=+∴·=(+)·(+)=·+·+·+·

=1×1×-1×-1×+××=

填空题在直角三角形中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则·+·=

4

由题意知三角形为等腰直角三角形(如图)．因为P是斜边AB上的一个三等分点，所以=．

又=+=+，所以·=2+·=4+×2×2cos1350=·=·+·=×2×2cos450=所以·+·=4

填空题在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若N、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是

。

[2，5]

设==（0≤≤1），则=，=，则===+++，又∵=2×1×=1，=4，=1，∴=，∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范围是[2，5]．

===============================================================================填空题在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________．

－16

法一:此题最适合的方法是特例法．如图，假设△ABC是AB＝AC的等腰三角形．∵AM＝3，BC＝10，∴AB＝AC＝．cos∠BAC＝=－．＝cos∠BAC=－16法二：=·=·===－16

填空题在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．

2

由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=2

填空题设是已知的平面向量，向量，,在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题:

①给定向量,总存在向量,使;

②给定向量和,总存在实数和,使;

③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;

④若=2，存在单位向量、和正实数，,使，则

其中真命题是____________.【答案】①②④【解析】

试题分析：给定向量,总存在向量,使，即.显然存在.所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以③不正确.存在单位向量、和正实数，,由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得..由.所以④成立.综上①②④.

考点：1.向量的运算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.填空题如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．【答案】2【解析】∵O是BC的中点，

∴＝(＋)．

又∵＝m，＝n，

∴＝＋.

∵M，O，N三点共线，

∴＋＝1，则m＋n＝2.填空题如图，在四边形中，，为的中点，且，则

.

【答案】1【解析】

试题分析：因为为的中点，，又

，

，

考点：向量的线性运算性质及几何意义填空题已知，，，，且∥，则＝

．【答案】【解析】

试题分析：由∥知，，那么原式．

考点：平行向量间的坐标关系．填空题已知平面向量，，且∥，则

．【答案】【解析】

试题分析：∵∥，∴，∴，∴，∴.

考点：向量平行的充要条件、向量的模.填空题已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为

．【答案】5【解析】

试题分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．

解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）

设P（0，b）（0≤b≤a）

则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），

∴=（5，3a﹣4b）

∴=≥5．

故答案为5．

点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．填空题在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为

．【答案】6【解析】

试题分析：根据题意可得：，则，化简得：，解得：．

考点：向量的运算填空题已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.【答案】【解析】

试题分析：设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.

考点：1.向量；2.二次函数.填空题在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=______(用a,b表示).【答案】-a+b【解析】由=3得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.填空题如图，在△中，已知，，，，，则

．

【答案】【解析】

试题分析：因为，所以

因此

考点：向量表示填空题已知平行四边形，是的中点，若，则向量=

（用向量表示）．【答案】【解析】

试题分析：在三角形中,将所求向量表示成已知向量的和与差,利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键.

考点：向量三角形法则,填空题在平面直角坐标系中，O是原点，是平面内的动点，若＝，则P点的轨迹方程是___________。【答案】y2=2x－1【解析】

试题分析：设P(x，y)，则，又因为||＝||，所以(x－1)2+y2=x2，整理得．

考点：向量的运算，求轨迹方程．填空题已知=（2,0），，的夹角为60°，则

．【答案】【解析】

试题分析：.

考点：向量的基本运算.填空题半圆的直径AB＝2,O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是________________；【答案】【解析】

试题分析：因为点O是线段AB的中点，所以向量=.所以=.又因为向量是互为相反向量.所以=-2=-2=.所以填.

考点