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./第一章勾股定理知识导学：

勾股定理：在任何一个直角三角形中,两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为"商高定理",在外国称为"毕达哥拉斯定理"。运用勾股定理进行有关的计算和证明,在有关直角三角形求边的计算中,只要分析出两个条件。〔其中至少一边就能解。要注意有时要利用边与边之间的关系,设未知数通过列方程来解几何题。在运用勾股定理进行证明时,要结合已知条件和所学过的各种图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形,同时要加强分析。

典型例题：

例1.如图在中,,的平分线AD交BC于D,

求证：。

证明：平分

在中,

例2.作长为的线段。

分析：故只须先作出长为的线段。

作法：<1>作直角边长为1〔单位长的等腰直角三角形。

<2>以斜边AB为一直角边,作另一直角边长为3的Rt⊿ABD,则线段BD的长为所求。例3.如图,中,分别为BC的高和中线,求DE的长。解：设

又

在中,

在中,

即

解得：

例4.如图：正方形ABCD中,E是DC中点,F是EC中点。

求证：。

分析：要证,一般方法是在中取一个角使之等于,再证明另一个角也等于,

另一种方法是把小角扩大一倍,看它是否等于较大的角。

证明：取BC中点G,连结AG并延长交DC延长线于H。

∵∠ABG=∠HCG,BG=CG,∠AGB=∠HGC

又

在中,设,由勾股定理得：

又课后练习：

1.如图,中,,D为BC的中点。

求证：。

2.如图中,,求AC的长及的面积。

3.如图中,,AD为的平分线交BC于D,,,求AC的长。4.如图,中,,求BC的长。5.如图中,,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且,

求证：。

答案：

1.证明：

2.解：作AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E

连结BE,则

在中,3.解：作交AB于E

平分

在和中,

在中,

又4.解：作于D

由知

又

在中,〔负值舍去

5.证明：延长FD到G使

连结AG、EG,则EF=EG

趣话勾股定理1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的,也是最著名和最有用的定理。在我国,人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲,人们称它为毕达哥拉斯定理。

勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理,它的出现称得上是数学发展史上的里程碑,那么勾股定理称得上是最佳选择。但是,如果人们要考究这个定理的起源,则常常会感到迷惑。因为在欧洲,人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究,人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年,古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中,第一章记述了西周开国时期〔约公元前1000年商高和周公姬旦的问答。周公问商高："天不可阶而升,地不可将尽寸而度。"天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答："故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。"即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也,正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸,正北千里,勾一尺七寸。日益表南,晷日益长。候勾六尺,即取竹,空经一寸,长八尺,捕影而观之,室正掩日,而日应空之孔。由此观之,率八十寸而得径寸,故此勾为首,以髀为股,从髀至日下六万里而髀无影,从此以上至日,则八万里。这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明："……商高,陈子等利用立竿〔即周髀测定日影,再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺,在镐京〔今XX附近一带,夏至日太阳影长一尺六寸,再正南千里,影长一尺五寸。正北千里,影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法,推算了夏至日太阳离地的斜高,用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管,径一寸长八尺,用来观测太阳,我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线,於是用太阳的斜高和勾股的原则,推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略,和实际相差很远,但在三千年前那样早的年代,有这样天才的创造和实践的观测精神,是我们应该学习的。"由此,中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是,欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理,也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人,至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然,毕达哥拉斯有不少杰出的证明,如利用反证法证明√2不是有理数,但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时,非常的高兴,杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛,这个代价可太大了！

勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里。汉朝的数学家赵君卿,在注释《周髀算经》时,附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？〔提示：考虑黑边框正方形的面积计算勾股定理及其逆定理一、知识要点

1.掌握直角三角形的性质。

如图,直角ΔABC的性质

〔1勾股定理:∠C=90°,则有c2=a2+b2

另外还有:

〔2∠C=90°,则有∠A+∠B=90°,

〔3∠C=90°,则有c>a,c>b。

〔4补充定理：在直角三角形中,如果有一个锐角等于30度,则这个角所对的直角边等于斜边的一半。

如图：

∠C=90°且∠A=30°,则有BC=AB<或者AB=2BC>

2.掌握勾股定理的逆定理：

勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理。

即在ΔABC中,若a2+b2=c2,则ΔABC为RtΔ。其中c是三角形中最长的边。

3.注意事项:

<1>注意勾股定理只适用于直角三角形,一般的非直角三角形就不存在这种关系。

<2>理解勾股定理的一些变式

c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2

c2=<a+b>2-2ab,2ab=<a+b+c><a+b-c>

<3>在理解的基础上熟悉下列勾股数。

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数〔又称为高数或毕达哥拉斯数,显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的：

<3,4,5>,<6,8,10>,<5,12,13>,<7,24,25>,<8,15,17>……

如果<a,b,c>是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。

二、例题精讲:

例1、已知如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,求CD的长。

分析：本题考查勾股定理的应用,解题思路为先用勾股定理求AC,再运用三角形的面积公式得到SΔABC=

BC·AC=AB·CD,于是不难求CD。

解：因为ΔABC是直角三角形,AB=5,BC=3,由勾股定理有

AC2=AB2-BC2=25-9=16,故AC=4。

又SΔABC=BC·AC=AB·CD

∴CD=,∴CD的长是2.4cm。

解题规律：

〔1勾股定理的一个重要应用就是已知直角三角形的两边可以求出第三条边。因此,熟记一些平方数为勾股定理的运用提供便利。

〔2本题的解题关键是先用勾股定理求AC,再用"面积法"求CD。

例2、试判断：三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1<n>0>的三角形是否是直角三角形。

分析：条件中给出的是三边的长,要判断三角形是否为直角三角形,应考察三边的关系是否满足a2+b2=c2,但是要找出最大的边。

解：∵<2n2+2n+1>-<2n2+2n>=1>0,

<2n2+2n+1>-<2n+1>=2n2>0<n>0>,

∴2n2+2n+1为三角形中最大边。

又∵<2n2+2n+1>2=4n4+8n3+8n2+4n+1,

∴<2n2+2n>2+<2n+1>2=4n4+8n3+8n2+4n+1,

∴<2n2+2n+1>2=<2n2+2n>2+<2n+1>2

根据勾股定理的逆定理可知,此三角形为直角三角形。

解题规律：

如何判定一个三角形是否是直角三角形。

①首先判定出最大边〔如c；

②验证：c2与a2+b2是否具有相等关系：

若a2+b2=c2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形。

若a2+b2≠c2,则ΔABC不是直角三角形。

例3、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。

分析：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。

解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴<a-3>2+<b-4>2+<c-5>2=0。

∵<a-3>2≥0,<b-4>2≥0,<c-5>2≥0。

∴a=3,b=4,c=5。

∵32+42=52,

∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。

评注：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

例4、已知：如图,折叠长方形〔四个角都是直角,对边相等的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长。

分析:容易知道三角形ΔAEF≌ΔAED,则AF=AD=BC=10,易求得BF、CF,在RtΔEFC中,满足EF2=CE2+CF2。

解：设CE=x,则DE=8-x,

由条件知：ΔAEF≌ΔAED,∴AF=AD=10,EF=DE=8-x,

在ΔABF中,BF2=AF2-AB2=102-82=62,

∴BF=6,∴FC=4,

在RtΔEFC中：EF2=CE2+CF2,∴<8-x>2=x2+42,

即64-16x+x2=16+x2,∴16x=48,x=3,

答：EC的长为3cm。

解题规律：1.题目中有多个直角三角形,可以多次使用勾股定理；

2.利用解方程的思想来解决几何问题是今后我们常用到的数学方法。

例5.如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。

分析：题目中给出的是一些线段之间的关系,如何利用线段关系来考察直线垂直呢?连接DF,我们发现考察FE与DE是否垂直,实际上就是考察三角形DEF是否为直角三角形。

答：DE⊥EF。

设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,

∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF〔如图

∵DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,∴FE⊥DE。

解题思路:

〔1要正确区别与运用勾股定理和它的逆定理；

〔2用计算的方法来说明三角形是直角三角形也是常用的方法；

〔3还可以设AB=a,有兴趣的同学试试看；

〔4在以后的学习中还可以看到此题有更多和更好的证明方法。

例6、〔上海市中考题如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？

分析：〔1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。

〔2要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。

解：作AB⊥MN,垂足为B。

在RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,

AP=160,∴AB=AP=80。

〔在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半

∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响。

如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100<m>,

由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,∴BC=60。

同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100<m>,BD=60<m>,

∴CD=120<m>。

拖拉机行驶的速度为:18km/h=5m/s

t=120m÷5m/s=24s。

答略。

小结:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

例7.CD是ΔABC的高,试判断："CA2-CB2=AB<DA-DB>"是否成立？

分析：

<1>作出三角形的高以后,可以出现两个直角三角形；

<2>由于三角形的高有不同情况,高可能在三角形内部,可能在三角形外部,因而要考虑分类讨论；

<3>根据问题需要,可考虑应用勾股定理进行试探。

答：〔1当CD在ΔABC形内时〔如图：

CA2-CB2=AD2-DB2=<AD+DB><AD-DB>=AB<AD-DB>

〔2当CD在ΔABC形外时〔如图：

CA2-CB2=AD2-DB2=<AD+DB><AD-DB>=AB<AD+DB>

所以,当高在三角形内部时成立,在三角形外时不成立。

解题思路:

〔1有直角时,出现线段平方的关系常常会涉及到勾股定理；

〔2当可能性不唯一时,要分类讨论。

练习:

1.填空题目:

〔1直角三角形的周长为12cm,斜边的长为5cm,则其面积为________；

答：6。

详解：设两直角边分别为a和b,则有：a+b=7,将a+b=7两边平方得：

∴a2+2ab+b2=49而a2+b2=52=25,

∴2ab=24,∴ab=6。

〔2如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍,斜边长是5cm,那么这个直角三角形的面积为______。

答：5

详解：设一条直角边为a,另一条直角边为2a,则SΔ=a×2a=a2,

而a2+<2a>2=25,∴a2=5,∴SΔ=a2=5。

<3>若三角形的三边为n+1,n+2,n+3,当n=_____时,这个三角形是直角三角形。

答：2。

详解：n+3是最大边,当<n+1>2+<n+2>2=<n+3>2时,即n=2时,这个三角形是直角三角形。

<4>如图,AD⊥CD,AB=13,BC=12,CD=4,AD=3,若∠CAB=55°,则∠B=______。

答：35°。

解：在直角三角形ADC中,求得AC=5,由此可证得：ΔABC为RtΔ。则有∠B=90°-∠CAB=35°

<5>如果梯子的底端离建筑物9m,那么15m长的梯子可以到达建筑物的高度是____。

答：12m。点拨：设到达的高度为x,则有x2=152-92=144。∴x=12。

2.选择题:

<1>如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于〔。

A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm

答：B。

详解：AB2=62+82=100,所以AB=10。

依题意有：ΔACD≌ΔAED。

设CD=x,则DE=x,BD=8-x,BE=10-6=4。

在RtΔDEB中：x2+42=<8-x>2,x=3cm。

〔2如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是〔

A、1∶2∶4B、1∶3∶5C、3∶4∶7D、5∶12∶13

答：D。

设三边分别为5m,12m,13m。三边满足勾股数。

〔3下列叙述中,正确的是〔。

A、直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方。

B、如果一个三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形

C、ΔABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°

D、ΔABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c,若c2-a2=b2,那么∠B=90°

答：B。分析：A错,直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。

〔4直角三角形有一条直角边的长为11,另外两边的长也是自然数,那么它的周长是〔。

A、132B、121C、120D、以上答案都不对

答：A。

详解：设另两边为x,y<x>y>,则有x2-y2=112=121,由平方差公式得<x+y><x-y>=121,∵x+y>x-y。

∴x+y=121且x-y=1,

∴周长为121+11=132。

3.如图,从电线杆离地面6m处向地拉一条长10m的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

依题意：AC=6,AB=10,如图,在RtΔACB中,BC=8<m>。

故这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有8m。

4.在一根长为24个单位的绳子上,分别标出A、B、C、D四个点,它们将绳子分成长为6个单位、8个单位和10个单位的三条线段。一手将绳子的两个端点握在一起〔A点和D点,两名同伴分别握住B点和C点,一起将绳子拉直,会得到一个什么形状的三角形？为什么？

答：得到一个直角三角形,因为62+82=102。所以,所得三角形为RtΔ。

5.已知：如图,在ΔABC中,∠A=90°,DE为BC的垂直平分线。求证：BE2=AC2+AE2。

答：连CE,则BE=CE,

∵∠A=90°,∴AE2+AC2=EC2,〔勾股定理

∴AE2+AC2=BE2,即BE2=AC2+AE2。第一章检测题一、选择题

1、若把直角三角形的三边都增加同样的长度,则新三角形是〔。

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定

2、下列各组数分别是三角形三条边的长,能构成直角三角形的边的是〔。

A、5,13,13B、1,C、1,,3D、1.5,2.5,3.5

3、正方形ACEF的边AC是正方形ABCD的对角线,则正方形ABCD与正方形ACEF的面积比是〔。

A、∶2B、∶1C、1∶2D、4∶1

4、已知三角形两边分别是5和12,若这两边的夹角是30°,则其面积是〔。

A、30B、15C、45D、60

5、已知等边三角形的面积为cm2,那么它的高是〔。

A、cmB、cmC、cmD、cm

二、填空题

6、如图1,CE、CD分别是RtΔABC斜边上的高和中线,那么图中所有的直角三角形分别是_____,图中所有的等腰三角形是_____,其中相等的线段是_____=_____=_____。

7、如图2,在ΔABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,EF⊥AC交AD于G,那么图中所有直角三角形分别是________,

∠DAC是RtΔ_____与RtΔ________的公共角,∠C=∠_____=∠_____；若∠BAD=42°,∠CAD=15°,则∠GDE=____度,

∠DGE=____度,∠DEG=____度。

8、在ΔABC中,∠A的对边为a,∠B的对边为b,∠C的对边为c,∠C=90°。

①若a=5,b=12,c=_____。

②若b=5,c=7,则a=_____。

③若c=30,a∶b=3∶4,则a=____,b=_____。

④若a=m,∠A=30°,则b=_____,c=______。

⑤若b=m,∠A=30°,则a=_____,c=______。

⑥若a=b,c=m,则a=_____,SΔABC=_____。

⑦若a=b=m,则c=_____,SΔABC=_____。

9、在RtΔABC中,∠C=90°,a=6,b=8,则c=_____,斜边上的高等于____。

10、正方形的面积为acm2,则以这个正方形的对角线为边的正三角形的面积是______。

11、在ΔABC中,BC=n2-1,AC=2n,AB=n2+1,则∠A+∠B=_____。

12、直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,则斜边上的高是_____cm。

13、已知等边三角形的边长为6,则它的高是______,面积是_______。

14、在ΔABC中,AC⊥BC,以AC和BC为边向形外作等边三角形的面积为3cm2和4cm2,则以斜边AB为边向形外所作等边三角形的面积是_____。

15、已知直角三角形的两条直角边是6cm和8cm,则斜边上的中线长是_____。

16、若直角三角形的两直角边满足a+b=,斜边c=2,则SΔABC=______。

三、解答题

17、在ΔABC中,∠C=90°,AB=m2+n2,BC=m2-n2<m>n>0>,求AC。

18、直角三角形斜边上的中线比一直角边短1cm。如果斜边长为10cm,求两条直角边的长和面积。

19、如图3,在ΔABC中,AB>AC,AD是中线,AE是高。求证：AB2-AC2=2BC·DE。

20、如图4,水池中离岸边D点1.5m的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5m,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好在D点。求：水的深度AC。

21、沙漠探险队的A组由驻地出发,以12公里/小时的速度向东南方向搜索前进,同时,B组也由驻地出发,以9公里/小时的速度向东北方向搜索前进,求2个小时后,A、B两组之间的距离。

第一章检测题答案：

一、1.A2.B3.C4.B5.C

二、6.ΔABC、ΔAEC、ΔBEC、ΔDEC；ΔADC、ΔBDC；AD,DC,DB

7、ΔADB、ΔADC、ΔDEB、ΔDEA、ΔAEF、ΔAGF；ADC,AFG;AGF,EGD；48,75,57

8、①13②③18,24④,2m

⑤⑥⑦

9、10,4.8〔提示：利用直角三角形的两个面积公式,得到方程即ab=ch,得到,其中a,b,为直角边,c为斜边,h为斜边上的高.

10、

11、90°〔提示：满足BC2＋AC2=AB2,所以三角形ABC是以顶点C为直角的RT△。

12、

13、

14、7cm2〔提示：等边三角形的面积公式为,其中a为等边三角形的边长。这个公式记住直接用会很快。设RT△三边为a,b,c,则。

15、5cm

16、。<提示：a+b=,则<a+b>2=6,a2+b2+2ab=c2+2ab=6,所以2ab=6-22=2,直角三角形的面积为

>

三、17、2mn

18、6cm,8cm,24cm2。

19、证明：

AB2-AC2

=<BE2+AE2>-<EC2+AE2>

=BE2-EC2

=<BE+EC><BE-EC>

=BC·<BE-EC>

∵BD=DC,∴BE=BC-EC=2DC-EC。

∴AB2-AC2=BC·<2DC-2EC>=2BC·DE。

20、如图,依题意AB=AD,AB⊥CD,

设AC长度为x,由题意得CD=1.5,AB=x+0.5=AD,

所以：x2+1.52=<x+0.5>2,

解得x=2。

答：水的深度为2米。

21、2小时后,A组走的路程为：12×2=24,

B组走的路为：9×2=18。

因两组前进的方向是直角,所以两组之间的距离是：

=30〔公里。

答：2小时后,两组之间的距离是30公里。第二章实数平方根和立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根〔或二次方根。

注意：这样的数常常有两个。2、平方根的性质：

<1>一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。

<2>0的平方根是0本身；

<3>负数没有平方根。3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为"±"4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。记作。0的平方根0,也叫做0的算术平方根。5.≥0〔当a<0时,无意义。到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和<a≥0>。6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆,例如出现100的平方根等于10的错误．2.表示的正数a的算术平方根。蕴含条件a≥0。三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:

<1>121<2>0.0049<3><4>4<5>|a|2解:<1>∵<±11>2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即±=±11,=11。<2>∵<±0.07>2=0.0049∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07,=0.07。<3>∵<±>2=∴的平方根是±,算术平方根是,即±=±,=。<4>要先把带分数化成假分数,即4∵<±>2=∴4的平方根为±,算术平方根为。即,±。<5>∵<±|a|>2=|a|2,而±|a|=±a。∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。例2.求下列各式的值:解:<1>3=3×=<2>±=±<3>=8<4>±=±<5>-<带分数要先化成假分数><6>3×=3×7=21<7><8>×0.6+×0.9=0.3+0.3=0.6<9><a<b>=∵a<b,∴原式=-<a-b>=b-a。<10>=-1例3、化简：分析：本题逆用幂之积,完全平方公式进行变形化简。解：原式=例4、如图,数轴上的点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d,其中A和B关于原点对称。

〔1化简：

〔2求值：3a+2c+d+2|c-b|+分析：∵A与B关于原点对称∴a=-b代入各式化简。解：〔1∵a=-b,由图可知b>0∴原式=〔2∵b>c,b>d；

原式=3a+2c+d+2<b-c>+b-d

=3a+2c+d+2b-2c+b-d

=3a+3b=3a-3a=0例5.求下列各式中的x:<1>49x2=169解:x2=∴x=±∴x=±。<2>9<3x-2>2=<-7>2分析:先求出3x-2的值,再进一步求x的值。解:<3x-2>2=∴3x-2=±∴3x-2=±接下来需分类讨论。

当3x-2=时,3x=+2,∴x=。

当3x-2=-时,3x=-+2,∴x=-。

∴x=或x=-。<3>=11解:两边平方得x=121。<4>27<x-3>3=-64解:<x-3>3=-∴x-3=∴x-3=-∴x=<5><5x+2>3-125=0解:<5x+2>3=125∴5x+2=∴5x+2=5

∴x=<6>=2解:∴x-1=23∴x-1=8∴x=9例6.若<x-y+5>2与互为相反数,求x,y的值。解:∵<x-y+5>2与互为相反数。∴<x-y+5>2+=0∵<x-y+5>2≥0,≥0,∴解这个方程组得∴x=-且y=。说明:在这里用到"几个非负数的和为零,只有这几个非负数分别是零,才符合要求"这一性质。四.练习:1.判断正误:<1>的平方根是±3。〔<2>=±。〔<3>16的平方根是4。〔<4>任何数的算术平方根都是正数。〔<5>是3的算术平方根。〔<6>若a2=b2,则a=b。〔<7>若a=b,则a2=b2。〔<8>729的立方根是±9。〔<9>-8的立方根是-2。〔<10>的平方根是±。〔<11>-没有立方根。〔<12>0的平方根和立方根都是0。〔2.填空:<1><-3>2的平方根是______,算术平方根是______。<2>169的算术平方根的平方根是______。<3>的负的平方根是______。<4>-是______的一个平方根,<->2的算术平方根是______。<5>当m=______时,有意义；当m=______时,值为0。<6>当a为______时,式子有意义。<7>是4的______,一个数的立方根是-4,这个数是______。<8>当x为______时,有意义。<9>已知x2=11,则x=______。<10>当a<0时,=______。3.选择题:<单选><1>在实数运算中,可进行开平方运算的是<>。

<A>负实数<B>正数和零<C>整数<D>实数<2>若=5,则x=<>

<A>0<B>10<C>20<D>30<3>下列各式中无意义的是<>。

<A>-<B><C><D><4>下列运算正确的是<>

<A>-=13<B>=-6<C>-=-5<D>=±<5>如果a<0,那么a的立方根是<>

<A><B><C>-<D>±<6>下列各题运算过程和结果都正确的是<>

<A><B>=2×=<C>=7+=7<D>=a+b4.求下列各式中x的值:

<1>4x2-100=0<2>64<x+1>3+27=05.如果+|6y-5|=0,求xy的值。练习参考答案:1.判断正误:

<1>×<2>×<3>×<4>×<5>√<6>×

<7>√<8>×<9>√<10>√<11>×<12>√2.填空:

<1>±3；3<2>±<3>-

<4>3；<5>m≥；m=3<6>a≥2且a≠3

<7>立方根；-64<8>x为任意实数<9>±<10>-a3.选择题:

<1>B<2>D<3>D<4>C<5>A<6>A4.求x的值:

<1>x=±5<2>x=-5.x=,y=,xy=。10.1平方根考点扫描

1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义。

2.会用根号表示一个数的平方根和算术平方根。名师精讲

1.如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,即如果x2=a,那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根。2.一个正数a的正的平方根,用符号""表示,a叫做被开方数,2叫做根指数,2通常省略不写,表示为,正数a的负的平方根,用符号"–"表示,这两个平方根合起来记作"±",0的平方根记作""。求一个正数a的平方根的过程,就是平方的逆运算——开方,求平方等于a的两个数的过程,常用的方法步骤是：①从平方入手,写出形如<±>2=a的式子；②从平方式确定出所求数的平方根；③表示出开平方的结果

±=±x。3.本节的内容是本章的基础,重点是理解平方根及算术平方根的意义,所以试题以判断、选择、填空的形式出现较多,解题时应注意对概念的理解。利用定义求某些数的平方根及算术平方根也是常出现的题目。中考典例

1.<北京海淀区>已知x、y是实数,若axy–3x=y,则实数a的值是<>

A、B、–C、D、–考点：一元一次方程的解法、算术平方根评析：将原条件变为。根据算术平方根,平方的非负性可得3x+4=0,y–3=0,解得

x=,y=3将其代入到axy–3x=y中,建立关于a的一元一次方程–4a+4=3解得a=,故选A。2.<XXXX>计算：-22+<-2>2+

考点：平方根的运用。评析：此题关键是求的算术平方根,然后再进行加法运算,但应注意–22与<–2>2的不同。

计算结果为。3.<XX省>36的算术平方根是<>

A、6B、±6C、D、±考点：算术平方根。评析：求一个正数的算术平方根,即为正数,所以可用平方法确定,因为6的平方是36,所以36的算术平方根为6,选A。此题也可用排除法,根据算术平方根的定义排除B、D,由<>2≠36,排除C,因此选A。真题专练

1.<北京市燕山>下列各式中,正确的是<>

A、B、=±2C、=2D、=–22.<北京市西城区>下列运算中正确的是<>

A、a2·a3=a6B、=2C、<3–π>0=0D、3–2=–93.<XX省>4的平方根是。4.<北京崇文区>下列计算结果正确的是<>

A、<–2>2=4B、2–2=–4C、<–2>0=0D、5.<XX省>若|x–2|+=0,则xy=。6.<XX市>一个正数x的两个平方根分别是a+1和a–3,则a,x。答案：1、C；2、B；3、±2；4、A；5、6<提示：由条件得：x–2=0,y–3=0,即x=2,y=3>；6、1,4<提示：由平方根的意义可知a+1+a–3=0,解得a=1,则x=4>。10.3立方根考点扫描

1.知道一个数的立方根的意义。

2.会用根号表示一个数的立方根。名师精讲

1.关于立方根的概念可参照平方根的概念来学习。如果x3=a,那么x叫做a的立方根。2.平方根与立方根的区别

<1>表示方法：平方根用"±"表示,根指数2可以省略；立方根用""表示,根指数3不能略去,更不能写成"±"。<2>性质：一个正数有两个平方根,它们互为相反数,一个正数有一个正的立方根；负数没有平方根,一个负数有一个负的立方根。<3>立方根中的a的取值为任何数,即正数、负数、零均可；平方根中的a的取值只能为a≥0,因为负数没有平方根。3.若a>0,则=–,即求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,然后再取它的相反数。中考典例

<XXXX>–8的立方根与4的算术平方根的和是<>

A、0B、4C、–4D、0或–4考点：算术平方根、立方根。评析：根据立方根,算术平方根的意义,先分别求出–8的立方根为–2,4的算术平方根为2,最后求和即–2+2=0故选A。真题专练

1、<XX市>下列各组数中,互为相反数的是<>

A、0B、|–2|与2C、–2与D、–2与2、<XX省>在下列式子中,正确的是<>

A、=–B、–=–0.6C、D、答案：1、C；2、A课外拓展、平方根近似值的一种求法在不少场合,我们需要求出某个正数平方根的近似值,那么,通常采用什么方法呢？教科书中介绍了查表的方法,使用计算器的方法和笔算开平方法,这些都是十分实用的。下面我们介绍另一种实用的方法。假定我们要求的近似值。因为32=9,42=16,据此知道比3大比4小,设=3+b,b是一个正的纯小数,两边平方得到13=9+6b+b2因为b2是一个比b还小得多的正纯小数,舍去b2得到13=9+6b,于是得到的一个近似值为3.67。若我们要得到更好的近似值,那么,可以以第一次得到的近似值为基础,设=,c是一个绝对值较小的正数或负数。两边平方得,舍去c2,得到,

。

于是就有=3.67－0.06=3.61,即得到的第二次近似值为3.61。观察上面的计算过程,就可发现,在式子=3+b和=３+c中,３或３是接近于的一个有理数,b或c用分数表示时,它的分子是被开方数13与接近于的数的平方之差,分母是2倍的接近于的数,即有

=≈3+,

=≈。

由此我们可以看到,这其中隐藏着的某种规律性的东西,用式子表示出来就是

≈a+。这一规律早在我国魏晋间杰出的数学家刘徽的《九章算术注》里〔约公元263年前后就已提及。不仅如此,书中还提到,在非平方数的场合,有另一近似表达式

≈a+,并指出平方根的值在两个近似值之间：

a+<<a+。利用这些公式,在0<|b|<a2的情况下,我们就可以很方便地求出一个正数平方根的近似值。例如,如果我们取a=,b=-,就可求出古代巴比伦人给出的的近似值。如果我们取a=,b=,就可以得到的第一次近似值,从出发,就可求出的第二次近似值。这一结果是古希腊伟大数学家阿基米德在他的著作中给出的的一个近似值：与的差小于0.0000005。如果我们取a=3.5,b=0.25,就可迅速求出≈3.536,它与教科书上的笔算开平方得到的结果=3.54是一致的。无理数的引入与确立我们知道实数可分为有理数和无理数。有理数都可以用分数的形式来表示。当用小数的形式表示时,每个有理数都可写成一个有限小数或一个无限循环小数。而无理数则只能用一个无限不循环小数来表示。在古代由于日常生活中不仅要计算单个的对象,还要度量各种量,例如长度、重量等,为了满足这些简单度量的需要,于是便引入了分数。古希腊的毕达哥拉斯学派认为度量就是一种量与量的比较,任何两条线段之比,都可以用两个整数的比来比较,也即一条线段的长度可以表示成某一适当长度单位的倍数,因此在毕达哥拉斯学派看来,世界上只存在整数和分数,除此以外,没有别的什么数了。然而得到了公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的一个成员依帕索在考虑单位正方形的对角线的长度时,发现了一个与该学派信念——线段的长度总是可以表示成整数或整数的比相矛盾的结论。如果我们设单位正方形对角线的长能写与整数或整数的比,即可设它为a∶b,其中a、b的最大公约数为1,那么根据勾股定理,易推得a、b满足b2=2a2,因此b2也即b必是偶数,这样b就可写成b＝2c,代入b2=2a2得a2=2c2,因此可得a2也即a必是偶数,于是a、b就存在一个公约数为2,这与假设a、b的最大公约数为1矛盾,所以单位正方形对角线的长不能用整数或整数的比表示。这一发现非同寻常,使该学派感到十分震惊和困惑,它说明存在着一种不能用整数或整数的比表示的量,这直接违背了该学派的信念,纯属大逆不道。于是该学派按教规缺席审判要活埋依帕索,依帕索当时听到风声便逃走了。然而几年之后,毕达哥拉斯学派的忠实门徒还是找到了依帕索,他们残忍地将他扔进了地中海,害死了他。对于依帕索所发现的新数,古希腊数学家称之为"ir-ratio-nalnumber",意思是说"不成比〔或不能表达的数",而实际上他们并不想将它看成一个数。到了1606年,我国明朝的徐光启与意大利传教士利玛窦合译欧几里得《原本》时,便将它译成"无理数"。无理数发现以后,由于它有悖于毕达哥拉斯学派的信念,因此数学上就出现了所谓的第一次危机并致使希腊数学由注重数到注重形〔几何的转变。在这一时期,包括欧几里得在内的数学家大多都绕开无理数,对它不屑一顾。到了以阿基米德为代表的古希腊亚历山大里亚数学时期,几何学开始从定性到定量的转变。数学家开始使用无理数,阿基米德还计算了π的近似值。在我国,公元3世纪的刘徽也认识到了像、等这些开方开不尽的数,创造了求π的科学方法,他把这些数直接纳入运算,且用近似值来表示他们。和中国一样,印度和阿拉伯人也不考虑可公度问题,直接将无理数进行运算。到了12世纪印度的婆什迦罗等还给出了无理数的加、减、乘、除、开方法则。到了16、17世纪欧洲的数学家将无理数纳入更广泛的运算中,有很多像笛卡儿等人的数学家承认无理数是数,但也有一些数学依然认为,无理数不能精确地确定它的值,因此不是一个真正意义上的数,只能作几何理解。对无理数的严格定义要到19世纪,当实数理论建立以后它才给出。至此,人们对无理数才有了一个全面的了解。实数一、概述：从有理数到实数,是数的范围的一次重要的扩充,对今后学习数学有着重要的意义,因此我们应学好这部分知识。在初中数学课中我们都是在实数范围内研究问题,到了高中我们还将学习复数知识。本单元的重点和难点都是实数的有关概念。二、知识要点：

1.有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数,如可表示为0.4,可表示为等等；所有形如<m,n为互质的整数,n≠0>的数都是有理数。2.无理数：无限不循环小数叫做无理数,无理数不能表示成分数的形式。如：π,,-,-……。3.实数：有理数和无理数统称为实数。我们一般用下列两种情况将实数进行分类：

4.实数与数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。5.实数的相反数：如果a表示一个正实数,-a就表示一个负实数。又如果a表示一个负实数,则-a表示一个正实数。a与-a互为相反数。0的相反数仍是0。如π与-π,与-,m与-m…均互为相反数。6.实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即如果a是一个实数,则有

|a|=例如,|-|=,|-π|=π,||=,|-|=-<->=-…注意：-a<a<0>是正数,例如：-<->7.有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用。三、例题分析：

例1.找出下列各数中的无理数：-5,3.1416,,-,,,π,-,0.808008…,,,。解：无理数是无限不循环小数。3.1416是有限小数；是无限循环小数；-5,-=-3,=-2是整数；=,是分数,所以它们都是有理数。那么无理数有：,,π,-,0.808008…,因为它们都是无限不循环小数。注意：0.808008…是无限不循环小数,只是数字有规律,但不是循环小数,两者区分开。例2.比较下列各组数的大小：

<1>-与-7<2>π与<3>-与-

<4>把下列各数按照由小到大的顺序,用不等号连结起来：4,-3,-4,1.414,0,0.8,-,π,

-|4|,分析：实数比较大小是综合性较强的题目,往往需要把无理数用近似的有理数代替,再用有理数比较大小的方法来进行比较；有些需要用平方的方法,平方后再比较大小；有时还需找中介值等等。解：<1>变成统一形式∵|-|=,|-7|=7=<∴-<-7<两个负数比较大小,绝对值大的反而小><2>利用近似数

∵π=3.14159…,=3.1428…∴π<<3>用平方的方法：<->2=13+7-2=20-2<->2=20-2∵20-2<20-2即<->2<<->2且->0,->0∴-<-<4>∵-=-1.414…,=1.414…,-|4|=-4,π=3.14159…,把所有的数在数轴上找到与它们对应的点<或者变成近似数>,从左到右便可得到：

-4<-|4|<-3<-<0<0.8<1.414<<π<4例3.化简下列各式：

<1>|-|<2>|π-3.142|

<3>|-|<4>|x-|x-3||<x≤3><5>|x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。解：<1>∵=1.414…<∴|-|=-<2>∵π=3.14159…<3.142∴|π-3.142|=3.142-π<3>∵<,∴|-|=-<4>∵x≤3,∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-<3-x>|=|2x-3|=说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法,我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识,并能灵活运用。<5>|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|<x+3>2+1|∵<x+3>2≥0,∴<x+3>2+1>0∴|x2+6x+10|=x2+6x+10例4.计算下列各式：

<1><2>

<3><4>0.2-0.7解：<1>=-4+2-3-2=-7<2>

=-+1

=-=-<3>

=0.8-0.14+1.1=1.76<4>0.2-0.7

=0.2×20-0.7×90=4-63=-59例5.已知<x-6>2++|y+2z|=0,求<x-y>3-z3的值。解：∵<x-6>2++|y+2z|=0且<x-6>2≥0,≥0,|y+2z|≥0,几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。∴解这个方程组得∴<x-y>3-z3=<6-2>3-<-1>3=64+1=65例6.已知：=0,求实数a,b的值。分析：已知等式左边分母不能为0,只能有>0,则要求a+7>0,分子+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组从而求出a,b的值。解：由题意得由<2>得a2=49,∴a=±7由<3>得a>-7,∴a=-7不合题意舍去。∴只取a=7把a=7代入<1>得b=3a=21∴a=7,b=21为所求。例7.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为xcm,根据题意得x2=112+13×8∴x2=225∴x=±15∵边长为正,∴x=-15不合题意舍去,∴只取x=15<cm>答：新的正方形边长应取15cm。四、练习：

<一>判断正误：

<1>带根号的数都是无理数<>

<2>不带根号的数一定是有理数<>

<3>无限小数都是无理数<>

<4>无理数一定是无限不循环小数<>

<5>有理数与数轴上的点一一对应<>

<6>最小的实数是零,最大的实数不存在<>

<7>无理数加无理数的和是无理数<>

<8>有理数加无理数的和是无理数<>

<9>有理数乘无理数的积是无理数<>

<10>无理数乘无理数的积是无理数<><二>填空：

<1>|x-y+2|与互为相反数,则x=_______,y=_______。<2>|x|=,则x=________。<3>=2,则x=________；若=3,则x=______。<4>若0≤x≤1,则+=____________。<5>如果分式有意义,则x的取值范围是__________。<三>已知=0,试求x2-y2的值。<四>已知：x2+y2+4x-6y+13=0,求x2+y的平方根。练习参考答案：<一>判断正误：<1>×<反例：=2><2>×<反例：π><3>×<4>√<5>×<6>×<7>×<反例：+<->=0><8>√<9>×<反例：0×=0><10>×<反例：×=5><二>填空：<1>-；<2>±<><3>2；±3<4>1<5>x<3且x≠-3<三>解：∵x2+y2-2xy-14x+14y+49=<x-y>2-14<x-y>+49=<x-y-7>2根据题意得即解这个方程组得∴x2-y2=<x+y><x-y>=<26+19><26-19>=45×7=315<四>解：∵x2+y2+4x-6y+13=0而x2+y2+4x-6y+13=x2+4x+4+y2-6y+9=<x+2>2+<y-3>2∴<x+2>2+<y-3>2=0∵<x+2>2≥0,<y-3>2≥0∴∴x2+y=4+3=7∴x2+y的平方根为±。10.5实数考点扫描

1.了解无理数和实数的意义。

2.了解有理数的运算律在实数范围内仍适用。名师精讲

1.整数和分数统称有理数,任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式.反之,任何有限小数或无限循环小数都是有理数。

2.无限不循环小数叫做无理数.初中遇到的无理数有三类：①开不尽方,如：、等；②特定结构的数,如：1.010010001…；③特定意义的数,如：π、sin45°<以后要学>等,它们的本质特征是无限不循环小数。

判断一个实数是有理数或无理数,不能只看表面,往往要经过整理化简后才能下结论.如<+1>0是无理数吗？因为<+1>0=1是有理数,∴<+1>0不是无理数。3.有理数和无理数统称实数。实数有以下两种分类方法：

①按属性分类：

②按符号分类

4.关于有理数的运算法则,运算规律和运算性质,在进行实数运算时仍成立。在实数范围内,不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且正数和零总可以进行开方运算,负数只能开奇次方。应当注意,负数不能开偶次方。5.实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示。反过来,数轴上的每一个点都可以表示一个实数。我们可以用几何作图方法,在数轴上表示某些无理数,如、等。6.近年中考考查本节内容的题型较多,多以填空和选择题的形式出现,还有判断、比较大小、求绝对值等题型也比较常见。重点考查：

①相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、有理数、无理数等概念的掌握情况。

②实数大小的比较、简单的实数运算等内容。

③把一个数科学记数,正确把握近似数的精确度和有效数字之间的关系。

④利用数轴,靠直观判断给出实数的特点,进行根式的化简与计算。中考典例

1.<2001XX省>计算：

考点：实数的混合运算

评析：该题是实数的混合运算,包括绝对值,0指数幂、负整数指数幂,正整数指数幂。只要准确把握各自的意义,就能正确的进行运算,其结果为1。易错点：忘记负整数指数<0指数>幂的意义,而使<>–2=–,<>0=0。2.<2001北京西城区>在3,2.3,,π四个数中,无理数的个数是<>

A、1B、2C、3D、4考点：无理数的意义

评析：只要弄明白无理数的意义及类型就能准确选出答案B,即、π是无理数。3.<2001XXXX>下列计算正确的是<>

A、<–2>3×<–3>2=65B、x6÷x2=x3

C、<3–π>0+2–1=D、=–考点：实数的混合运算评析：该题是运算法则的考查,可用排除法。A：因为底数不同,指数不能相加；B：指数不应相除而是应该相减,C：<3–π>0=1,2–1=,所以1+=是正确的；D：左边是一正数,而右边是负数,所以不相等；故选C。说明：此类问题有一定的普遍性,在解答时,必须准确把握各种运算法则。真题专练

1.<2002XX市>下列各式中计算正确的是<>

A、2+=2B、<>–3=16

C、a3·a4=a12D、20020+<–1>2002=22.<2002北京东城区>在实数–,0,,–3.14,中无理数有<>

A、1个B、2个C、3个D、4个3.<2001宿迁市>下列命题中正确的是<>

A、<–2>2的平方根是–2B、–1的立方根是–1

C、0.2060精确到千方位D、无理数是指无限循环小数答案：1、D；2、A；3、B无理数的发现在代数中,无理数是一类极其重要的数,但它是通过几何图形发现的。活跃于公元前6世纪后半期的希腊的毕达哥拉斯学派,认为世间万物都是由数组成的。他们特别重视对整数的研究。通过对音乐中音阶的数学基础的分析,他们发现音乐的和声与自然数1,2,3,4,5,…之间有着奇妙的联系。我们弹一根弦,它发出了一个音；再去弹一根长度恰好是2倍的弦,就会听到它发出的音比原来的音恰好低8度。进一步又发现：如果把发出c音的弦的长度看作1,那么长度为,,,,,,2,〔注意,这些长度都可以表示为自然数或自然数的比的弦会分别发出下8度的B音、A音、G音、F音、E音、D音和C音。从这一发现开始,他们进一步坚信：一切和声,一切真善美,一切自然现象都可以用整数之间的关系来表示,甚至一切行星在它们的轨道上运行时,也一定会发出一种天上的、整数比的音乐来,即所谓"天体音乐"。可是不久,他们却发现,边长为1的正方形的对角线的长度不能表示成两个整数的比。他们费了九牛二虎之力,找不出一个整数或分数,可以用作度量这个正方形的边长和对角线长的单位长度。后来,毕达哥拉斯的一名学生布伯斯向世人宣布：正五边形、正方形的对角线长与边长的比,都不能用整数或分数来表示；这些无法用整数关系来描述的比,是人们还没有认识的一类新的数。现在,我们都知道,这类新的数叫做无理数,它和有理数相对,实际上,有理数和无理数的英文名称是"rationalnumber"和"irrationalnumber",译成"比数"和"非比数"更为合适。下面介绍一种在数轴上确定某些无理数的位置的方法。如图1所示：

图1

其中都是无理数。

再介绍一种通过作直角三角形找出长度等于某些无理数的几何线段的方法,如图2所示：

图2第三章平移与旋转学习要求：一、图形的平移

1.通过实例认识平移,探索平移的基本性质,理解平移特征。

2.能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

3.利用平移进行图案设计,认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

二、旋转

1.通过实例认识旋转,探索旋转的基本性质,理解旋转和旋转对称的特征。

2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

3.灵活运用轴对称平移、旋转的组合进行图案设计。

4.欣赏旋转在现实生活中的应用

三、中心对称

1.理解中心对称图形和成中心对称的概念。

2.探索中心对称图形的基本性质以及成中心对称的两个图形特征。

学习要求：

本章是探究在平移与旋转这两种运动与变换下图形发生的变化,通过实例,理解平移与旋转两种变换过程,结合动手实践,合作交流探索出平移,旋转及中心对称的特征。

1.平移与旋转的相同点和不同点；

在两种变换下的图形大小形状都没有发生变化；

平移交换是把图形平行移动,它是由移动的距离和方向决定的。

旋转变换是图形绕某一点转动,它是由旋转中心和旋转角所决定。

2.旋转对称图形与中心对称图形的联系

旋转对称图形是指图形绕某点旋转某角度〔小于周角与自身重合的图形,中心对称图形是旋转角为180°的旋转对称图形。

3.中心对称图形与成中心对称既有区别又有联系。

例题分析例1如图,试问：由⊿ABC平移得到的三角形有几个？

解：一共有5个

说明：事实上,图中所有的小三角形均与三角形ABC形状相同,但根据平移的定义,只有5个。

例2如图,已知：点A及射线XY。求作：点A沿射线XY方向平移3cm后的图形。作法：在射线AY上截取线段AA'=3cm,点A'即为所求。

例3如图,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D,请作出平移后的三角形。

分析：因为A与D是对应点,而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD,平移距离——线段AD的长,

作法〔一

1、分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF,使它们与AD平行且相等

2、顺次连结D、E、F

则△DEF即为所求。

作法〔二

1、过点D分别作DE、DF分别平行于AB、AC,且使DE=AB,DF=AC

2、连接EF

则△DEF即为所求。

作法〔三

1、过点B作线段BE平行AD且等于AD

2、连接DE

3、分别以D、E为圆心,以AC、BC为半径画弧,两弧交于点F

4、连接DF、EF

则△DEF即为所求。

例4已知线段MN为正六边形ABCDEF平移后所得的一条边,请画出平移后的图形。解：〔如图

说明：利用分类思想,MN可能是由AB平移而来,也可能是由ED平移所得,故本题有两种可能。

例5如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。

〔1若平移距离为3,求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；

〔2若平移距离为x〔,求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y,并写出y与x的关系式。

解：〔1由题意CC’=3,BB’=3,所以BC’=1,

又由题意易得重叠部分是一个等腰直角三角形,所以其面积为；

〔2说明：这里应用了平移的定义及对应线段平行的性质。应用题专题讲座应用题联系实际,生动地反映了现实世界的数量关系,能否从具体问题中归纳出数量关系,反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.

列方程解应用题,一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题,从中体现解应用题的技能和技巧.

1.合理选择未知元

例1：〔1983年XX市初中数学竞赛题某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,以每小时9千米的速度走平路到B地,共用55分钟.回来时,他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用小时,求A、B两地相距多少千米？

解法1：〔选间接元设坡路长x千米,则下坡需

依题意列方程：

解之,得x=3.

答：A、B两地相距9千米.

解法2：〔选直接元辅以间接元设坡路长为x千米,A、B两地相距y千米,则有如下方程组

解法3：〔选间接元设下坡需x小时,上坡需y小时,依题意列方程组：

例2：〔1972年美国中学数学竞赛题若一商人进货价便谊8%,而售价保持不变,那么他的利润〔按进货价而定可由目前的x%增加到<x+10>%,x等于多少？

解：本题若用直接元x列方程十分不易,可引入辅助元进货价M,则0.92M是打折扣的价格,x是利润,以百分比表示,那么写出售货价〔固定不变的等式,可得：

M〔1+0.01x=0.92M[1+0.01〔x+10].

约去M,得

1+0.01x=0.92[1+01.1〔x+10].

解之,得x=15.

例3：在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合？

分析：选直接元,设两针在3点x分钟时重合,则这时分针旋转了x分格,时针旋转了〔x-15分析,因为分针旋转的速度是每分钟1分格,旋转x分格需要分钟,时针旋转的速度是每分钟分格,旋转〔x-15分格要

例4：〔1985年XX东台初中数学竞赛题从两个重为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者的含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克？

解：采用直接元并辅以间接元,设切下的重量为x千克,并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1,n千克的铜合金中含铜百分数为q2,则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克,混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+<n-x>q2]千克和[xq2+<m-x>q1]千克,依题意,有：

2.多元方程和多元方程组

例5：〔1986年XX市初一数学竞赛题A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数,依同法再由B给A、C现有豆数,后由C给A、B现有豆数,互送后每人恰好各有64粒,问原来三人各有豆多少粒？

解：设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆,可列出下表：则有：

解得：x=104,y=56,z=32.

答：原来A有豆104粒,B有56粒,C有32粒.

例6：〔1985年XX市初中数学竞赛题某工厂有九个车间,每个车间原有一样多的成品,每个车间每天能生产一样多的成品,而每个检验员检验的速度也一样快,A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品〔所有成品指原有的和后来生产的成品检验完毕后,再去检验另两个车间的所有成品,又用了三天检验完毕,在此五天内,B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品,问B组有几个检验员？

解：设每个车间原有成品x个,每天每个车间能生产y个成品；则一个车间生产两天的所有成品为〔x+2y个,一个车间生产5天的所有成品为<x+5y>个,由于A组的8个检验员每天的检验速度相等,可得

解得：x=4y

一个检验员一天的检验速度为：

又因为B组所检验的是5个车间,这5个车间生产5天的所有成品为5<x+5y>个,而这5<x+5y>个成立要B组的人检验5天,所以B组的人一天能检验<x+5y>个.

因为所有检验员的检验速度都相等,所以,<x+5y>个成品所需的检验员为：

〔人.

答：B组有12个检验员.

3.关于不等式及不定方程的整数解

例7：〔1985年XX市初一数学竞赛题把若干颗花生分给若干只猴子,如果每只猴子分3颗,就剩下8颗；如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子得不到5颗,求猴子的只数和花生的颗数.

解：设有x只猴子和y颗花生,则：

y-3x=8,①

5x-y＜5,②

由①得：y=8+3x,③③代入②得5x-<8+3x>＜5,

∴x＜6.5

因为y与x都是正整数,所以x可能为6,5,4,3,2,1,相应地求出y的值为26,23,20,17,14,11.

经检验知,只有x=5,y=23和x=6,y=26这两组解符合题意.

答：有五只猴子,23颗花生,或者有六只猴子,26颗花生.

例8：〔1986年上海初中数学竞赛题在一次射箭比赛中,已知小王与小张三次中靶环数的积都是36,且总环数相等,还已知小王的最高环数比小张的最高环