微积分 第七版 课件 3.7 几何与经济方面函数的优化

第七节

几何与经济方面函数的优化本节学习目标0102能熟练求出几何与经济方面函数的最优解了解几何与经济方面函数的优化的类型掌握几何与经济方面函数优化的计算步骤03一、几何与经济方面函数的优化求函数的最值点也称为函数的优化,求最值点的函数称为目标函数,目标函数的最值点称为最优解,目标函数的最值称为最优值.1.几何与经济方面函数的优化的类型有两种:类型1求使得消耗为最小的最优解类型2求使得效益为最大的最优解.32.几何与经济方面函数优化的求解步骤如下:步骤1根据实际问题的具体情况,确定自变量与因变量,建立它们之间的函数关系即目标函数关系式;步骤2求目标函数的极值点,往往也为最值点,即得最优解.4例1

一块正方形纸板的边长为a,将其四角各截去一个大小相同的边长为x的小正方形,再将四边折起做成一个无盖方盒,问所截小正方形边长x为多少时,才能使得无盖方盒容积V最大?5解:已设所截小正方形边长为x,从而无盖方盒底边长为a-2x,如图自变量为所截小正方形边长x,因变量为无盖方盒容积V.由于盒底面积为(a-2x)2,盒高为x,于是无盖方盒容积即目标函数为V=V(x)=x(a-2x)2

6

计算一阶导数V'(x)=(a-2x)2+x·2(a-2x)(a-2x)'=(a-2x)2-4x(a-2x)=(a-2x)(a-6x)

7再计算二阶导数V″(x)=-2(a-6x)+(a-2x)(-6)=24x-8a

8

例2

欲做一个容积为72m3的长方体带盖箱子,箱子底长xm与宽um的比为1∶2,问长方体带盖箱子底长x、宽u及高h各为多少时,才能使得箱子用料最省?9解:已设长方体带盖箱子底长为xm、宽为um及高为hm,如图自变量为长方体带盖箱子底长x,注意到箱子用料最省意味着箱子表面积最小,因此因变量为长方体带盖箱子表面积S.由于箱子底长x与宽u的比为1∶2,得到u=2x10由于箱子容积为72m3,因而有关系式xuh=72,即2x2h=72,得到

于是长方体带盖箱子表面积即目标函数为S=S(x)=2(xu+xh+uh)

11计算一阶导数

令一阶导数S'(x)=0,得到唯一驻点x=3.再计算二阶导数

12当然,在唯一驻点x=3处也不例外,有二阶导数值S″(3)>0于是唯一驻点x=3为唯一极小值点,也为最小值点,为最优解此时另外两个变量

所以长方体带盖箱子底长x为3m、宽u为6m及高h为4m时,才能使得箱子用料最省.13例3

欲做一个容积为250πm3的圆柱形无盖蓄水池,已知池底材料价格为池周围材料价格的2倍,问圆柱形无盖蓄水池池底半径r与高h各为多少时,才能使得所用材料费T最省?14解:已设圆柱形无盖蓄水池池底半径为rm,高为hm,如图自变量为圆柱形无盖蓄水池池底半径r,因变量为所用材料费T.由于蓄水池容积为250πm3,因而有关系式πr2h=250π,即

15再设池周围材料价格为a元/m2,从而池底材料价格为2a元/m2.由于池周围面积为2πrhm2,池底面积为πr2m2,于是所用材料费即目标函数为T=T(r)=2πrha+πr2·2a=2πa(rh+r2)

16计算一阶导数

令一阶导数T'(r)=0,得到唯一驻点r=5.再计算二阶导数

于是唯一驻点r=5为唯一极小值点,也为最小值点,为最优解.此时另外一个变量

所以圆柱形无盖蓄水池池底半径r为5m、高h为10m时,才能使得所用材料费T最省.17例4某产品总成本C为月产量x的函数

18

计算一阶导数

19再计算二阶导数

于是唯一驻点x=10为唯一极小值点,也为最小值点,为最优解

20例5某厂每批生产Qt某商品的平均单位成本函数为

商品销售价格为p万元/t,它与批量Qt的关系为5Q+p-28=0问批量Q为多少时,才能使得每批商品全部销售后获得的总利润L最大?最大利润值为多少?21解:自变量为批量Q,因变量为每批商品全部销售后获得的总利润L从已知销售价格p与批量Q的关系式5Q+p-28=0得到销售价格p=p(Q)=28-5Q每批生产Qt商品,以价格p万元/t销售,总收益为R=R(Q)=Qp(Q)=Q(28-5Q)=28Q-5Q222又生产Qt商品的总成本为

=Q2+4Q+1023于是每批商品全部销售后获得的总利润即目标函数为L=L(Q)=R(Q)-C(Q)=(28Q-5Q2)-(Q2+4Q+10)=-6Q2+24Q-10(万元)

计算一阶导数L'(Q)=-12Q+24令一阶导数L'(Q)=0,得到唯一驻点Q=2再计算二阶导数L″(Q)=-12<0于是唯一驻点Q