2021年人教版九年级下册数学教案全套

2021年人教版九年级下册数学教案全套第二十六章反比例函数26.1反比例函数26.1.1反比例函数【教学目标】1.理解反比例函数的概念；(难点)2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.(重点)【教学过程】1.京广高铁全程为2298km,某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系?2.冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃,每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系?问题：这些关系式有什么共同点?二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别;可化为解析：是反比例函数，正确；②3xy=1可化为反比例函数是反比例函正比例函数，错误.故到2己知函数y=(2m²+m-1)x2m²+3m-3是反比例函数，求m的值.解析：由反比例函数的定义可得2m+3m-3=-1,2m+m-1≠0,然后求解即可.方法总结：反比例函数也可以写成y=kx-¹(k≠0)的形式，注意x的次数为一1,系数不等于0.探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式【类型一】确定反比例函数解析式解析：(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解.(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可.解得x=-6.方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式.【类型二】解决与正比例函数和反比例函数有关的问题例④已知y=y+y₂,y与(x-1)成正比例，y₂与(x+1)成反比例，当x=0,y的值.解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y,y₂的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式.,方法总结：能根据题意设出y,y₂的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键.探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题剑5写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函(1)底边为3cm的三角形的面积ycm²随底边上的高xcm的变化而变化；(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m,剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化.解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数.(3)两个变量之间的函数表达式为：y=100-10x,不是反比例函数.然后根据解析式的特点判断是什么函数.三、板书设计1.反比例函数的定义：量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.反比例函数的形式：3.确定反比例函数的解析式：待定系数法.4.建立反比例函数模型.【教学反思】让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景.因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.26.1.2反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质【教学目标】1.会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点)2.理解反比例函数图象的性质.(重点，难点)【教学过程】一、情境导入已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系?你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗?二、合作探究探究点一：反比例函数的图象【类型一】反比例函数图象的画法解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可.X124J421方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析【类型二】反比例函数与一次函数图象位置的确定例②在同一坐标系中(水平方向是x轴),函数和y=kx+3的图象大致是()ABC3)一致，故A选项正确；B.由函数图象可知k>0与y=kx+3且过点(0,的图象中k>0且过点(0,3)矛盾，故B选项错误；C.由函数图象可知k<0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0,3)矛盾，故C选项错误；D.由函数图象可知k>0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0,3)矛盾，故D选项错误.故选方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；到3若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需min.则所需时间min与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为()解析：∵水池的容积为20L,∴xy=20,B.方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象.例④若正比例函数y=-2x与反比例函数象的一个交点坐标为(一1,2),则另一个交点坐标为()C.(-2,一1)D.(-2,1)解析：∵正比例函数y=-2x与反比例函数图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称.∵一个交点的坐标是(一1,2),∴另一个交点的坐标是(1,—2).故选B.方法总结：反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图探究点二：反比例函数的性质【类型一】根据解析式判定反比例函数的性质到5已知反比例函数下列结论不正确的是()A.图象必经过点(一1,2)B.y随x的增大而增大C.图象分布在第二、四象限解析：A.(一1,2)满足函数解析式，则图象必经过点(一1,2),命题正确B.在第二、四象限内y随x的增大而增大，忽略了x的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据的图象可知，在第四象限内命题正确.故选B.方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质.【类型二】根据反比例函数的性质判定系数的取值范围例6在反比例函数的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是()小，∴1-k>0,解得k<1.故选A.方法总结：对于函数当k>0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍.三、板书设计1.反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.2.反比例函数的性质：(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.【教学反思】通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的.同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用【教学目标】1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)2.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)3.探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用.(难点)【教学过程】如图所示，对于反比例函数,在其图象上任取一点P,过P点作PQ⊥x轴于Q点，并连接OP.试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数中k值的几何意义.二、合作探究探究点一：反比例函数解析式中k的几何意义到1如图所示，点A在反比例函数图象上，AC垂直x轴于点C,且△AOC的面积为2,求该反比例函数的表达式.解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值.解：∵点A在反比例函数∴k=4,∴反比例函数的表达式为方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|的一半.探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用【类型一】利用反比例函数的性质比较大小例②若M(—4,y;)、N(-2,y₂)、P(2,y₃)三点都在函数的图象上，则y,y,y的大小关系为()A.yz>y₃>y₁B.y₂>y>y₃故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象两点，∴y>y>0.∵2>0,P(2,y)在第四象限，∴y₃<0.故y,y₂,y₃的大小关系为y₂>yi>y.故选B.方法总结：反比例函数的解析式是,当k<0四象限，且在每个现象内y随x的增大而增大；当k>0,图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小.【类型二】利用反比例函数计算图形的面积到3如图，直线1和双曲线(不与A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E,连故选D.故选D.解析：如图，∵点A与点B,点P在双曲线的上方，方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积；且保持不变.例4函数图象与直线y=-x没有交点，那么k的取值范围是解析：直线y=-x经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数图象必须位于第一、三象限，则1-k>0,即k<1.故选B.方法总结：判断正比例函数y=kix和反比例函数E同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k与k同号时，正比例函数y=kx与反比例函数y2个交点；②当k与k异号时，正比例函数y=kx与反比例函数有交点.【类型四】反比例函数与一次函数的综合问题例5如图，已知),B(-1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；..(2)求一次函数解析式及m的值；(3)P是线段AB上的一点，连接PC,PD,若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标.解析：(1)观察函数图象得到当-4<x<-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；(2)先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A点或B点坐标代入计算出m的值；(3)设出P点坐标，利用△PCA与△PDB的面积相等列方程求解，从而可确定P点坐标.解：(1)当-4<x<-1时，一次函数的值大于反比例函数的值；所以一次函数解析式为得m=-1×2=-2方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息.本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力.三、板书设计1.反比例函数中系数k的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.反比例函数与一次函数的交点问题.【教学反思】本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力.数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口.在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.26.2实际问题与反比例函数第1课时实际问题中的反比例函数【教学目标】1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.(难点)【教学过程】小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇.小于公交车速度.你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗?二、合作探究探究点：实际问题与反比例函数【类型一】反比例函数在路程问题中的应用囫①王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟.(1)速度v与时间t之间有怎样的函数(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少?(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位?15代入函数的解析式，即可求得速度；(3)把v=300代入函数解析式，即可求得时间.解：(1)速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得(2)把t=15代入函数解析式，得故他骑车的平均速度是240米/分；(3)把v=300代入函数解析式解得t=12.故他至少需要12分钟到达单位.方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系.到2在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示.(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务?(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米?解析：(1)将点(24,50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率.解：(1)设∵点(24,50)在其图象上，∴k=24×50=1200,所求函数表达式为(2)由图象可知共需开挖水渠24×50=1200(m),2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)=40(天);(3)1200÷30=40(m),故每天至少要完成40m.方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系.到3某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系：x(元)3456y(张)(1)猜测并确定y与x的函数关系式；(2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张?(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润.解析：(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60,所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x=10求得y的值即可；(3)首先要知道纯利润=(日销售单价x-2)×日销售数量y,这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设0),把点(3,20)代入得k=60,∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意.【类型四】反比例函数的综合应用到④如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃,从加热开始计算的时间为x分钟.据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃,加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系.已知第12分钟时，材料温度是14℃.(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围);(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系.将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y=12代入y=4x+4得x=2,代入得x=14,则对该材料进行特殊处理所用的时间为14-2=12(分钟).解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为,:(12,14),得一次函数表达式为y=kx+b,由图象知y=k₂x+b过点(0,4)与(6,28),∴:::,解得x=14,所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14—2=12(分钟).关系式.三、板书设计4.反比例函数与一次函数的综合应用.【教学反思】型，并进一步明确数学问题.将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”,使学生逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.第2课时其他学科中的反比例函数【教学目标】1.能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；(重点)2.从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建立函数模型解决实际问题.(难点)【教学过程】一、情境导入通道，从而顺利完成任务.(1)请你解释他们这样做的道理；(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m²)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?二、合作探究探究点：反比例函数在其他学科中的应用【类型一】反比例函数与电压、电流和电阻的综合到①已知某电路的电压U(V),电流I(A)和电阻R(Q)三者之间有关系式为U=IR,且电路的电压U恒为6V.(1)求出电流I关于电阻R的函数表达式；(2)如果接入该电路的电阻为25Q,则通过它的电流是多少?(3)如图，怎样调整电阻箱R的阻值，可以使电路中的电流I增大?若电流I=0.4A,求电阻R的值.解析：(1)根据电流I(A)是电阻R(Q)的反比例函数，设出U=6V代入求得表达式即可；(2)将R=25Ω代入上题求得的函数关系式即可得电流的值；(3)根据两个变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A求得R的值即可.解：(1)∵某电路的电压U(V),电流I(A)和电阻R(Q)三者之间有关系式U代入U=6V得∴电流I关于电阻R的函数表达式是∴电路的电阻为25Q时，通过它的电3·3·流是0.24A;3):∴电流与电阻成反比例函数关系，∴要使电路中的电流I增大可以减小电阻.当I=0.4A时，解得R=15Ω.方法总结：明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键.到2某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m²)的反比例函数，其图象如图所示.(2)当容器内的气体体积是0.6m⁹时，此时容器内的气压是多少千帕?(3)当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m²°解析：(1)设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；(2)把V=0.6m代入函数关系式，求出p的值即可；(3)因为当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，可列出不等式求解.解：(1)设这个函数的表达式为根据图象可知其经过点(2,60),得60解得k=120.则所以为了安全起见，容器的方法总结：根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键.【类型三】反比例函数与杠杆知识的综合例3公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”,小明利用此原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别(1)动力F与动力臂1有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力?(2)若想使动力F不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?解析：(1)根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”,可得出F与1的函数关系式，将I=1.5m代入可求出F;(2)根据(1)的答案，可得F≤200,解出1的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少.(2)由题意得，解得I≥3m,故至少要加长1.5m.方法总结：明确“动力×动力臂=阻力×阻力臂”是解题的关键.囫△某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)之间的函数关系如下图所示：(1)这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表达式；(2)当它所受牵引力为2400N时，汽车的速度为多少?(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s,则F在什么范围内?解析：(1)设v与F之间的函数关系式为,把(3000,20)代入即可；(2)当F=1200N时，求出v即可；(3)计算出v=30m/s时的F值，F不小于这个值即可.解：(1)设v与F之间的函数关系式为把(3000,20)代入得P=60000,∴这辆汽车的功率是60000W.这一函数的表达式为2)将F=2400N代入,得,∴汽车的速度v=方法总结：熟练掌握功率的计算公式是解决问题的关键.三、板书设计1.反比例函数与电压、电流和电阻的综合；2.反比例函数与气体压强的综合；3.反比例函数与杠杆知识的综合；4.反比例函数与功率知识的综合.【教学反思】本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的知识.尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学知识来源于生活.注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题.第二十七章相似27.1图形的相似【教学目标】1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；(重点)2.理解成比例线段的概念，会确定线段的比.(难点)【教学过程】一、情境导入如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的.由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状(包括地图中所描绘的各个部分)肯定是相同的.日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形.像这样的图形有哪些性质?下面我们就一起探讨一下吧!二、合作探究探究点一：相似图形例①观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的?解析：通过观察寻找与(a),(b),(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，然后作出判断.解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同.方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同.探究点二：比例线段【类型一】判断四条线段是否成比例到巴下列各组中的四条线段成比例的是()解析：选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3,所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3,所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5,所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1×4=2×2,所以成比例，符合题意.故选D.方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可.【类型二】利用成比例线段的定义，求线段的长到3已知线段a、b、c、d是成比例线段，其中a=2m,b=4m,c=5m,则d解析：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a:b=c:d,而a=2m,b=4m,方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求【类型三】利用比例尺求距离例④若一张地图的比例尺是1:150000,在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm,则甲、乙两地的实际距离是()解析：设甲、乙两地的实际距离是xcm,根据题意得1:150000=5:x,x=750000(cm),750000cm=7500m.故选D.方法总结：比例尺=图上距离：实际距离.根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换.探究点三：相似多边形【类型一】利用相似多边形的性质求线段和角例5如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b的长度及角a的值.解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答.解：因为四边形ABCD与四边形A'B'C”D'相似，所以∠,在四边形A′B'’CD′中，∠D=360°-(84°+75°+63°)=138°.∠a方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.【类型二】相似多边形的判定木质边框宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗?为什么?解析：两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形是否相似，关键是看对应边是否成比例.∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩·条件缺一不可.3.相似多边形的判定和性质.【教学反思】掌握更多的内容.学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似学生就比较容易掌握.27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例【教学目标】2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题.(难点)【教学过程】一、情境导入···探究点一：相似三角形的有关概念到D如图所示，已知△OACo△OBD,且OA=4,AC=2,OB=2,∠C=∠D,(2)BD的长.解析：(1)由△OAC~△OBD及∠C=∠D,可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD的长.与△OBD的相似比方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法.探究点二：平行线分线段成比例定理【类型一】平行线分线段成比例的基本事实到2如图，直线1₁、1、1分别交直线1₄于点A、B、C,交直线1₅于点D、E、解析：(1)根据I₁//l₂//I₃推!(2)根据I₁//l₂//l,推方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置.到3如图所示，已知△ABC中，DE//BC,AD=2,BD=5,AC=5,求AE的长.解析：根据DE//BC得到然后根据比例的性质可计算出AE的长.·方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式.探究点三：相似三角形的引理【类型一】利用相似三角形的引理判定三角形相似到4如图，在ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE,DE与BC相交于点F,请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比.解析：由平行四边形的性质可得：BC//AD,AB//CD,进而可得△EFBo△EDA,△EFB∽△DFC,再进一步求解即可.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD,AB//CD,∴△EFB~△EDA,相似比分别为1:4,1:3,3:方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序.例5如图，已知AB//EF//CD,AD与BC相交于点0.求AD的长；求CD的长.解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF=6,则AD=AF+FD=8;(2)根据平行线AB//CD分线段成比例知B0:OE=AB:EF,结合已知条件求得EF=6;同理由EF//CD推知EF与CD之间的数量关系，从而求得CD=10.5.AF+FD=6+2=8,即AD的长是8;(2)∵AB//CD,∴BO:OE=AB:EF.又∵BO:OE=2:4,AB=3,∴EF=6.∵EF//CD,∴即CD的长是10.5.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误.三、板书设计1.相似三角形的定义及有关概念；2.平行线分线段成比例定理及推论；3.相似三角形的引理.【教学反思】本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者.鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新.上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充.教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.27.2.1相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似【教学目标】1.理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.【教学过程】我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢?在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论?大家的结论都一样吗?二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?解析：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例.,,方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例.到2如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由.解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似.方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法.例③如图，已矢找出图中相等的角，并说明你的理由.再利用相似三角形对应角相等求,,方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到.【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系例④如图，某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路，已知AB=14千米，AD说出你的理由.解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系.,方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法.【类型五】利用相似三角形的判定解决探究性问题到5要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm,60cm,80cm,另一个三角形教具的一边长为20cm,请问怎样选料可使这两个三角形教具相似?想想看，有几种解决方案.则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定.解：①当长为20cm的边长的对应边为50cm时，∵50:20=5:2,且第一个三角形教具的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm,24cm,32cm;②当长为20cm的边长的对应边为60cm时，∵60:20=3:1,且第一个三角形教具的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三80cm时，∵80:20=4:1,且第一个三角形教具的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm,15cm,20cm.∴有三种解决方案.论的方法可避免漏解.三、板书设计2.利用相似三角形的判定解决问题.【教学反思】明猜想的命题是否正确.课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题.从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.27.2.1相似三角形的判定第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【教学目标】1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.(难点)【教学过程】一、情境导入两个角是否对应相等?你能得出什么结论?探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】直接利用判定定理判定两个三角形相似圆1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,点D、E分别是AB、CB延长线解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB,进而可得到DB:AB的值，再计算出EB:BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.∴DB=AD-AB=15-10=5,∴DB:AB=1:2.BC=1:2,∴EB:BC=DB:AB,又∵∠DBE=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等.【类型二】添加条件使三角形相似AC=8,AD=6,当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似.解析：当△ADPo△ACB时，解得AP=9.解析：当△ADPo△ACB时，解得AP=4,∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似.故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答.【类型三】利用三角形相似证明等积式CA的延长线于F.求证：AC·CF=BC·DF:曲曲解析：先证明△ADC~△CDB可：再结合条件证明△FDC~△FAD,可则可证得结论.证明：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠DAC+∠B=∠B+∠DCB=90°,∴∠方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式.到△如图所示，BC⊥CD于点C,BE⊥DE于点E,BE与CD相交于点A,若AC=3,BC=4,AE=2,求CD的长.解析：因为AC=3,所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.BE⊥DE,∴∠C=∠E,又∵∠CAB=∠EAD,∴△AB方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解.到5如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=8cm,5AC-3AB=0,点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似?解析：由AC与AB的关系，设出AC=3xcm,AB=5xcm,在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长.然后设出动点运动的时间为ts,根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值.解：由5AC-3AB=0,得到5AC=3AB,设AB为5xcm,则AC=3xcm,在Rt△ABC中，由BC=8cm,根据勾股定理得25x²=9x²+64,解得x=2或x=-2(舍去),∴AB=5x=10cm,AC=3x=6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP=2tcm,PC=(8-2t)cm,CQ=tcm,分两种情况：①当△ABC~△PQC时，;即,解得②当△ABC~△QPC时，;解得综上可知，经j秒△ABC和△PQC相似.方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题.1.三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2.应用判定定理解决简单的问题.【教学反思】本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态.采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程.在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.27.2.1相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似【教学目标】1.理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2.会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.(难点)【教学过程】一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC,另一人画△A′B'C',使得∠A和∠A’都等于给定的∠a,∠B和∠B'都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗?对应边的比相等吗?这样的两个三角形相似吗?和同学们交流.探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似解析：(1)由题有∠B=∠C=60°,利用三角形外角的知识得出∠BAD=∠CDE,的边长.∴x=9.即等边△ABC的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”,解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等.到2如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC~△AED成立，还需要添加一个条件为方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键.【类型三】相似三角形与圆的综合应用解析：延长CG,交⊙0于点M,连接AM,根据圆周角定理，可证明∠ACG=∠E,根据相似三角形的判定定理，可证明△CAGo△EAC,根据相似三角形对应边成比例，可得出结论.证明：延长CG,交⊙0于点M,连接A,∵AB⊥CM,∴AC=A,∴∠ACG=∠E,又∵∠CAG=∠EAC,∴△CAG∽△EAC,.·∴AC=AG·AE方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似.到4如图，在ABCD中，过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点，且∠BFE=∠C.若AB=8,BE=6,AD=7,求BF的长.解析：可通过证明∠BAF=∠AED,∠AFB=∠D,证得△ABF∽△EAD,可得出关于AB,AE,AD,BF的比例关系.已知AD,AB的长，只需求出AE的长即可.可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，进而求出BF的长.解：在平行四边形ABCD中，∵AB//CD,∴∠BAF=∠AED.∵∠AFB+∠BFE:,:,方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似.【类型五】相似三角形与二次函数的综合到5如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=5m,AB=10m.M从C向A运动，速度为1m/s;同时N点在线段AB上，从A向运动时间为ts.点在线段CA上，B运动，速度为2m/s.(1)当t为何值时，△AMV的面积为6m(2)当t为何值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值.解析：(1)作NH⊥AC于H,证得△ANHo△ABC,从而得到比例式，然后用t表示出NH,根据△AMV的面积为6m²,得到关于t的方程求得t值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t的二次函数求最值即可.H,∴∠NHA=∠C=90°,∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA,∴即∴M=t,:.,解得t=√3,t₂=4V3(舍去),故当t为y/3秒时，△AMN的面积为6m².方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题.两角分别相等的两个三角形相似；2.应用判定定理解决简单的问题.【教学反思】在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新.备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充.与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.27.2.2相似三角形的性质【教学目标】1.理解相似三角形的性质；(重点)2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题.(难点)【教学过程】一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论.例如，在图中，△ABC和△A′BC°是两个相似三角形，相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B'’C'边上的高，那么AD、A'D'之间有什么关系?探究点一：相似三角形的性质【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积相交于F点.(2)若S=6cm²,求Sam解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解.解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD//BC,且AD=BC,∴△BEF∽△AFD.又(2)由(1)可知△BEF∽△DAF,且相似比::,∴SL=4S.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键.到2若△ABC∽△A′B’C’,其面积比为1:2,则△ABC与△A’B’C的相似比为()解析：∵△ABC∽△A′B'C’,其面积比为1:2,∴△ABC与△A’B'C'B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.到B如图所示，在锐角三角形ABC中，AD,CE分别为BC,ABABC和△BDE的面积分别为18和8,DE=3,求AC边上的高.解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18,求出AC的长，即可求出AC边上的高.解：过点B作BF⊥AC,垂足为点F:∵AD⊥BC,CEBF=8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答.【类型四】利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题到4如图所示，PV//BC,AD⊥BC交PV于E,交BC于D.(1)若AP:PB=1:2,SA=18,求SA;解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APV与四边形PBCN的面积比可得△APN与△ABC的面积比，进而可得其对应边的比.解：(1)因为PN//BC,所以∠APN=∠B,∠ANP=∠C,△APN∽△ABC,所以因为AP:PB=1:2,所以AP:AB=1:3.(2)因为PN//BC,所以∠APE=∠B,∠AEP=∠ADB,所!又因为SA=18,所!所以△APEo△ABD,所●(2)∵△PQC∽△ABC,∴●(2)∵△PQC∽△ABC,∴(4-Cm+AB+(3-C0+1Q=4-CP方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.【类型五】利用相似三角形的性质解决动点问题点在AC上(与到5如图，已知△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,PQ//点在AC上(与A、C不重合),Q点在BC上.(1)当△PQC的面积是四边形PABQ面积,求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长.解析：(1)由于PQ//AB,故△PQC~△ABC,当△PQC的面积是四边形PABQ的面积比为1:4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；(2)由于△PQC∽△ABC,根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长.根据△CPQ和四边形PABQ的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长..:;:同理可知PQ=·。·。:·面积、线段的问题是解题的关键.2.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.【教学反思】的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.27.2.3相似三角形的应用举例【教学目标】1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点)2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.(难点)【教学过程】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗?探究点：相似三角形的应用【类型一】利用影子的长度测量物体的高度例①如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m,此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m,求树AB的长.E解析：先利用△BDC∽△FGE得到可计算出BC=6m,然后在Rt△EABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长.在Rt△ABC中，∵∠A=30°,∴AB=2BC=12m,即树长AB是12m.方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题.利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解.到2小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度.如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20m.当她与镜子的距离CE=2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6m,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角=反射角).似三角形的性质解答.解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA=∠DEC,∵∠BAE=∠DCE=90°,∴大楼AB的高度为12.8m.方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程.解题时要灵活运用所学各学科知识.到B如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m,在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度.解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可.解：如图，过点D作DE//BC,交AB于E,∴DE=CB=9.6m,BE=CD=2m,∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA:ED=1:1.2,∴AE=8m,∴AB=AE+EB=8+2=10m,∴学校旗杆的高度为10m.方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.【类型四】利用相似三角形的性质设计方案测量高度到4星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢?”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图),并说明理由.解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可.在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高.解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高.理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED=∠AEB,∠D=∠B=90°,易方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解.三、板书设计1.利用相似三角形测量物体的高度；2.利用相似三角形测量河的宽度；3.设计方案测量物体高度.【教学反思】通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识.基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.第1课时位似图形的概念及画法【教学目标】1.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.(难点)【教学过程】一、情境导入生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察图中有多边形相似吗?如果有，那么这种相似有什么共同的特征?【类型一】判定是否是位似图形到①下列3个图形中是位似图形的有()>B'在的直线都经过同一个点，对应边互相平行(或共线),所以位似图形是第一个和第三个.故选C.方法总结：判断两个图形是不是位似图形，首先要看它们是不是相似图形，再看它们对应顶点的连线是否交于一点.到2找出下列图形的位似中心.解析：(1)连接对应点AE、BF,并延长的交点就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM,并延长的交点就是位似中心；(3)连接AA′,BB′,它们的交点就是位似中心.的延长线交于点0,点0方法总结：确定位似图形的位似中心时，要找准对应顶点，再经过每组对应顶点作直线，交点即为位似中心.(1)图①中，以0为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；(2)图②中，以0为位似中心，把△ABC缩小为原来的E、F就得出图形；(2)连接OA、OB、OC,作射线CP,在CP上取点M、N、Q使MN=NQ=CQ,连接OM,作NF//OM交OC于F,再依次作EF//BC,DE//AB,连接DF,就可以求出结论.解：(1)如图①,画图步骤：①连接OA、OB、OC;②分别延长OA至D,OB所求作的三角形；方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.【类型四】位似图形的实际应用到④在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏.如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A'B′C′为银幕上看到的画面.若胶片上图片的规格是2.5cm×2.5cm,放映的银幕规格是2m×2m,光源P与胶片的距离是20cm,则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕?解析：由题中条件可知△A′B′C′是△ABC的位似图形，所以其对应边成比例，进而即可求解.解：图中△A’B'’C′是△ABC的位似图形，设银幕距离光源P为xm时，放映的图象正好布满整个银幕，则位似比解得x=16.即银幕距离光源P16m时，放映的图象正好布满整个银幕.方法总结：在位似变换中，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比，面积比等于相似比的平方.【类型五】利用位似的性质进行证明或计算(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；(2)若AB=2,CD=3,求EF的长.解析：(1)利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质得出答案；(2)利用比例的性质以及相似三角形的性质求出求出EF即可.解：(1)△DFE与△DBA,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似图形.理;方法总结：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.位似图形的对应线段的比等于相似比.三、板书设计位似图形的概念及画法1.位似图形的概念；2.位似图形的性质及画法.【教学反思】在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识.教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一环节及时归纳总结，使学生学有所收获.第2课时平面直角坐标系中的位似【教学目标】1.学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)2.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律.(难点)【教学过程】一、情境导入观察如图所示的坐标系.试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形.探究点一：平面直角坐标系中的位似【类型一】利用位似求点的坐标到D如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点0为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为()解析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点0为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为(3,3).故选A.方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k,则原图形上的点(x,y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky).到2在13×13的网格图中，已知△ABC和点M/(1,2).(1)以点M为位似中心，位似比为2,画出△ABC的位似图形△A’B'C';(2)写出△A’B′C′的各顶点坐标.解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2,可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可.解：(1)如图所示，△A’B'C′即为所求；(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为A'(3,6),B'(5,2),C'(11,4).方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.【类型三】在坐标系中确定位似比到B△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1),得到的位似图形△A’B′C′三个顶点分别为A'(1,2),,则△A'B'C'与△ABC的位似比是以原点为位似中心，一1),以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A'(1,2),,∴△A’B′C′与△ABC的位似比是1:3.方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比.探究点二：位似在坐标系中的简单应用【类型一】确定图形的面积到+如图，原点O是△ABC和△A′B’C°的位似中心，点A(1,0)与点A'(一2,0)是对应点，△ABC的面积则△A’B'C′的面积是解析：∵点A(1,0)与点A'(-2,0)是对应点，原点O是位似中心，∴△ABC和△A’B’C’的位似比是1:2,∴△ABC和△A’B′C'的面积比是1:4,又∵△ABC的面积∴△A’B'C′的面积是6.方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方.到5如图，点A的坐标为(3,4),点0的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A₁OB,则点A的坐标为(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△AOB,则点A的坐标为();(3)将△AOB沿x轴翻折后得△AOB,则点A的坐标为();(4)以0为位似中心，按比例尺1:2将△AOB放大后得△A₁O₁B,若点B在x轴的负半轴上，则点A的坐标为(),△AOB的面积为解析：(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△AOB,则点A的坐标为(2,4),△A₁OB的面积;(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△AO₂B,则点A的坐标为(一3,一4);(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A;O₂B,则点A的坐标为(3,一4);(4)以0为位似中心，按比例尺1:2将△AOB放大后得△AOB,若点B在x轴的负半轴上，则点A的坐标为(—6,一8),△AOB的面积；×8=32.故答案为(1)2,4;8;(2)-3,-4;(3)3,-4;(4)-6,-8;32.方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键.三、板书设计位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k,则原图形上的点(x,y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky).【教学反思】这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.28.1锐角三角函数第1课时正弦函数【教学目标】1.能根据正弦概念正确进行计算；(重点)2.能运用正弦函数解决实际问题.(难点)【教学过程】一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB).斜坡与水面所成的角(∠O可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得.二、合作探究探究点一：正弦函数解析：根据正弦函数的定义可得故选C.方法总结：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.探究点二：正弦函数的相关应用到2如图，在正方形网格中有△ABC,则sin∠ABC的值等于()B故选B.方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状.BB在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=4,’则AB的长为()方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键.【类型三】三角函数与等腰三角形的综合到④已知等腰三角形的一条腰长为25cm,底边长为30cm,求底角的正弦值.解析：先作底边上的高AD,根据等腰三角形三线合一的性质得到=15cm,再由勾股定理求出AD,然后根据三角函数的定义求解.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.∵AB=AC=25cm,BC=30cm,AD为.由勾股定理得AD=√AB-BD=20cm,∴sin.方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要通过作高，构造直角三角形解答.【类型四】在复杂图形中求三角函数值05如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,如果AD=9,DC=5,E为AC的中点，解析：首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据直角三角形的性质可得DE 方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答.例6如图，已知AB是⊙0的直径，CD是弦，且CD⊥AB,BC=6,AC=8,求解析：首先根据垂径定理得出∠ABD=∠ABC,然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB=90°,根据勾股定理算出斜边AB的长，再根据正弦的定义求出sin∠ABC的值，从而得出sin∠ABD的值.方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中.在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形.三、板书设计2.利用正弦解决问题.AA【教学反思】在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.28.1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数【教学目标】1.理解余弦、正切的概念；(重点)2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.(重点)【教学过程】教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的?为什么可以这样定义?学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了.现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢?为什么?二、合作探究探究点一：余弦函数和正切函数的定义【类型一】利用余弦的定义求三角函数值例①在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,AC=12,则cosA=()o.解析：∵Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,AC=12,故选C.CC方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值.【类型二】利用正切的定义求三角函数值例②如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=()B.解析：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°,故选D.方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值.探究点二：三角函数的增减性例3随着锐角α的增大，cosa的值()A.增大B.减小C.不变D.不确定解析：当角度在0°~90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.方法总结：当0°<a<90°时，cosa的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).【类型二】比较三角函数的大小到4sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是()解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1,cos70°<1,tan70°>1.又∵cos70°=sin20°,正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°>cos70°=方法总结：当角度在0⁰≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1,0≤cosA≤探究