数学必修四知识点总结

三角函数总复习

任意角的概念角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式任意角的三角函数同角公式诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）三角函数的图形和性质正弦型函数的图象已知三角函数值，求角知识网络结构1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.（4）角在“到”范围内，指.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.一、基本概念：一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边零角二、象限角：注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角终边相同的角，连同角在内，构成集合：（角度制）（弧度制）例1、求在到（）范围内，与下列各角终边相同的角原点x轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与重合，角的始边与重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。1、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2、象限角、象间角与区间角的区别3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式三、终边相同的角(1)与

角终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法

{

|

=2k+

,k∈Z}.(2)象限角、象限界角(轴线角)①象限角第一象限角:

(2k

<

<2k

+

,k

Z)2

第二象限角:(2k

+

<

<2k

+

,k

Z)2

第三象限角:

(2k

+

<

<2k

+

,k

Z)23

第四象限角:2

(2k

+<

<2k

+2

,k

Z

或2k

-<

<2k

,k

Z

)23

一、角的基本概念②轴线角x

轴的非负半轴:

=k

360º(2k

)(k

Z);x

轴的非正半轴:

=k

360º+180º(2k

+

)(k

Z);

y

轴的非负半轴:

=k

360º+90º(2k

+

)(k

Z);2

y

轴的非正半轴:

=k

360º+270º(2k

+)

或

=k

360º-90º(2k

-

)(k

Z);23

2

x

轴:

=k

180º(k

)(k

Z);

y

轴:

=k

180º+90º(k

+

)(k

Z);2

坐标轴:

=k

90º()(k

Z).2k

例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.

应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制（4）弧长公式和扇形面积公式.度弧度02、角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表正弦线：余弦线：正切线：（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。2.正弦线、余弦线、正切线xyOPTMA有向线段MP有向线段OM有向线段AT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线

三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正弦线MP

正弦、余弦函数的图象

yxxO-1

PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！余弦线OM正切线AT

POM

POM

POM

POMMP为角的正弦线,OM为角的余弦线为第二象限角时

为第一象限角时

为第三象限角时

为第四象限角时

4.三角函数的符号xyo0

1

-1

0

++__1

0

0

-1

xyo++__不存在

xyo0

0

不存在

_+_+一、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r二、同角三角函数的基本关系式商关系：平方关系：三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”平方关系商式关系5.同角三角函数基本关系:设00900，对于任意一个00到3600的角=，当[00，900]1800-，当[900，1800]1800+，当[1800，2700]3600-，当[2700，3600]如何求非锐角的三角函数值呢？角1800-，1800+，3600-的三角函数值与的三角函数值有何关系呢？6.诱导公式:公式1

公式2：

公式3：公式4：奇变偶不变，符号看象限！（注意：把看作是锐角）公式五：公式六：偶同奇余象限定号利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数锐角三角函数到的角的三角函数用公式三或一用公式一用公式二或四例3已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=，求tanα的值。解答下列问题：（1）若在第四象限，判断的符号；（2）若，试指出所在的象限，并用图形表示出的取值范围.思考题三、三角函数图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义值域奇偶性对称中心RR[-1,1][-1,1]R奇奇偶函数y=sinxy=cosxy=tanx最值对称轴周期性单调性无最值无2π2ππ1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法2、y=Asin(ωx+φ)关于A、ω、φ的三种变换法一：五点法列表取值方法：是先对ωx+φ取0，π/2，π，3π/2，2π法二：图象变换法（1）振幅变换（对A）（2）周期变换（对ω）（3）相位变换（对φ）(二)y=Asin(ωx+φ)的相关问题3、求y=Asin(ωx+φ)+K的解析式的方法4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的对称中心和对称轴方程2、函数的图象（A>0,>0)第一种变换:图象向左()或向右()平移个单位

横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍横坐标不变第二种变换：横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变图象向左()或向右()平移个单位

纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍横坐标不变二、知识点

两角和与差公式Cα±β：Sα±β：Tα±β：倍角公式返回和角公式的一个重要变形山东学业水平测试题山东学业水平测试题山东学业水平测试题(201312月山东2T）（）山东学业水平测试题(201312月山东3T）(201312月山东10T）山东学业水平测试题(201312月山东14T）(201312月山东18T）山东学业水平测试题(201312月山东25T）(2013山东1月3T）山东学业水平测试题(2013山东1月10T）(2011山东1月5T）的值为A.0B.C.D.1山东学业水平测试题(2013山东1月13T）山东学业水平测试题(2011山东1月10T）已知函数，下面结论正确的是（）函数的最小正周期为

B.函数在区间上是增函数C.函数是奇函数

D.函数的图象关于直线对称

山东学业水平测试题(2011山东1月19T）已知，则等于

。(2010山东1T）山东学业水平测试题(2010山东7T）(2010山东1月9T）在ΔABC中，sinAsinB-cosAcosB<0则这个三角形一定是A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形平面向量一.基本概念1.向量及向量的模、向量的表示方法1)图形表示2)字母表示3)坐标表示AB有向线段AB一.基本概念2.零向量及其特殊性3.单位向量4.平行向量，相等向量，相反向量5.两个非零向量的夹角

题例1:以下各种判断中正确的是

(1)长度为0的向量都是零向量;

(2)零向量的方向都是相同的;

(3)单位向量的长度都相等;

(4)单位向量的方向都是相同的;

(5)任意向量与零向量都共线;

(6)平行向量的方向都是相同的;

(7)共线向量一定要在同一直线上作出;

(8)模相等的两向量是相等向量;

(9)向量的模是实数，模大的向量也大;

(10)(1)(3)(5)二.基本运算1.向量线性运算2.两个非零向量的数量积二.基本运算（坐标途径）三.两个等价条件四.一个基本定理2.平面向量基本定理利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组山东学业水平测试题山东学业水平测试题(201312月山东6T）(201312月山东8T）山东学业水平测试题(201312月山东2