四节相互独立性与条件概率

第四节事件的相互独立性与条件概率⁠1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.CONTENTS010203/目录

知识·逐点夯实考点·分类突破课时·过关检测01⁠1.相互独立事件（1）事件相互独立：在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响，则称事件A与事件B相互独立，当对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中

任意一个事件

⁠发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立；任意一个事件

②若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.提醒

P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P（B）＝P（B｜A）.（2）独立事件的概率公式①若事件A，B相互独立，则P（AB）＝

P（A）P（

⁠

）

⁠；P（A）P（B）

P（A）P（B｜A）

3.全概率公式

⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立.

（

）答案：（1）×

（2）抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立.

（

）（3）若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）.

（

）答案：（2）√

答案：（3）√2.（2021·新高考Ⅰ卷）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则

（

）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

4.已知m是一个三位正整数，若m的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称m为递增数.已知a，b，c∈{0，1，2，3，4}，设事件A＝“由a，b，c组成三位正整数”，事件B＝“由a，b，c组成的三位正整数为递增数”，则P（B｜A）＝

⁠.

⁠

2.事件A与事件B是互斥事件，则A与B不相互独立.3.已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B｜A）＝P（B），则P（A｜B）＝P（A）.⁠1.（多选）一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1，2，3，4，拋掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则

（

）A.E与F不是互斥事件B.F与G是对立事件C.E与F是独立事件D.F与G是独立事件解析：AB

因为E∩F＝{1}，所以E与F不是互斥事件，A正确；由F∩G＝⌀，即F与G互斥，又F∪G＝Ω，即F与G是对立事件，B正确；拋掷这个正四面体一次，若与地面接触面的数字为2，即发生E，则一定不会发生F，故E与F不是独立事件，C错误；由结论2，F与G不是独立事件，D错误.故选A、B.

02⁠独立事件的概率【例1】

（2020·全国Ⅰ卷）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

｜解题技法｜求相互独立事件同时发生的概率的策略（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.⁠1.（多选）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为

（

）

（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

条件概率【例2】

（1）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为

（

）

答案

（1）B

（2）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为

⁠.

⁠

2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为

⁠.

解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B（发芽又成长为幼苗）.依题意P（B｜A）＝0.8，P（A）＝0.9.根据条件概率公式P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.72全概率公式

答案

（1）B

（2）人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为

⁠.

答案

（2）0.64｜解题技法｜应用全概率公式求概率的思路（1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式计算.⁠

某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为

（

）A.0.625B.0.75C.0.5D.0

03⁠1.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是

（

）A.0.64B.0.56C.0.81D.0.99解析：C

设Ai表示“第i次击中目标”，i＝1，2，则P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝0.9×0.9＝0.81.2.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是

（

）A.0.1B.0.2C.0.33D.0.35

3.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸出正品的概率是

（

）

4.（多选）设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，给出下列各式，其中正确的是

（

）A.P（A∪B）＝P（B）C.P（A｜B）＝1D.P（AB）＝P（

A

）

A5.（多选）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则

（

）

6.某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲、乙两位同学作答，每人答对的概率均为0.7，两人都答对的概率为0.5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是

⁠.（用分数表示）

答案：0.48.从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的这个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为

⁠.

9.某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为

⁠.

解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P（A1）＝P（B1）＝0.5，P（A2｜A1）＝0.6，P（A2｜B1）＝0.8，由全概率公式，得P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P（A2｜B1）＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.答案：0.7

⁠

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

13.（多选）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果.定义：事件A＝“x＋y＝7”，事件B＝“xy为奇数”，事件C＝“x＞3”