2023学年完整公开课版弧度制

第5章三角函数512弧度制人教A版2019高中数学必修第一册角度制、弧度制的概念【探究】度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制不同的单位制能给解决问题带来方便角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？【导入】我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制

【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α在旋转过程中，射线OA上的一点P不同于点O的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为，由初中所学知识可知：

角度制、弧度制的概念【探究】如图，在射线OA上任取一点Q不同于点O，OQ=r，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为，与r的比值是多少我们能得出什么结论？【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角

QQ1

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位元O中，AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角角度制、弧度制的概念

根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为αrad，那么有：

对这个式子进行变形，可以得到如下结论：

其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于-2π的角这样就可以得到弧度为任意大小的角一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0角度制、弧度制的概念

不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值，比如图中，半径为任意值，只要∠AOB所对弧的长等于半径，∠AOB就是1弧度的角用角度作为单位来度量角的制度用弧度作为单位来度量角的制度角的大小与半径无关单位“°”不能省略单位“rad”省略【问题】角度制和弧度制之间怎么换算呢？【答】用角度制解弧度制俩度量零角，单位不同，但量数相同都是0；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同因为周角的弧度制是2π，而在角度制下的度数是360，所以有：360°=2πrad，180°=πrad，

角度与弧度的换算一般地，只需根据

两边同除以180两边同除以π就可以进行角度和弧度的换算了弧度数=角度数×角度数=弧度数×

【1】把67°30′化成弧度【解】因为67°30′=，所以

【2】把15π化成角度【解】15π=

67°30′=【注意】角度中含有分‘秒‘’时，化成弧度制之前，要先化成度°角度与弧度的换算常见特殊角的角度与弧度对应表：

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数等于这个叫的弧度；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角弧度数等于这个实数弧长公式与扇形面积公式【1】若用R表示圆的半径，α0＜α＜2π为圆心角，是扇形弧长，S是扇形面积则有：

显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利

【1】把下列角度化成弧度【解】（1）22°3