2023学年完整公开课版时正弦函数

学习目标1理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定即正弦值不变重点2能根据正弦概念正确进行计算重点、难点为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌先测得斜坡的坡脚∠A为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？30°如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB35m如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？思考：

在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.

当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ABCA'B'C'

任意画Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边∠A的对边斜边sinA=例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值ABC43图①？ABC135图②？解：在Rt△ABC中，解：在Rt△ABC中，sinA=()

sinA=()

1判断对错A10m6mBC√×sinB=()

×sinA=06m×sinB=08m√2在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值A扩大100倍B缩小C不变D不能确定C例2如图，在平面直角坐标系内有一点P3，4，连接OP，求OP与轴正方向所夹锐角α的正弦值解：如图，作PA⊥与轴，∴点A3，0A0，3在Rt△APO中，由勾股定理得因此α方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解如图，已知点P的坐标是a，b，则sinα等于OxyP(a，b)αA.B.C.D.D例3

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.ABC解：∵∴∴AB=3BC=3×3=9∴∴∴1在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长为DA4B6C8D102在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=___2例4在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．解：设BC=7，则AB=25，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24=24cm，解得=1cm故BC=7=7cm，AB=25=25cm所以△ABC的周长为ABBCAC=72425=56cm正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长∠A的对边斜边sinA=1在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值A扩大2倍B不变C缩小D无法确定B2如图，sinA的值为7ACB330°ABCDC3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A=

，∠B=

.45°45°4如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值为解析：∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝5如图，点D0，3，O0，0，C4，0在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=______解析：连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D0，3，C4，0，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD即可．OxyACBD6如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=，求△ABC的面积D55CBA解：作BD⊥AC于点D，∵sinA=，∴又∵△ABC为等腰△，BD⊥AC，∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=127如图，在△ABC中，∠A