最短路径问题

第十三章轴对称134课题学习最短路径问题如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你能解答这个问题吗？课时导入1知识点运用“垂线段最短”解决最短路径问题【例1】体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短D．两点确定一条直线C如图，l为河岸视为直线，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由12知识点运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题如图134-1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题（一）1如图134­-1，点A，B分别是直线l异侧的两个点，连接AB，与直线l相交于点P，根据“两点之间，线段最短”，可知点P为直线l上到点A、点B的距离之和最短的点．图134­-12如图134­-2，点A，B是直线l同侧的两个点，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B由“两点之间，线段最短”可知，点P为直线l上到点A、点B的距离之和最短的点．图134­-23．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径．解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点．如图，A处是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上的点P处喝水，再游到B处，但要使游泳的路程最短．试在图中画出点P的位置．12015•黔南州如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2造桥选址问题）如图134-6,A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）问题（二）我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b图134-7，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AMMNNB最小？在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择如图134­-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．【例3】图134­-5解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．1为庆祝教师节，阳光中学八年级2班举行了一次文艺晚会，桌子摆成两条线如图中的OA，OB，∠AOB＜90°，桌子OA上摆满了苹果，桌子OB上摆满了橘子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿橘子，然后回到座位C处．请你帮助小华设计一条行走路线，使小华所走路程最短．要求：作出路线图，并用字母表示出所走路线2茅坪民族中学八2班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排图中