1.3 正方形的性质与判定 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形知识点正方形的定义知1－讲11.正方形的定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.特别提醒1.正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件:(1)一组邻边相等.(2)一个角是直角.2.正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.感悟新知知1－讲2.四边形定义间的关系感悟新知知1－练例1如图1-3-1，△ABD

和△BCD

都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°．求证：四边形ABCD是正方形.感悟新知知1－练解题秘方：紧扣定义中“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形”进行判断.感悟新知知1－练证明：∵△ABD

和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°，∴∠ADB=∠CBD=45°，∠ABD=∠CDB=45°，AB=AD.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD

为平行四边形.又∵∠A=90°，AB=AD，∴四边形ABCD

是正方形.感悟新知知1－练1-1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE

垂直平分AC，DF⊥BC.当△ABC满足条件____________________时，四边形DECF

是正方形.(要求：①不再添加任何辅助线；②只需填一个符合要求的条件)AC＝BC(答案不唯一)感悟新知知2－讲知识点正方形的性质2正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：(1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；(5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半.感悟新知知2－讲特别提醒●正方形的特殊性质：1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.2.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.感悟新知知2－练如图1-3-2，在正方形ABCD

中，E为CD

上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.例2解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息解决问题.感悟新知知2－练(1)求证：△BCE≌△DCF；证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.感悟新知知2－练(2)若∠

BEC=60°，求∠

EFD的度数.解：∵△

BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－

∠CFE=60°－45°=15°.感悟新知知2－练2-1.如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC

的延长线上.如果BE=BD，且AB=2cm，求∠

E的度数和BE的长.感悟新知知2－练感悟新知知3－讲知识点正方形的判定3(1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；感悟新知(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.知3－讲感悟新知知3－讲方法点拨判定正方形的常见思路：1.从边上证明.矩形正方形；2.从角上证明.菱形正方形；3.从对角线上证明.(1)矩形正方形；(2)菱形正方形；(3)平行四边形正方形；邻边相等有一个角是直角对角线互相垂直对角线相等对角线相等且互相垂直感悟新知知3－练

[中考·邵阳]如图1-3-3，在菱形ABCD

中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F

在对角线BD

上，且BE=DF，OE=OA.求证：四边形AECF

是正方形.例3感悟新知知3－练解题秘方：“先确定待证四边形是一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定它是正方形.感悟新知知3－练证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD.∵BE=DF，∴OE=OF.∴四边形AECF

是菱形.∵OE=OA，∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC.∴菱形AECF

是正方形.感悟新知知3－练3-1.如图，在四边形ABCD

中，AB=BC，对角线BD

平分∠ABC，P

是BD

上一点，过点P

作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.感悟新知知3－练(1)求证：∠ADB=∠CDB；证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵AB＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB.感悟新知知3－练(2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND

是正方形.证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°.∴PM＝MD.∴四边形MPND是正方形．感悟新知知4－讲知识点中点四边形41.中点四边形的概念顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形.如图1-3-4，在四边形ABCD

中，E，F，G，H

分别是AB，BC，CD，DA

的中点，则四边形EFGH

就是中点四边形.感悟新知2.常见的中点四边形(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形.(2)平行四边形的中点四边形是平行四边形.(3)矩形的中点四边形是菱形.(4)菱形的中点四边形是矩形.(5)正方形的中点四边形是正方形.提醒，若中点四边形是菱形，则原四边形不一定是矩形，只需要满足对角线相等即可.知4－讲感悟新知知4－讲特别提醒中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形)；两条对角线相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).感悟新知知4－练如图1-3-5，顺次连接菱形ABCD

的各边中点E，F，G，H，若AC=a，BD=b，求四边形EFGH

的面积.例4感悟新知知4－练解题秘方：要求中点四边形的面积，确定中点四边形的形状以及边的长度是关键.感悟新知

知4－练感悟新知

知4－练感悟新知知4－练4-1.[中考·玉林]若顺次连接四边形