抛物线讲义(备课)

抛物线的标准方程知识要点：1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2.标准方程①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF的中点重合。②设|KF|=p〔p>0〕，那么抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：3.几何性质：以抛物线y2=2px〔p>0〕为例。〔1〕范围。x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。〔2〕对称性。关于x轴对称。〔对称轴与准线垂直〕〔3〕顶点。对称轴与抛物线的交点。〔4〕离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1〔注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径〔2p〕过焦点且与对称轴垂直的弦〕。4.几个重要的解析结果：〔1〕平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。〔2〕焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2〔p>0〕〔3〕焦半径公式：〔4〕焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p〔x1、x2分别为A、B的横坐标〕，由此可知，通径长为焦点长的最小值：例题：例1在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.例2顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：例3如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?例4过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.例5直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，假设△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.例6抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.(Ⅰ)求a的取值范围.(Ⅱ)假设线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习：A级一、选择题1.抛物线y=-x2的准线方程是()A.x= B.x= C.y=2 D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，假设AB中点的横坐标为2，那么k等于()A.0 B.1 C.2 D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.假设点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，那么P点的轨迹方程是()A.y2=-16x B.y2=-32x C.y2=16x D.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，那么焦点到准线距离是()A.4 B.8 C.16 D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是.7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是.8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两端，那么y1y2=.三、解答题9.抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.10.A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级一、选择题1.P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，那么点P到焦点的距离是()A.｜x0-｜ B.｜x0+｜C.｜x0-m｜ D.｜x0+m｜2.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，假设A、B两点在抛物线的准线上的射影是A1、B1，那么∠A1FB1等于()A.45° B.60° C.90° D.°1203.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，假设x1+x2=6，那么｜AB｜等于()A.4 B.6 C.8 4.动点P在曲线y=2x2+1上移动，那么点P和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是()A.y=2x2 B.y=4x2 C.y=6x2 D.y=8x5.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，那么｜PF｜+｜PA｜的最小值是()A.2 B. C.3 D.二、填空题6.假设(4，m)是抛物线y2=2px上的一点，F是抛物线的焦点，且｜PF｜=5,那么抛物线的方程是.7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，那么线段AB的中点M的横坐标是.8.假设抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，那么m的值是.三、解答题9.椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0)与椭圆在第一象限的交点为Q，假设∠F1QF2=60°，(1)求△F1QF2的面积；(2)求此抛物线的方程.10.直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，假设A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

AAA级一、选择题1.抛物线y=2ax2(a≠0)的焦点坐标是()A.(,0) B.(0,) C.(,0) D.(0,)2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，那么线段AB的中点M的纵坐标的最小值为()A. B.1 C.2 D.43.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是()A.(，) B.(1，1) C.(，) D.(2，4)4.抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，那么△OFM的面积(O为原点)为()A.1 B. C.2 D.25.假设点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，那么｜PQ｜的最小值等于()A.-1 B.-1 C.2 D.(-2)二、填空题6.抛物线y2=4ax(a＞0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，那么m= ,n= .7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，那么P与焦点F间的距离｜PF｜=；8.定点A(3，2)是抛物线y2=2px(p＞0)内部的一点，F是抛物线的焦点，点Q在抛物线上移动，｜AQ｜+｜QF｜的最小值为4，那么P=.三、解答题9.设抛物线y2=2px(p＞0)的弦