指数函数经典例题及课后习题

./指数函数及其基本性质指数函数的定义一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是.问题：指数函数定义中,为什么规定""如果不这样规定会出现什么情况？<1>若a<0会有什么问题？〔如则在实数范围内相应的函数值不存在<2>若a=0会有什么问题？〔对于,无意义<3>若a=1又会怎么样？〔1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.指数函数的图像及性质函数值的分布情况如下：指数函数平移问题〔引导学生作图理解用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=的图象的关系〔作图略,⑴y=与y=.⑵y=与y=.f<x>的图象向左平移a个单位得到f<x＋a>的图象;向右平移a个单位得到f<x－a>的图象;向上平移a个单位得到f<x>＋a的图象;向下平移a个单位得到f<x>－a的图象.指数函数·经典例题解析<重在解题方法>[例1]求下列函数的定义域与值域：解<1>定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．<2>由2x+2－1≥0,得定义域{x|x≥－2},值域为y≥0．<3>由3－3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3－3x－1＜3,及时演练求下列函数的定义域与值域〔1；〔2；〔3；[例2]指数函数y＝ax,y＝bx,y＝cx,y＝dx的图像如图2．6－2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选<c>,在x轴上任取一点<x,0>,则得b＜a＜1＜d＜c．及时演练指数函数①②满足不等式,则它们的图象是<>.[例3]比较大小：<3>4.54.1________3.7解<3>借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1＞4.53.6,作函数y1＝4.5x,y2＝3.7x的图像如图2．6－3,取x＝3.6,得4.53.6＞3.7∴4.54.1＞3.73.6说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的<1>．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的<2>．其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6<或3.74.1>,如例2中的<3>及时演练〔11.72.5与1.73<2>与<3>1.70.3与0.93.1〔４和[例５]已知函数f<x>＝a－eq\f<1,2x＋1>,若f<x>为奇函数,则a＝________.[解析]解法1：∵f<x>的定义域为R,又∵f<x>为奇函数,∴f<0>＝0,即a－eq\f<1,20＋1>＝0.∴a＝eq\f<1,2>.解法2：∵f<x>为奇函数,∴f<－x>＝－f<x>,即a－eq\f<1,2－x＋1>＝eq\f<1,2x＋1>－a,解得a＝eq\f<1,2>.[答案]eq\f<1,2>及时演练当x＝0时,函数y有最大值为1．<1>判断f<x>的奇偶性；<2>求f<x>的值域；<3>证明f<x>在区间<－∞,＋∞>上是增函数．解<1>定义域是R．∴函数f<x>为奇函数．即f<x>的值域为<－1,1>．<3>设任意取两个值x1、x2∈<－∞,＋∞>且x1＜x2．f<x1>－f<x2>备选例题1．比较下列各组数的大小：〔1若,比较与；〔2若,比较与；〔3若,比较与；〔4若,且,比较a与b；〔5若,且,比较a与b．解：〔1由,故,此时函数为减函数．由,故．〔2由,故．又,故．从而．〔3由,因,故．又,故．从而．〔4应有．因若,则．又,故,这样．又因,故．从而,这与已知矛盾．〔5应有．因若,则．又,故,这样有．又因,且,故．从而,这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．,2.已知,则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围．解：∵,∴函数在上是增函数,∴,解得．∴x的取值范围是．3.解方程．解：原方程可化为,令,上述方程可化为,解得或〔舍去,∴,∴,经检验原方程的解是．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根．4.为了得到函数的图象,可以把函数的图象〔．A．向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断．解：∵,∴把函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数的图象,故选〔C．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如：平移、伸缩、对称等．5.已知-1≤x≤2,求函数f<x>=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2,所以,且f<x>=g<t>=-<t-3>2+12,故当t=3即x=1时,f<x>取最大值12,当t=9即x=2时f<x>取最小值-24。5.函数y＝a｜x｜<a>1>的图像是<>分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想.解法1：<分类讨论>：去绝对值,可得y＝又a>1,由指数函数图像易知,应选B.解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数,又a>1,所以当x≥0时,y＝ax是增函数；x＜0时,y＝a-x是减函数.∴应选B.指数函数练习题选择题：1．某种细菌在培养过程中,每分钟分裂一次〔一个分裂为两个。经过个小时,这种细菌由个可繁殖成〔个个个个2．在统一平面直角坐标系中,函数与的图像可能是〔3．设都是不等于的正数,在同一坐标系中的图像如图所示,则的大小顺序是〔4.若,那么下列各不等式成立的是〔5函数在上是减函数,则的取值范围是〔6．函数的值域是〔7．当时,函数是〔奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数8．函数且的图像必经过点〔9．若是方程的解,则〔10．某厂1998年的产值为万元,预计产值每年以％递增,则该厂到20XX的产值〔单位：万元是〔％％％％填空题：已知是指数函数,且,则设,使不等式成立的的集合是若方程有正数解,则实数的取值范围是