章概率随机样本空间

第15章15.1随机事件和样本空间结合具体实例，理解样本点和样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；了解随机事件的并、交含义.课标要求素养要求能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念，能够用样本空间去解释相关问题，发展数学抽象及逻辑推理素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.确定性现象和随机现象(1)确定性现象：在一定条件下，事先就能断定______或________某种结果，这种现象就是确定性现象.(2)随机现象：在一定条件下，某种结果______发生，也______不发生，事先______断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.发生不发生可能可能不能把随机试验的每一个__________称为样本点，用ω表示；所有________组成的______称为样本空间，用Ω表示.2.样本空间可能结果样本点集合样本空间的______称为随机事件，简称事件.事件一般用A，B，C等大写英文字母表示.当一个事件仅包含____________时，称该事件为基本事件.显然，Ω(全集)是______事件，

(空集)是________事件.3.随机事件、必然事件、不可能事件子集单一样本点必然不可能点睛随机事件与基本事件的再理解(1)随机事件是样本空间的子集，随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.

4.事件的运算

定义符号图示子事件事件B发生必导致事件A发生B⊆A

并事件“__________________________即为事件C发生”.这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和C＝A＋B

交事件“事件A与B同时发生即为事件C发生”.这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积C＝AB

事件A与B至少有一个发生1.思考辨析，判断正误(1)事件“长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形”为随机事件.(

)提示

为必然事件.(2)事件“长度为2，3，4的三条线段可以构成一直角三角形”为随机事件.(

)提示

为不可能事件.(3)事件“方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根”为随机事件.(

)提示为不可能事件.(4)事件“函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数”为随机事件.()×××√2.下列事件是不可能事件的是(

)A.2022年世界杯足球赛期间不下雨B.没有水，种子发芽C.对任意x∈R，有x＋1>2xD.抛掷一枚硬币，正面朝上解析

A，C，D是随机事件，B是不可能事件.B3.同时抛掷两枚硬币，“向上都是正面”为事件M，“向上至少有一枚是正面”为事件N，则有(

)A.M⊆N B.M⊇N

C.M＝N D.以上都不对解析

M＝{(正，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故M⊆N.A4.一个盒子中装有8个完全相同的球，分别标上号码1，2，3，…，8，从中任取一个球，则其样本点空间Ω＝_________________________________.{1，2，3，4，5，6，7，8}解析记取得球的标号为i，则Ω＝{1，2，3，…，8}.课堂互动题型剖析2题型一事件类型的判断【例1】

指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的内角和为180°； (3)没有空气和水，人类可以生存下去；

解(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件. (2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件. (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.解(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件.(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.思维升华【训练1】

下列事件不是随机事件的是(

)A.东边日出西边雨 B.下雪不冷化雪冷C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴解析B是必然事件，其余都是随机事件.B题型二样本空间的求法【例2】

下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间. (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素.

解(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}. (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.不重不漏地列举试验的所有样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.思维升华【训练2】

袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间. (1)从中任取1球； (2)从中任取2球.

解(1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}. (2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，则样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.题型三事件间的运算【例3】

盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A为“3个球中有1个红球2个白球”，事件B为“3个球中有2个红球1个白球”，事件C为“3个球中至少有1个红球”，事件D为“3个球中既有红球又有白球”.

求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？

解

(1)对于事件D，可能的结果为：1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA＝A.事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.思维升华【训练3】

在例3中，设事件E为“3个红球”，事件F为“3个球中至少有一个白球”，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

解由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以CF＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.一、牢记3个知识点1.随机试验(现象).2.样本空间.3.随机事件，必然事件与不可能事件.二、掌握3种方法1.列举法.2.列表法.3.树状图法.三、注意1个易错点在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.(多选题)已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，则下列命题为真命题的是(

)A.“若x∈A，则x∈B”是必然事件B.“若x∉A，则x∈B”是不可能事件C.“若x∈B，则x∈A”是随机事件D.“若x∉B，则x∉A”是必然事件解析由真子集的定义可知A，C，D是真命题，B是假命题.ACD2.下面的事件：①实数的绝对值大于或等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当a>0时，关于x的方程x2＋a＝0在实数集内有解，其中是必然事件的有(

)A.① B.②

C.③ D.①②解析①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件.故选A.A3.100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件.下列事件：①至少有1件正品；②至少有3件是次品；③6件都是次品；④有2件次品、4件正品，其中随机事件的个数是(

) A.3 B.4 C.2 D.1

解析100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件，在这个试验中：至少有1件产品是正品为必然事件；至少有3件次品，有2件次品、4件正品为随机事件；6件都是次品为不可能事件，所以随机事件的个数是2.C4.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A为“两弹都击中飞机”，事件B为“两弹都没击中飞机”，事件C为“恰有一弹击中飞机”，事件D为“至少有一弹击中飞机”，下列关系不正确的是(

) A.A⊆D B.C⊆D C.A＋C＝D D.A＋B＝B＋D

解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A＋B≠B＋D.D5.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是(

)A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点

解析连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差X满足－5≤X≤5，X∈Z，则“X≥5”表示的试验结果是第一枚6点，第二枚1点.D二、填空题6.(1)种植100棵树苗，成活95棵是________事件； (2)某人投篮3次，投中4次是________事件.随机不可能7.下面给出五个事件： (1)某地2月3日将下雪；(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数a，b都不为零，则a2＋b2＝0；(4)a，b∈R，则ab＝ba，其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________.

解析(1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪； (2)随机事件，函数y＝ax，当a>1时在定义域上是增函数，当0<a<1时在定义域上是减函数；(3)不可能事件；(4)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立.(4)(3)(1)(2)8.在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2，4，6}，则用语言叙述事件A对应的含义为____________________________________.掷一颗骰子观察出现的点数为偶数三、解答题9.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. (1)写出这个试验的样本空间； (2)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪几个基本事件？

解(1)该试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)}. (2)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)3个基本事件.10.掷一枚骰子，给出下列事件： A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，C为“出现的点数小于3”.

求：(1)AB，BC； (2)A＋B，B＋C.

解

由题意知：A为“出现奇数点”＝{1，3，5}，B为“出现偶数点”＝{2，4，6}，C为“出现的点数小于3”＝{1，2}， (1)AB＝

，BC＝{2}＝“出现2点”； (2)A＋B＝{1，2，3，4，5，6}＝“出现1，2，3，4，5或6点”，B＋C＝{1，2，4，6}＝“出现1，2，4或6点”.11.(多选题)下列事件是随机事件的是(

) A.函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称 B.某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C.直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数 D.若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号

解析A为必然事件；B，C，D为随机事件.对于D，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab>0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.BCD12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是________.

解析“三面旗帜的颜色与号码均不相同”的样本点有(1红，2黄，3蓝)、(1红，2蓝，3黄)、(1黄，2红，3蓝)、(1黄，2蓝，3红)、(1蓝，2黄，3红)、(1蓝，2红，3黄)，共6个.613.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次. (1)写出这个试验的样本空间； (2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出A所包含的样本点； (3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题.

解(1)样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. (2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. (3)若改为取出后放回，则样本空间