8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 （原卷版）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【考点梳理】考点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)考点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).2.球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3.【题型归纳】题型一：圆柱的表面积和体积1．（2022春·河北邢台·高一校）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．2．（2022春·浙江·高一浙江省定海第一中学校联考期中）已知圆锥的顶点为O，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为的等边三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2022春·江西九江·高一校联考期末）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积为（

）A． B． C． D．题型二：圆锥的表面积和体积4．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为（

）A． B．1 C． D．26．（2022春·江苏常州·高一常州市第二中学校考阶段练习）已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．题型三：圆台的表面积和体积7．（2023春·全国·高一专题练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（

）A． B． C． D．8．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面，圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的（

）A． B． C． D．9．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（

）A． B． C． D．题型四：球的表面积和体积10．（2023·高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B．C． D．11．（2023春·全国·高一专题练习）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）平方尺.A． B． C． D．12．（2023·高一课时练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（

）A．9 B．18 C．27 D．36题型五：组合体的表面积和体积计算13．（2023春·全国·高一专题练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．14．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考阶段练习）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（

）A． B． C． D．15．（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．题型六：常考几何体的综合问题16．（2022春·河南郑州·高一校考阶段练习）已知圆锥的底面半径，高(1)求圆锥的表面积和体积(2)如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值17．（2022春·湖南永州·高一校考期中）如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.(1)求挖掉的直三棱柱的体积；(2)求剩余几何体的表面积.18．（2022春·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）如图，正四棱锥，.(1)求此四棱锥的的表面积；(2)求此四棱锥外接球的体积.【双基达标】一、单选题19．（2023·全国·高一专题练习）用与球心距离为的平面去截球，截面面积为，则球的体积为（）A． B． C． D．20．（2023·高一单元测试）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（

）克（精确到个位数）A．176 B．207 C．239 D．27021．（2023·全国·高一专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（

）A． B． C．4 D．522．（2023·全国·高一专题练习）已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．23．（2023·全国·高一专题练习）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为（

）A． B． C． D．24．（2023·全国·高一专题练习）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（

）（假设上、下底面圆是封闭的）A． B．C． D．25．（2023春·全国·高一专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？26．（2023春·全国·高一专题练习）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.【高分突破】一、单选题27．（2023春·全国·高一）要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（

）A．， B．，C．， D．，28．（2023·高一课时练习）以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（

）A． B． C． D．29．（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（

）A．4π B．8π C． D．30．（2023春·全国·高一专题练习）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为（

）A． B． C． D．31．（2023·高一）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题32．（2023·全国·高一专题练习）圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（

）A． B．C． D．33．（2023·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（

）A．圆锥的高是 B．圆锥的母线长是4C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是34．（2023春·全国·高一专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的半径为35．（2022春·吉林·高一校联考期末）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：236．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）下列说法正确的有（

）A．若一个圆台的上､下底面半径分别为，则其内切球的表面积为B．正方体的棱长为分别为棱的中点，经过三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为C．已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为D．正三棱锥的所有棱长均为2，其内切球体积为37．（2022春·河北唐山·高一统考期末）已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为2的等边三角形，则下面选项正确的是（

）A．圆锥PO的表面积为B．圆锥PO的内切球半径为C．圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为D．若C为PB的中点，则沿圆锥PO的侧面由点A到点C的最短路程是三、填空题38．（2023·全国·高一专题练习）四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为_____．39．（2023·高一课时练习）一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为6，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子圆锥形部分的高度最小为______.40．（2023·高一课时练习）已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是______.41．（2023春·全国·高一专题练习）一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型该模型由一个几何体及其外接球组成，几何体由一个内角都是120°的六边形绕边旋转一周得到且满足，，则球与几何体的体积之比为______.42．（2023春·全国·高一专题练习）底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.43．（2022春·云南文山·高一统考期末）在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.四、解答题44．（2023春·全国·高一专题练习）如图，是一圆柱形树桩的底面直径，是圆柱的母线，且，点是圆柱底面圆周上的点．(1)求该树桩的侧面积和体积；(2)若，是的中点，线有一只小虫在点，先在线段上钻一个小洞，记为点，若该小虫要从点钻过小洞点到达点，要使得小虫爬过的路径最短，请你确定小洞点的位置，并求出路径的最小值．【点睛】45．（2023春·全国·高一专题练习）已知在圆锥中，底面的直径，的面积为12．(1)求圆锥的表面积；(2)若球内切于圆锥，用一个与圆锥的底面平行且与球相切（切点）的平面截圆锥得圆台，求球的体积和圆台的体积之比．46．（2023春·全国·高