8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 （解析版）

8.4.空间点、直线、平面之间的位置关系【考点梳理】考点一平面1.平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.2.平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.考点二点、线、面之间的位置关系1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α，β相交于直线lα∩β＝l考点三平面的基本性质及作用1.基本事实内容图形符号作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.考点三空间两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))考点四直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示考点五平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示【题型归纳】题型一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换1．（2023春·全国·高一）如图所示，用符号语言可表述为（）A．，，B．C．D．【答案】A【分析】由题可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案.【详解】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，故选：A.2．（2021秋·陕西宝鸡·高一统考期末）用符号语言表示下列语句，正确的个数是（

）（1）点A在平面内，但不在平面内：，．（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根据点线面的位置关系结合表示方法可判断.【详解】（1）错误，点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误.（2）正确.由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内.故表示为：，，，所以表示正确.（3）正确.平面与平面相交于直线l，表示为l经过点P，点P在直线l上，.故正确.故选：B.3．（2021春·山东聊城·高一统考期末）基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（

）A．，，且， B．，，且，C．，，且， D．，，且，【答案】B【分析】根据定义判断是元素与集合的关系还是集合与集合的关系决定符号的用法.【详解】因为、是点，是元素，是直线、平面的元素，所以用“”，而是点的集合，和平面是集合与集合的关系，是平面的子集关系，所以用“”.故选：B.题型二：平面的基本性质4．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面【答案】D【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可.【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误；对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误；对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误；对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确.故选：D.5．（2023春·全国·高一专题练习）已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（

）A．，，，，则B．，，，，则直线，直线C．，，则D．、、，、、，且、、不共线，则、重合【答案】C【分析】利用基本事实2可判断AB选项；利用基本事实3可判断C选项；利用基本事实1可判断D选项.【详解】对于A选项，，，，，由基本事实2可知，A对；对于B选项，，，则直线，同理可知，直线，B对；对于C选项，，，则为平面、的一个公共点，但平面、相交于过点的一条直线，而不是点，C错；对于D选项，、、，且、、不共线，则、、可确定平面，同理可知，、、可确定平面，故、重合，D对.故选：C.6．（2022·高一单元测试）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（

）A． B．C． D．，【答案】C【分析】根据平面性质及符号表示的意义逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，表示既在直线上，也在平面内，故，故A正确.对于B，表示既在平面内，也在平面内，故，故B正确.对于C，表示或有一个交点，若该交点为，则，故C错误.对于D，表示有一个公共点，而表示或有一个交点，故，故D正确.故选：C.题型三：点、线共面问题7．（2022春·北京·高一101中学校考期末）空间四点共面而不共线，那么这四点中（

）A．必有三点共线 B．至多有三点共线C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线【答案】B【分析】画出空间四点共面而不共线的两种情况，即可得出答案.【详解】如下图所示，A，C，D均不正确，只有B正确.故选：B.8．（2022春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选：D9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（

）A．、、、四点共面，且与平行B．、、、四点共面，且与相交C．、、、四点共面，且与平行D．、、、四点不共面【答案】C【分析】连接、、，分析可知为的中点，判断出与相交，结合中位线的性质可得出结论.【详解】连接，因为为正方形的中心，则为的中点，因为，为的中点，故、、、四点共面，且与相交，连接、，因为、分别为、的中点，则，故选：C.题型四：证明点共线、线共点问题10．（2022·全国·高一假期作业）如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则（

）A．点必在直线上 B．点必在直线上C．点必在平面内 D．点必在平面内【答案】B【分析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上．【详解】如图：连接EH、FG、BD，∵EH、FG所在直线相交于点P，∴P∈EH且P∈FG，∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，故选：B11．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.(1)求证：E，F，C1，四点共面；(2)求证：A1E，F，B交于一点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF，根据E，F分别为AB，BC的中点，得到，再根据三棱柱的性质证明即可；（2）由（1）得且E，F，，四点共面，得到与必相交，设，再证明即可.【详解】（1）证明：如图，连接EF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴..又在三棱柱中，，∴.则E，F，，四点共面.（2）由（1）得且E，F，，四点共面，则与必相交.设.∵平面，∴P∈平面.∵⊂平面，∴P∈平面..又平面∩平面∴.则，，交于一点.12．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面.（2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面面，即点，即可得到答案.（3）延长交于,由于面面，则在交线上.【详解】（1）连接在长方体中、分别是和的中点、、、四点共面（2）确定一个平面面面对角线与平面交于点面在面与面的交线上面且面面面即点共线.（3）延长交于面面面面面面、、三线共点.题型五：两直线位置关系的判定13．（2023·高一课时练习）下列命题其中是真命题的有（

）①两条异面直线的公垂线有无数条；②异面直线之间的距离就是两条异面直线上点之间距离的最小值；③过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】用反证法说明公垂线不可能有无数条判断①，利用点到平面的距离中的最小值结论判断②，假设过两条异面直线中的一条有两个平面与另一条直线平行证明出矛盾结论判断③，【详解】是异面直线，若与既垂直又相交的直线有两条设为，不可能平行（否则共面），若不相交，过与的交点作直线，相交，由确定的平面为（图中未画出）（若相交，则平面就是由确定的平面），可得与平面都是垂直，从而，这是不可能的，因此与既垂直又相交的直线只有一条，①错误；是异面直线，是它们的公垂线段如下图，，，则，点到平面上点的距离的最小值是，因此点到直线的上点的距离都不小于，而上异于的点到直线上点的连线都不可能与同时垂直，也即不可能与平面垂直，这些线段是平面的斜线段，而到平面的垂线段长等于，因此是所有这些距离中的最小值，②正确；如图，是异面直线，过上一点作直线，则相交，设确定的平面为，则，若过还有一个平面与平行，直线确定的平面为，则与相交，交线设为，则由线面平行的性质定理得，从而，但是相交直线，矛盾，所以过不可还有一个平面与平行，即只有一个．③正确．故选：C．14．（2023春·全国·高一专题练习）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得.【详解】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体,则BF与DN是异面直线，故①错误；CM与BN平行，故②错误；由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确；AE与DN是异面直线，故④正确；故正确个数为2．故选：B.15．（2022·高一课时练习）设m、n、l是空间中三条不重合的直线﹐则下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若m、n共面，n与l共面，则m与l共面D．若m、n异面，n与l异面，则m与l异面【答案】A【分析】根据线与线、线与面的位置关系及性质，举出反例即可.【详解】对A，根据直线平行的性质可知，若，，则，故A正确；对B，若，，则m，l可能异面，故B错误；对C，若m，n共面，n与l共面，则m与l可能是异面直线，故C错误；对D，若m，n异面，n与l异面，则m与l可能平行，故D错误；故选：A.题型六：直线与平面的位置关系16．（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（

）A．若则B．若则C．若则D．若则【答案】D【分析】根据线面平行的性质判断A错误；根据面面垂直的判断定理判断B错误；举反例判断C错误；根据面面垂直的判定定理判断D正确.【详解】对于A，则错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若则错误，如图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C，若则，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β为地面，满足但α与γ相交，故C错误；对于D，因为由面面垂直的判定定理得：，故D正确．故选：D．17．（2023·全国·高一专题练习）m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，其中正确的结论个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据空间的点、线、面的位置关系一一判断各项即可.【详解】对①，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故①正确；对②，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故②正确；对③，若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，如正方体中，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，AB⊂平面ABCD，AB⊥BC，但AB与平面A1BCD1不垂直，故③错误；对④，α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，如正方体中，平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，平面ADD1A1∩平面A1BCD1＝A1D1，但BCA1D1，故④错误．所以正确的结论个数为2个．故选：C．18．（2023·全国·高一专题练习）已知α是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数为（

）①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l⊥m，l⊥n，则mn；③若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面；④若m⊥α，n⊥α，lm，则lnA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据线线，线面的位置关系逐项分析即得.【详解】根据题意，依次分析4命题，对于①，当m与n相交时，可得l⊥α，①错误；对于②，垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交，也可以异面，②错误；对于③，当3条直线交于一点时，直线l、m、n可能异面，③错误；对于④，若m⊥α，n⊥α，则mn，又由lm，则ln，④正确；所以4个命题中，有1个正确；故选：B．题型七：、平面与平面的位置关系19．（2023·全国·高一专题练习）已知两条不同的直线与两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【分析】在正方体中，通过反例可说明ABC错误；由面面垂直的判定可知D正确.【详解】对于A，在正方体中，，，平面，平面，则，，此时与异面，A错误；对于B，在正方体中，平面，平面，，，则，，，此时，B错误；对于C，在正方体中，，，平面，则若，，此时，C错误；对于D，根据面面垂直的判定定理知：若，，则，D正确.故选：D.20．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校联考期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故，所以选项A说法正确；因为，，所以，而，因此，所以选项B说法正确；当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C说法不正确；因为，，所以，而，所以，因此选项D说法正确，故选：C21．（2022·新疆·高一克拉玛依市高级中学校考阶段练习）是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A．如果，m，n是异面直线，那么B．若，则C．若，则D．如果，m，n共面，那么【答案】B【分析】由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.【详解】解：对于A：如果，m，n是异面直线，那么或n与相交，A不正确；对于B：若，则，使得，，则，使得，∴，∵，则，B正确；对于C：若，则的位置关系为：平行或相交，C不正确；对于D：如果，m，n共面，则m，n的位置关系：相交或平行，D不正确；故选：B题型八：点线面位置关系综合问题22．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形和都是直角梯形，，，，，，，分别为，的中点.(1)证明：四边形是平行四边形.(2)，，，四点是否共面？为什么？【答案】(1)证明见解析(2)C，D，F，E四点共面，理由见解析【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论；（2）由题可证得四边形为平行四边形，进而可得，进而即得.【详解】（1）因为分别为的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形；（2）四点共面.理由如下：由，，是中点知，，所以四边形为平行四边形，所以，由（1）知，所以，所以与共面，又，所以四点共面.23．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证；（2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证【详解】（1）证明：连接，，正方体中，E，F分别是的中点，∴且，∵且，∴且，∴EC与相交，设交点为P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵，平面，∴平面，∴P为两平面的公共点，∵平面平面，∴，∴三线交于点P；（2）在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，则FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD，同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD，∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，∴P，E，H三点共线．24．（2023·全国·高一专题练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：(1)点E，F，G，H四点共面；(2)直线EH，BD，FG相交于一点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到都平行于，由平行线的传递性可得，根据两平行确定一平面得出证明；（2）利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明.【详解】（1）由题意，作图如下：空间四边形中，分别是的中点，.又，，，四点共面.（2）证明：连接、，因为分别是的中点，所以，且，又因为，所以，且，所以，且，故四边形为梯形，且是梯形的两腰，所以相交于一点.设交点为，因为平面，所以平面，同理平面，而平面平面，所以，故点时直线的公共点，即直线相交于一点.【双基达标】单选题25．（2023·全国·高一专题练习）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是异面直线 D．一定相交【答案】B【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.故选：B.26．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，证明出，所以，与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求，推导出，即可计算出的正弦值，即为所求.【详解】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，又因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，又因为且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求．在中，，，．因为，所以为直角三角形，且，所以．故选：B．27．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的命题序号是（

）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条．A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】利用平行线的传递性可判断①；利用空间中直线的位置关系可判断②；利用反证法可判断③；利用圆柱可判断④.【详解】对于①，由平行线的传递性可知①对；对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错；对于③，若在直线外，若过点存在两条不同的直线、，使得，，则，与假设矛盾，假设不成立，③对；对于④，设直线为圆柱的轴所在的直线，如下图所示：所有与直线平行且到直线的距离为的直线可视为底面半径为的圆柱的母线所在的直线，故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错.故选：B.28．（2023·高一单元测试）下列命题正确的是（

）A．过两条直线有且只有一个平面B．过一点和一条直线有且只有一个平面C．过梯形两腰所在直线有且只有一个平面D．过三点有且只有一个平面【答案】C【分析】根据点线、线线位置关系，结合平面的相关性质判断各项的正误即可.【详解】A：若两条直线异面，不存在过这两条直线的平面，错误；B：若点在直线上，过该点和直线的平面有无数个，错误；C：由梯形各线段都在一个平面上，故其两腰所在直线有且只有一个平面，正确；D：若三点共线，则有无数个平面，错误.故选：C29．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的个数为（

）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角；④四边相等且四个角也相等的四边形是正方形．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据题意，由等腰三角形两腰相等即可判断①，由异面直线的定义即可判断②③，由空间四边形即可判断④.【详解】①等腰三角形两腰所在的直线与底边所在的直线成等角，但这两条直线不平行，故①错误；②由异面直线所成角的定义可知，平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变，故②正确；③由异面直线所成角的定义可知，过空间四边形的顶点引的平行线段，则或其补角是异面直线与所成的角，故③错误；④四边相等且四个角也相等的四边形可能是空间四边形，故④错误.综上可知，正确的命题只有一个.故选:B30．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确命题的个数是（

）①四边相等的四边形为菱形；②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据空间四边形可判断①②错误，有平面的基本性质可判断③④正确.【详解】由空间四边形可判断①②错误.“平面不经过直线”即直线与平面相交或者平行，所以③正确.由平面的基本性质，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可判断④正确.故选：B31．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面．【答案】证明见解析【分析】连接EF，BD，，证明即可【详解】如图，连接EF，BD，．∵EF是的中位线，∴．∵与平行且相等，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴E，F，D，B四点共面．32．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）边长为1的正方体中，E为的中点.(1)求异面直线BE和所成角的正切值.(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由线线平行说明异面直线BE和所成角为，则可求正切值；（2）利用等体积转化.【详解】（1）正方体中，，∴异面直线BE和所成角为，∵E为的中点，∴；（2）.【高分突破】一、单选题33．（2023·高一单元测试）以下四个图中，表示直线与平行的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据两直线的位置关系的定义结合图形一一判断求解.【详解】对A，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故A错误；对B，根据图示，直线与异面，B错误；对C，根据三角形的相似关系可得直线与平行，C正确；对D，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故D错误；故选:C.34．（2023·高一单元测试）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立．【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.故选：A.35．（2023·高一单元测试）已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长交圆于，连接，取的中点，连接，分析可知为与所成的角，利用余弦定理可求得，然后利用余弦定理可求得的余弦值，即为所求.【详解】如图，延长交圆于，连接，取的中点，连接，则，则为与所成的角，不妨设圆的半径为，则，，因为为、的中点，则四边形为平行四边形，，，则，在中，，由余弦定理可得，所以，．故选：A．36．（2023春·全国·高一专题练习）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算．【详解】连接，在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角，由已知，，，由余弦定理得，，，∴．故选：B．37．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（）①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答.【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，因此，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误；因，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误，所以说法正确的命题序号是①④．故选：B38．（2023·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，即可得到，则或其补角是异面直线与所成的角，求出，，，再利用余弦定理计算可得.【详解】解：如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而,又因为是的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.设，则，从而，，故,故异面直线与所成角的余弦值是.故选：C二、多选题39．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（

）A．点A B．点BC．点C D．点D【答案】CD【分析】根据平面的基本性质判断.【详解】因为，所以点A在与的交线上，点B在与的交线上，点C在与的交线上，点D在与的交线上，故选：CD40．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列选项中，正确是（）A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行【答案】BC【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.【详解】解：对于A，如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故A不正确；对于B，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行，故B正确；对于C，如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行，故C正确；对于D，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或者相交，故D不正确.故选：BC.41．（2023春·全国·高一专题练习）已知直线l与平面相交于点P，则（

）A．内必有直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直C．内有无数条直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面【答案】BCD【分析】利用线线，线面的位置关系逐项分析即得.【详解】直线与平面相交于点，则直线与平面相交，所以内不存在直线与平行，故A错误；如图，平面内与在平面内射影PO垂直的直线，平面内与平行的直线都与垂直，有无数条，故B正确；如图，由B得，与在平面内射影PO垂直的直线，平面内与平行的直线都与是异面直线，这样的直线有无数条，故C正确；如图，取直线上除斜足外一点A，过该点作平面的垂线AO，则平面POA就垂直于平面，故D正确.故选：BCD.42．（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】CD【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，，则可能异面，A选项错误.B选项，若，，则可能相交，B选项错误.C选项，若，，则（线面垂直的性质定理），C选项正确.D选项，若，，则（垂直于同一条直线的两个平面平行），D选项正确.故选：CD43．（2022·高一单元测试）已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，且，则【答案】ACD【分析】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可.【详解】解：对于A，若，则或m与n异面，故A错误；对于B，若，过m作平面，则，又，则，可得，故B正确；对于C，若，则或，故C错误；对于D，若，且，则与相交，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．故选：ACD．44．（2023·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（

）A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上D．任意两条直线不能确定一个平面【答案】ABC【分析】由基本事实可判断选项A，B和选项C；由两条直线平行或相交，可以确定一个平面，判断出选项D．【详解】由基本事实可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A正确；选项B正确；选项C符合基本事实，因此选项C正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误．故选：ABC三、填空题45．（2023·高一课前预习）若点,则平面与平面α的位置关系是________．【答案】相交【分析】根据题意，由空间中点线面的位置关系判断即可得到结果.【详解】∵点，即平面与平面有公共点，且不重合，∴平面与平面的位置关系是相交．故