平面向量的线性运算教案

中小学课外辅导专家PAGE海伊教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：学员姓名：张鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师课题平面向量的线性运算授课时间：2013年10月18日备课时间：2013年10月16日教学目标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。5.学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。重点、难点1.向量加法的运算及其几何意义。2.对向量加法法则定义的理解。3.向量的减法运算及其几何意义。4.对向量减法定义的理解。5.实数与向量积的意义。6.实数与向量积的运算律。7.两个向量共线的等价条件及其运用。8.对向量共线的等价条件的理解运用。授课方法联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高教学过程情景设置（知识导入）二、探索研究【知识点总结与归纳】一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。二、1.向量的加法定义向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如图4，以同一点O为起点的两个已知向量A.b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。3.向量a，b的加法也满足交换律和结合律：①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。图22.三角形法则如图2，已知A.b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。五、我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。由(1)可知，λ=0时，λa=0。根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量A.b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b课堂练习例1化简：(1)+(2)++(3)++++解：(1)+=+=(2)++=++=(+)+=+=0(3)++++FA=++++=+++=++=+=0解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。例2若=a+b，=a-b①当A.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？②当A.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？③当A.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线。由平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b。由此问题就可转换为：①当边AB.AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB.AD满足什么条件时，对角线相等？(A.b互相垂直)③当边AB.AD满足什么条件时，对角线平分内角？(A.b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。。课后作业1.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=c，=b，则|a+b+c|为()。A.0B.3C.D.22.设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为……()。①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|＜|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|。A.①②B.①③C.①③⑤D.③④⑤3.下列等式中，正确的个数是()。①a+b=b+a②a-b=b③0-a=-a④-(-a)=a⑤a+(-a)=0A.5B.4C.3D.24.如图7，D.E、F分别是△ABC的边、、的中点，则-等于()。A.B.C.D.5.下列式子中不能化简为的是()。A.(+)+B.(+)+(+)C.D.-+6.已知A.B.C三点不共线，O是△ABC内一点，若++=0，则O是△ABC的()。A.重心B.垂心C.内心D.外心7.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于()。A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b8.设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为()。A.1B.-1C.±1D.09.若向量方2x-3(x-2a)=0，则向量x等于()。A.aB.-6aC.6aD.a10.设向量a，b都不是零向量：(1)若向量a与b同向，则a+b与a的方向_________，且|a+b|_________|a|+|b|；(2)若向量a与b反向，且|a|＞|b|，则a+b与a的方向__________，且|a+b|_________|a|-|b|。11.如图17所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1设=a，=b，=c，则=________。(用A.B.c表示)12.在△ABC=，EF∥BC，EF交AC于F，设=a，=b，则用A.b表示的形式是=________。13.在△ABC，M、N、P分别是AB.BC.CA边上的靠近A.B.C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若+=e1-e2，则=________。14.某人在静水中游泳，速度为4km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为4km/h，则他实际以多大的速度沿何方向游?15.在中心为O的正八边形A1A2…A8中，a0=，ai=(i=1，2，…，7)，bj=j(j=1，2，…，8)，试化简a2+a5+b2+b5+b716.已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，AD⊥BC于D，求证：||2=|+|2+|+|217.已知两向量a和b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直。18.已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，=a，=b，=c，求证：=(a+b+c)19.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法：解：∵a=-2e，b=-2e，∴b=-a。∴a与b共线。请根据本节所学的共线知识给以评析如果解法有误，请给出正确解法。答案：1.D2.C3.C4.D5.C6.A7.B8.C9.C10.(1)相同=(2)相同=11.a+b+c12.-a+b13.e1-e214.如图18所示，设此人在静水中的游泳速度为，水流速度为，则=+为此人的实际速度，易求得||=8km/h，∠COA=60°。答：此人沿与河岸的夹角为60°顺着水流的方向前进，速度大小为8km/h。15.如图19所示，∵+=0，∴a2+a5+b2+b5+b7=++2+5+7=(2+)+(5+)+7=6=b6。16.如图20所示，以DB.DA为邻边作ADBE，于是+=。∵||=||，∴|+|=||。同理可得|+|=||。在Rt△ABC中，由勾股定理，得||2=|+|2+|+|2。17.证明：(1)充分性：设=a，=b，使⊥，以OA.OB为邻边作矩形OBCA，则|a+b|=||，|a-b|=||。∵四边形OBCA为矩形，∴||=||，故|a+b|=|a-b|。(2)必要性：设=a，=b，以OA.OB为邻边作平行四边形，则|a+b|=||，|a-b|=||。∵|a+b|=|a-b|，∴||=||。∴OBCA为矩形。∴a的方向与b的方向垂直。18.连接AG并延长，设AG交于M。∵=b-a，=c-a，=c-b∴=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a)∴==(c+b-2a)∴=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c)19.评析：乍看上述解答，真是简单明快。然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为，原题已知中，对向量e并无任何限制，那么就应允许e=0，而当e=0时，显然，a=0，b=0，此时，a不符合定理中的条件，