一电磁场复习大纲与电磁波l4 stu

边值问题的类 唯一性定 镜像 分离变量 泊松方程和拉普拉斯 E泊松方程和拉普拉斯 EDDDdSVEDEV无源22 EJJcE()JcE2 HBBBABHJA(A)2AJA库仑2Ac2AxJ分2 2AxJ分2 yy2AzJJc入标量磁位m来表示磁场强度。即HmHH标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。2m2A2Ac4.1.2边值问题的实4.1.2边值问题的实域)，同时在场域的边界上位函数还满足一定的边界条件。 边值问题的 边值问题的第一类边值问题(狄里赫利问题)：给定边界S上的各点位函数值Si1,第二类边值问题(纽曼问题)：给定边界S上各点的位函数的法向导数pSi1,i第三类边值问题(混合边值问题)：给定一部分边界1上每一点的电Si1,2...kik1,pSi自然边界条件：无限远处的边界条件lim自然边界条件：无限远处的边界条件limrlimrr不同媒质分界面上的边界如静电场中两媒质分界面上的边112S唯一性定理表述为：在场域V的边界面S的 格林恒dV唯一性定理表述为：在场域V的边界面S的 格林恒dVdV VVVdS dV SVVdV dSSVVdS22S n dSdV2 满足Possion或Laplace方程和给定的边界条件的解是 唯一性定理的证设存在两个（反证法01令21满足满足Possion或Laplace方程和给定的边界条件的解是 唯一性定理的证设存在两个（反证法01令21满足20122dV dSdS200000000对于第一类边界条SSS0000C0S对于第二类边界条00CSSS00对于第三类边界条SSS111000对于第三类边界条SSS111000C012唯一性定理的意义 唯一性定理指出了静态边值场问题具有唯一解的条件，在边界面上的任一点只需给定的值，而不能同时给定两2.根据唯一性定理，在求解边值问题时，无论采用什么方法，只要镜像法的思想：它在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一些虚设的电荷（镜像电荷）等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。把原来的边值问题的求解转换为均匀无界空间中的问镜像法的思想：它在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一些虚设的电荷（镜像电荷）等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。把原来的边值问题的求解转换为均匀无界空间中的问.镜像法是应用唯一性定理来求解边值问题的一种方法。只要虚设电荷与场域内原有的实际电荷一起所产生的电场满足原有问题所给定的边应注意的问镜像电荷位于待求场域边界之外实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。 无限大导体平面的镜 q边界条件：0导体 无限大导体平面的镜 q边界条件：0导体平空间的电位为点电q(0,0,h)和镜像zp–q(0,0,-h)所产生的电位叠加， 1qr2d0导体o导体平面边xd电位满足边 电位1/1/y2(zd)2y2(zd)2上半空间的电场强度： 电位1/1/y2(zd)2y2(zd)2上半空间的电场强度：EqxxEx3/2yxy22 0qyyE3/2yyxy22 0zqEz0x2y2(zd)3/2DESn 2π(x2d2)3/DESn 2π(x2d2)3/ 2π(x2d2)3/2dxdyd0 yyP(x,y,llhhr200xoxh将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对 yyP(x,y,llhhr200xoxh将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为lln待求场域y中的上半空间的2πrr00由两个半无限大接地导体平面形由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角,nn为整数时，该角域中的点电荷将有2n-1的场可以用镜像法求解当n=2时该角域外有3个镜像电荷1，位置如图所示。q3q1q2当n=3时角域外有5个镜像电荷，大当n=3时角域外有5个镜像电荷，大qqq33q(2mπ),m1,2,,(n)n及(2πn不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再(1)求z轴上电位为104V解根据镜像法可知上半空间的电q11x,y,zy2zy2z 00,z(1)求z轴上电位为104V解根据镜像法可知上半空间的电q11x,y,zy2zy2z 00,z可解得：z40zz1当z>1，z轴上的电场 E0,0, 4a101zz22011当z<1，z轴上的电场强11E0,0, 4aa100.452zz220(z=0=3求该导体0解：根据镜像法，去掉导体平板，在z=-3m处放置线电荷度为ρl=-30nC/m的镜像线电荷。点P的电场强度为：E 23 Ezalxzy(z=0=3求该导体0解：根据镜像法，去掉导体平板，在z=-3m处放置线电荷度为ρl=-30nC/m的镜像线电荷。点P的电场强度为：E 23 Ezalxzy 0 23lP(2,5, l E22R2222ox3010920 EEE点P的感应电荷密aE2n2.2Szz行,距墙和地平面分别为1和d，且1a，da。设墙解：根据镜像法，其镜像线电荷分布如图所示。原点电位为0123y行,距墙和地平面分别为1和d，且1a，da。设墙解：根据镜像法，其镜像线电荷分布如图所示。原点电位为0123yaln ln ln 2d2212122dd ln 1 xoa12故导线与地面之间单位长度的电Cl342ln2ddlnd11 电介质平面 电介质平面当待求区域为介质1所在区域时介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：qq4π4π1R11qp 当待求区域为介质2所在区域时与q重合，同当待求区域为介质2所在区域时与q重合，同时将整个空间视为均匀介qqqqR22在分界面(RR′R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的1qqq1qqqqqqqqqpR电介质中的电场分qqq电介质中的电场分qqqqqqq 磁介质平面的镜像法线电流对无限大磁介质平 磁介质平面的镜像法线电流对无限大磁介质平当计算上半空间的可认为整个空间充满磁导率为1空间有一镜像电流I′，与I关于分界面对称(如图所I2πrIH1当计算下半空间磁电流I″，与电流I位置重合(如图)当计算下半空间磁电流I″，与电流I位置重合(如图)。下半空间任一点的磁场为IIH22πra在分界面(r=r′=r″)上，磁场满足边界条1cos1I sinI sinII(IIsinH2II212分离变量法分离变量法应注意的问 直角坐标系中分离变x,y,2220x,y,zXxYyZz本征1ZzdX2x 直角坐标系中分离变x,y,2220x,y,zXxYyZz本征1ZzdX2xdY2ydZ2z1X1Yy02xkXx2本征xdY2yk 22220yxyzkx，ky，kz为分离常数dZ2z本征k 20z如果kx为实数kxAcoskxAsinkxAej jxA如果kx为实数kxAcoskxAsinkxAej jxAx121x2x如果kx为虚数kxjBchxBshx kxxBkBxx121x2x如果kx为XxC1xYy，Zz的解类似通解xXxYyZz再根据边界条件确定分离常数和分离变量分离变量法求解的步两块直角形导体板沿x方向和z方向都是无限长图所示，下板电位为0，上板电位为φ0y解：这是一个二维电场φ(x,y)的问题将此场分解为两个场的叠加，如下图所示。yx场(a)中为均匀电y(a0两块直角形导体板沿x方向和z方向都是无限长图所示，下板电位为0，上板电位为φ0y解：这是一个二维电场φ(x,y)的问题将此场分解为两个场的叠加，如下图所示。yx场(a)中为均匀电y(a0aya0，y1 02a2 x场中边界条件ay0，y20a2ya21叠加后的边界条件2ay 02x和原来的边界条件相同，所以现在只需求解aaa2x,yX(x)Y(2x,00和2xa为满，Y(y)必为正弦又因为x时，20，X(x)为eaxxn1,k20k2a2axyxxyxyan2x,yX(x)Y(2x,00和2xa为满，Y(y)必为正