同济大学高等教育数学第六版第五章课后习题答案解析包括5.1,5.2,5.3,5.4,总习题五

./习题5-11利用定积分定义计算由抛物线yx21两直线xa、xb<ba>及横轴所围成的图形的面积解第一步在区间[ab]内插入n1个分点<i12n1>把区间[ab]分成n个长度相等的小区间各个小区间的长度为<i12n>第二步在第i个小区间[xi1xi]<i12n>上取右端点作和第三步令max{x1x2xn}取极限得所求面积2利用定积分定义计算下列积分<1><ab>解取分点为<i12n1>则<i12n>在第i个小区间上取右端点<i12n>于是<2>解取分点为<i12n1>则<i12n>在第i个小区间上取右端点<i12n>于是3利用定积分的几何意义说明下列等式<1>解表示由直线y2x、x轴及直线x1所围成的面积显然面积为1<2>解表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积即圆x2y21的面积的<3>解由于ysinx为奇函数在关于原点的对称区间[]上与x轴所夹的面积的代数和为零即<4>解表示由曲线ycosx与x轴上一段所围成的图形的面积因为cosx为偶函数所以此图形关于y轴对称因此图形面积的一半为即4水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力已知闸门上水的压强p<单位面积上的压力大小>是水深h的函数且有p98h<kN/m2>若闸门高H3m宽L2m求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P解建立坐标系如图用分点<i12n1>将区间[0H]分为n分个小区间各小区间的长为<i12n>在第i个小区间[xi1xi]上闸门相应部分所受的水压力近似为Pi98xiLxi闸门所受的水压力为将L2H3代入上式得P882<千牛>5证明定积分性质<1>证明<2>证明6估计下列各积分的值<1>解因为当1x4时2x2117所以即<2>解因为当时11sin2x2所以即<3>解先求函数f<x>xarctanx在区间上的最大值M与最小值m因为当时f<x>0所以函数f<x>xarctanx在区间上单调增加于是因此即<4>解先求函数在区间[02]上的最大值M与最小值m驻点为比较f<0>1f<2>e2得Me2于是即7设f<x>及g<x>在[ab]上连续证明<1>若在[ab]上f<x>0且则在[ab]上f<x>0证明假如则必有f<x>0根据f<x>在[ab]上的连续性在[ab]上存在一点x0使f<x0>0且f<x0>为f<x>在[ab]上的最大值再由连续性存在[cd][ab]且x0[cd]使当x[cd]时于是这与条件相矛盾因此在[ab]上f<x>0<2>若在[ab]上f<x>0且则证明证法一因为f<x>在[ab]上连续所以在[ab]上存在一点x0使f<x0>0且f<x0>为f<x>在[ab]上的最大值再由连续性存在[cd][ab]且x0[cd]使当x[cd]时于是证法二因为f<x>0所以假如不成立则只有根据结论<1>f<x>0矛盾因此<3>若在[ab]上f<x>g<x>且则在[ab]上f<x>g<x>证明令F<x>g<x>f<x>则在[ab]上F<x>0且由结论<1>在[ab]上F<x>0即f<x>g<x>4根据定积分的性质及第7题的结论说明下列积分哪一个的值较大<1>还是？解因为当0x1时x2x3所以又当0x1时x2x3所以<2>还是？解因为当1x2时x2x3所以又因为当1x2时x2x3所以<3>还是？解因为当1x2时0lnx1lnx<lnx>2所以又因为当1x2时0lnx1lnx<lnx>2所以<4>还是？解因为当0x1时xln<1x>所以又因为当0x1时xln<1x>所以<5>还是？解设f<x>ex1x则当0x1时f<x>ex10f<x>ex1x是单调增加的因此当0x1时f<x>f<0>0即ex1x所以又因为当0x1时ex1x所以习题521试求函数当x0及时的导数解当x0时ysin00当时2求由参数表示式所给定的函数y对x的导数解x<t>sinty<t>cost3求由所决定的隐函数y对x的导数解方程两对x求导得于是4当x为何值时函数有极值？解令I<x>0得x0因为当x0时I<x>0当x0时I<x>0所以x0是函数I<x>的极小值点5计算下列各导数<1>解<2>解<3>解6计算下列各定积分<1>解<2>解<3>解<4>解<5>解<6>解<7>解<8>解<9>解<10>解<11>解coscos0cos2cos4<12>其中解7设k为正整数试证下列各题<1>证明<2>证明<3>证明<4>证明8设k及l为正整数且kl试证下列各题<1>证明<2>证明<3>证明9求下列极限<1>解<2>解10设求在[02]上的表达式并讨论<x>在<02>内的连续性解当0x1时当1x2时因此因为所以<x>在x1处连续从而在<02>内连续11设求在<>内的表达式解当x0时当0x时当x时因此12设f<x>在[ab]上连续在<ab>内可导且f<x>0证明在<ab>内有F<x>0证明根据积分中值定理存在[ax]使于是有由f<x>0可知f<x>在[ab]上是单调减少的而ax所以f<x>f<>0又在<ab>内xa0所以在<ab>内习题531计算下列定积分<1>解<2>解<3>解<4>解<5>解<6>解<7>解<8>解<9>解<10>解<11>解<12>解<13>解<14>解<15>解<16>解<17>解<18>解<19>解<20>解2利用函数的奇偶性计算下列积分<1>解因为x4sinx在区间[]上是奇函数所以<2>解<3>解<4>解因为函数是奇函数所以3证明其中<u>为连续函数证明因为被积函数<x2>是x的偶函数且积分区间[aa]关于原点对称所以有4设f<x>在[bb]上连续证明证明令xt则dxdt当xb时tb当xb时tb于是而所以5设f<x>在[ab]上连续证明证明令xabt则dxdt当xa时tb当xb时ta于是而所以6证明证明令则当xx时当x1时t1于是而所以7证明证明令1xt则即8证明证明而所以9设f<x>是以l为周期的连续函数证明的值与a无关证明已知f<xl>f<x>而所以因此的值与a无关10若f<t>是连续函数且为奇函数证明是偶函数若f<t>是连续函数且为偶函数证明是奇函数证明设若f<t>是连续函数且为奇函数则f<t>f<t>从而即是偶函数若f<t>是连续函数且为偶函数则f<t>f<t>从而即是奇函数11计算下列定积分<1>解<2>解<3><为常数>解<4>解<5>解<6>解<7>解所以<8>解<9>解<10>解法一因为所以因此解法二故<11>解<12><m为自然数>解根据递推公式<13><m为自然数>解因为所以<用第8题结果>根据递推公式习题541判别下列各反常积分的收敛性如果收敛计算反常积分的值<1>解因为所以反常积分收敛且<2>解因为所以反常积分发散<3><a0>解因为所以反常积分收敛且<4><p1>解因为所以反常积分收敛且<5><p00>解所以<6>解<7>解这是无界函数的反常积分x1是被积函数的瑕点<8>解这是无界函数的反常积分x1是被积函数的瑕点因为而所以反常积分发散<9>解这是无界函数的反常积分x1是被积函数的瑕点<10>解这是无界函数的反常积分xe是被积函数的瑕点2当k为何值时反常积分收敛?当k为何值时这反常积分发散?又当k为何值时这反常积分取得最小值?解当k1时当k1时当k1时因此当k1时反常积分收敛当k1时反常积分发散当k1时令则令f<k>0得唯一驻点因为当时f<k>0当时f<k>0所以为极小值点同时也是最小值点即当时这反常积分取得最小值3利用递推公式计算反常积分解因为所以Inn<n1><n2>2I1又因为所以Inn<n1><n2>2I1n!总习题五1填空<1>函数f<x>在[ab]上<常义>有界是f<x>在[ab]上可积的______条件而f<x>在[ab]上连续是f<x>在[ab]上可积______的条件解函数f<x>在[ab]上<常义>有界是f<x>在[ab]上可积的___必要___条件而f<x>在[ab]上连续是f<x>在[ab]上可积___充分___的条件<2>对[a+>上非负、连续的函数f<x>它的变上限积分在[a+>上有界是反常积分收敛的______条件解对[a+>上非负、连续的函数f<x>它的变上限积分在[a+>上有界是反常积分收敛的___充分___条件<3>绝对收敛的反常积分一定______解绝对收敛的反常积分一定___收敛___<4>函数f<x>在[ab]上有定义且|f<x>|在[ab]上可积此时积分______存在解函数f<x>在[ab]上有定义且|f<x>|在[ab]上可积此时积分___不一定___存在2计算下列极限<1>解<2><p0>解<3>解<4>其中f<x>连续解法一<用的是积分中值定理>解法二<用的是洛必达法则><5>解3下列计算是否正确试说明理由<1>解计算不正确因为在[11]上不连续<2>因为所以解计算不正确因为在11]上不连续<3>解不正确因为4设p0证明证明因为而所以5设f<x>、g<x>在区间[ab]上均连续证明<1>证明因为[f<x>g<x>]20所以2g2<x>2f<x>g<x>f2<x>0从而上式的左端可视为关于的二次三项式因为此二次三项式大于等于0所以其判别式小于等于0即亦即<2>证明又所以6设f<x>在区间[ab]上连续且f<x>0证明证明已知有不等式在此不等式中取则有即7计算下列积分<1>解<2>解令则所以<3>解令xasint则又令则所以<4>解<5>解8设f<x>为连续函数证明证明9设f<x>在区间[ab]上连续且f<x>0x[ab]证明<1>F<x>2<2>方程F<x>0在区间<ab>内有且仅有一个根证明<1><2>因为f<x>0ab所以由介值定理知F<x>0在<ab>内有根又F<x>2所以在<ab>内仅有一个