第十章-曲线积分与曲面积分

PAGEPAGE88第页第十章曲线积分与曲面积分一、本章教学目标：1.使学生掌握对弧长的曲线积分定义和对弧长的曲线积分的计算方法；2.使学生掌握对坐标的曲线积分的概念和性质、对坐标的曲线积分的计算方法；3.使学生掌握格林公式及其应用；4.使学生掌握对面积的曲面积分的概念与性质、对面积的曲面积分的计算法方法；5.使学生掌握对坐标的曲面积分的概念与性质、对坐标的曲面积分的计算法方法；6.使学生掌握高斯公式及其应用；7.使学生掌握斯托克斯公式及其应用。二、本章基本要求：1.使学生掌握对弧长和对坐标的曲线积分的计算方法；2.使学生掌握对面积和对坐标的曲面积分的计算方法；3.使学生掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。三、本章各节的教学内容：§1对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分定义；对弧长的曲线积分的计算方法。§2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的概念和性质；对坐标的曲线积分的计算方法；两类曲线积分之间的联系。§3格林公式及其应用格林公式；平面上曲线积分与路径无关的条件；二元函数的全微分求积。§4对面积的曲面积分对面积的曲面积分的概念与性质；对面积的曲面积分的计算方法。§5对坐标的曲面积分双侧曲面和有向曲面的投影区域；对坐标的曲面积分的概念与性质；对坐标的曲面积分的计算方法；两类曲面积分之间的联系§6高斯公式、通量与散度高斯公式；高斯公式应用。§7斯托克斯公式、环流量与旋度斯托克斯公式；斯托克斯公式应用。四、本章教学重点：1.对弧长和对坐标的曲线积分的计算方法；2.对面积和对坐标的曲面积分的计算方法；3.高斯公式和斯托克斯公式及其应用。五、本章教学内容的深化和拓宽：深化对积分计算方法及其应用六、本章教学方式：板书七、本章教学过程中应注意的问题：1.对面积和对坐标的曲面积分的计算方法；2.高斯公式和斯托克斯公式及其应用。八、本章主要参考书目：同济版：高等数学§10-1对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的概念，由曲线形构件的质量引进对弧长的曲线积分：一、定义设为平面内的一段光滑曲线弧，函数在上有界，在上任意插入一点列，把分成个小段，设第小段的长度为，点为该小段上任意取定的一点。作乘积，并作和。如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限存在，则称此极限为函数在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，作，其中叫做被积函数，叫做积分弧段。二、对弧长的曲线积分的计算方法：定理设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中和在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且。该公式表示，计算对弧长的曲线积分时，只要把分别换成，然后从到作定积分就行了。注意：定积分的下限一定要小于上限。上述曲线积分的计算公式可推广到空间曲线弧由参数方程：给出的情形，这就有。§10-2对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念和性质：由变力沿曲线所作的功引进下面的定义：定义设为平面上从点到点的一条有向光滑曲线弧，函数和在上有界。在上沿的方向任意插入一点列…，，把曲线弧分成有向小弧段，设，，点为上任意取定的点，如果各小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向弧段上对坐标的曲线积分，记作。根据上述曲线积分的定义，可以导出对坐标的曲线积分的一些性质，如：如果把分成和，则，此公式可推广到组成的情形。设是有向曲线弧，是与方向相反的有向曲线弧，则；二、对坐标的曲线积分的计算方法：定理设和在有向弧段上有定义且连续，的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从点沿运动到终点，,在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且。三、两类曲线积分之间的联系：设有向曲线弧以为起点，为终点，由参数方程为给出，端点与分别对应参数和。函数,在以和为端点的闭区间上具有连续导数，且，又函数、在上连续，于是，由对坐标的曲线积分计算公式有：。又有向曲线弧的切向量，其方向余弦为：，于是由对弧长的曲线积分的计算公式有：＝由此可见，两类曲线积分有如下关系：，其中，为有向曲线弧上点处的切向量的方向角。类似地，空间曲线上的两类曲线积分之间有如下联系：，其中，，为有向曲线弧上点处的切向量的方向角。§10-3格林公式及其应用一、格林公式：对平面区域的边界曲线，我们规定它的正方向如下：当观察者沿着这个方向行走时，内在他附近的那一部分总在他的左侧。定理1设闭区域是由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有其中是的取正向的边界曲线，该公式称为Green公式。一个简单应用。在Green公式中，取，则有。该公式左端是闭区域的面积的2倍，因此，有。二、平面上曲线积分与路径无关的条件：设是一个开区域，与在内具有一阶连续偏导数，如果对于内任意两点以及内从点到点的任意两条曲线，等式恒成立，就说曲线积分在内与路径无关，否则便说与路径有关。由此可得结论：曲线积分在内与路径无关相当于沿内任意闭曲线的曲线积分为零，即：。定理2设开区域是一单连通区域，函数、在内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在内与路径无关（或沿内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是恒成立。三、二元函数的全微分求积：定理3设开区域是一个单连通区域，函数、在内具有一阶连续偏导数，则在内是某一函数的全微分的充要条件是等式在内恒成立。§10-4对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质定义设曲面是光滑的，函数在上有界，把任意分成小块，同时也表示第小块曲面的面积，在上任取一点，作乘积，并作和，如果当各小块曲面的直径的最大值时，上述和式的极限存在，则称该极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分曲面。二、对面积的曲面积分的计算法设积分曲面的方程为，在面上的投影区域为，函数在上具有连续偏导数，被积函数在上连续，则这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的公式。在计算时，只要把变量换成，曲面的面积元素换成，再确定在面上的投影区域，这样就把对面积的曲面积分化为二重积分了。如果积分曲面的方程为，则如果积分曲面的方程为，则§10-5对坐标的曲面积分一、双侧曲面和有向曲面的投影区域假定曲面是光滑的。曲面有上侧、下侧之分；曲面有前侧、后侧之分；曲面有右侧、左侧之分；一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧、内侧之分。有向曲面的投影区域设为有向曲面，在上取一小块曲面，将投影到面上得一投影区域，此投影区域的面积记作，假定上各点处的法向量与轴的夹角的余弦有相同的符号。规定在面上的投影为实际上就是把在面上的投影区域的面积附以一定的正负号。二、对坐标的曲面积分的概念与性质定义设为光滑的有向曲面，函数在上有界，把任意分成块小曲面，同时也表示第块小曲面的面积，在面上的投影为，在上任取一点，如果当各小块曲面的直径的最大值时，极限总存在，则称该极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，记作，即其中称为被积函数，称为积分曲面。类似地可定义函数在有向曲面上对坐标的曲面积分为而函数在有向曲面上对坐标的曲面积分为以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。注意当、、在有向光滑曲面上连续时，对坐标的曲面积分是存在的，以后总假定、、在上连续。其性质性质1若是分片光滑的，如，则性质2设是有向曲面，表示与取相反侧的有向曲面，则注意关于对坐标的曲面积分，必须注意积分曲面所取的侧。三、对坐标的曲面积分的计算法条件为（1）是所给出曲面的上侧；（2）在面上的投影区域为；（3）在上具有一阶连续偏导数；（4）被积函数在上连续；结论是这就是把对坐标的曲面积分化为二重积分的公式。在计算时，只要把变量换成，然后在的投影区域上计算二重积分即可。注意公式中的曲面积分是取在曲面上侧的。若曲面积分取在的下侧，这时，则有四、两类曲面积分之间的联系设有向曲面由方程给出，在面上的投影区域为，函数在上具有一阶连续偏导数，在上连续，若取上侧，则有又由于上述有向曲面的法向量的方向余弦为，，于是由对面积的曲面积分的计算公式可知由此可见若取下侧，则有但这时，因此式仍成立。§10-6高斯公式通量与散度一、高斯公式高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有或这里是的整个边界曲面的外侧，、、是在点处的法向量的方向余弦。公式或称为高斯公式。二、高斯公式应用§10-7斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式斯托克斯（Stokes）公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间