数学模型课件

数学模型

第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型…~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.1.1

从现实对象到数学模型我们常见的模型你碰到过的数学模型——“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速为20km/h.甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤

作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速为20km/h）.数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模1.2

数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视.

在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地；

在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”.“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”.数学建模的重要意义数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼1.3

数学建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.

椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性.xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置.

四只脚着地距离是

的函数.四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f(

),g(

)是连续函数对任意

,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;

对任意，f(

)•g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法3）由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在

0(0<

0</2)

,使h(

0)=0,即

f(

0)=g(

0).1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD互换.由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.2）令h(

)=f(

)–g(

),则

h(0)>0和h(/2)<0.4）因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注和思考建模的关键：假设条件中哪些是本质的,哪些是非本质的?考察四脚连线呈长方形的椅子(习题4).用

表示椅子的位置椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？用

f(

),g(

)表示椅脚与地面的距离证明过程的粗糙之处：1.3.2

商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人

3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员.要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,…sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~过程的决策D~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,…sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律D={(u

,v)

u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变模型求解xy3322110

穷举法~编程上机

图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11给出安全渡河方案d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).模型构成商人和随从人数增加或小船容量加大;商人们怎样安全过河智力游戏多步决策过程(数学模型)易于推广:规格化方法考虑4名商人各带一随从的情况.多步决策模型:恰当地设置状态和决策,确定状态转移律及目标(目标函数).便于求解(计算机编程等).场景1.3.3如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱的成人用量是100~200mg/次，儿童是3~5mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100μg/ml浓度会出现严重中毒，200μg/ml浓度可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”

.药量x(t)药量y(t)血液系统对药物的吸收率(胃肠道到血液系统的转移率)和排除率可以由半衰期确定.半衰期可以从药品说明书上查到.通常，血液总量约为人体体重的7~8%，体重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.调查与分析血药浓度=药量/血液总量

口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.临床施救的办法：

体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.模型假设

1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比，比例系数λ(>0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.2.血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数μ(>0)，t=0时血液中无药物.3.氨茶碱被吸收的半衰期为5小时，排除的半衰期为6小时.4.孩子的血液总量为2000ml.胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ),总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t)成正比(比例系数μ),t=0时血液中无药物.模型求解

药物吸收的半衰期为5小时药物排除的半衰期为6小时只考虑血液对药物的排除血液总量2000ml血药浓度200μg/ml结果及分析胃肠道药量血液系统药量血药浓度100μg/mly(t)=200mg严重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3小时后将致命！y(2)=236.5施救方案

口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍.

孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)λ=0.1386(不变)，μ=0.1155*2=0.2310施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少应为0.4885.若采用体外血液透析，μ可增至0.1155*6=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.

数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律.将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究

(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析.二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.1.4

数学建模的方法和步骤

数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的“问题”模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.模型应用

数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题.选择适当的数学方法求得数学模型的解答.将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.用现实对象的信息检验得到的解答.实践现实世界数学世界理论实践1.5

数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态、…数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特性描述、优化、预报、决策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型.

亲自动手，认真作几个实际题目.参加全国大学生数学建模竞赛的意义和作用1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月)2010年33省/市/区(含港澳)的1195校17200队内容

赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题.

答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文.形式3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛.

可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论.宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性.全国大学生数学建模竞赛竞赛培养创新精神和综合素质

赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力.

解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力.

没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神.

综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力.

研究对象的机理比较简单

用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.初等模型2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失.假设热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数.建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量

T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.1

双层玻璃窗的功效双层单层dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数建模记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失.结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数k2极低,而这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.实际上双层窗的功效不会如此之大!2.2

划艇比赛的成绩赛艇2000m成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(m)(m)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

桨手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系.试建立数学模型揭示这种关系.问题准备调查赛艇的尺寸和质量l/b,w0/n

基本不变问题分析

前进阻力~浸没部分与水的摩擦力

前进动力~桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.

运用合适的物理定律建立模型.模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与sv2成正比符号：艇速v,浸没面积

s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,桨手数n,桨手功率

p,桨手体重

w,艇重W.艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比桨手的特征模型建立f

sv2,p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3,A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比赛成绩

t

n

–1/9npfv,模型检验n

t17.2126.8846.3285.84线性最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型

t

n

–1/9进行检验.tn12487.216.886.325.84••••与模型吻合！划艇比赛的成绩

对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.

利用物理基本知识分析问题.

模型假设比较粗糙.

利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度).

模型结果与实际数据十分吻合(巧合！)2.3

核军备竞赛

冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威慑战略”,核军备竞赛不断升级.

随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列核裁军协议.

在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态.

当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化.

估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响.背景与问题以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的核威慑战略：

认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；

己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定.模型假设图的模型y=f(x)~甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线)x=g(y)~乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线)当x=0时y=y0，y0~乙方的威慑值xyy00y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P~平衡点(双方最少导弹数)乙安全线分析模型乙方残存率

s~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，y–x个基地未被攻击.x<y甲方以x枚导弹攻击乙方y个基地中的x个,y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y个基地被攻击2次,s2(x–y)个未被摧毁;y–(x–y)=2y–x个被攻击1次,s(2y–x)个未被摧毁.y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威慑值s~残存率y=f(x)利用微积分知识可知y是一条上凸的曲线，且y0变大，曲线上移、变陡.s变大，y减小，曲线变平.xy0y0x<y,y=y0+(1-s)xx=yx=2yy<x<2y,

甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.乙方威慑值y0变大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.（其他因素不变）乙安全线y=f(x)上移模型解释平衡点P

P´

甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.乙安全线y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值x0不变x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.P

P´

双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.(x

,y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值x0,y0和残存率s均减小.y0减小

y下移且变平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s变小

y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.模型解释乙安全线y=f(x)

现实世界中普遍存在着优化问题.

建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数.

求解静态优化模型一般用微分法.

静态优化问题指最优解是数(不是函数).简单的优化模型(静态优化)3.1

存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费.该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.问题分析与思考

每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元.日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.

10天生产一次,每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元.

50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元.平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次,平均每天费用最小吗?每天费用5000元

这是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数——每天总费用的平均值.

周期短，产量小

周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小.4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求T使模型解释定性分析敏感性分析参数c1,c2,r的微小变化对T,Q的影响T对c1的(相对)敏感度c1增加1%,T增加0.5%S(T,c2)=-1/2,S(T,r)=-1/2c2或r增加1%,T减少0.5%经济批量订货公式（EOQ公式）

用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型模型应用T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答原问题c1=5000,

c2=1，r=100

每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2,T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.思考:为什么与前面计算的C=950元有差别?允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失.原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货).现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,

缺货需补足.T周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用一周期贮存费一周期缺货费每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T',Q记作Q'.允许缺货的存贮模型不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQ

rT1tT注意：缺货需补足Q

~每周期初的存贮量R每周期的生产量R

（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)存贮模型

存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础,也有实际应用.

建模中未考虑生产费用,为什么?在什么条件下可以不考虑(习题1)?

建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计),如果生产能力有限(大于需求量的常数),应作怎样的改动(习题2)?3.2

生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.问题市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售?如果估计和预测有误差，对结果有何影响?分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元.建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1=pw-4t敏感性分析研究r,g微小变化时对模型结果的影响.估计r=2，g=0.1

设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天增加的体重r变大1%，出售时间推迟3%.rt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g微小变化时对模型结果的影响.

设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%.gt强健性分析保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售.由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算.研究r,g不是常数时对模型结果的影响.w=80+rt

w=w(t)p=8-gt

p=p(t)若(10%),则（30%）每天收入的增值每天投入的资金利润3.3

森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.

救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小.

关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积dB/dt(森林烧毁的速度).模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0

t

t1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度).2）t1

t

t2,

降为

-x

(

为队员的平均灭火速度).4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3.假设1）的解释

rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比.面积B与t2成正比dB/dt与t成正比模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,

,

为已知参数模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

结果解释c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x3.4消费者的选择背景消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱，选择购买若干种需要的商品.根据经济学的一条最优化原理——“消费者追求最大效用”，用数学建模的方法帮助消费者决定他的选择.

假定只有甲乙两种商品供消费者购买，建立的模型可以推广到任意多种商品的情况.当消费者购得数量分别为x1,x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u(x1,x2)度量，称为效用函数.效用函数

利用等高线概念在x1,x2平面上画出函数u

的等值线,u(x1,x2)=c称为等效用线等效用线就是“实物交换模型”中的无差别曲线，效用就是那里的满意度.0x2u(x1,x2)=cx1c增加——一族单调减、下凸、互不相交的曲线.

效用最大化模型

p1,p2~甲乙两种商品的单价,y~消费者准备付出的钱

x1,x2~购得甲乙两种商品数量QABy/p2y/p1···x1x2几何分析x2u(x1,x2)=cx10c增加u(x1,x2)=c单调减、下凸、互不相交.在条件p1x1+p2x2=y下使效用函数u(x1,x2)最大.AB必与一条等效用线相切于Q点(消费点).Q(x1,x2)唯一消费线AB模型求解引入拉格朗日乘子λ构造函数与几何分析得到的Q一致等效用线u(x1,x2)=c的斜率

消费线AB的斜率结果解释效用函数的构造等效用线u(x1,x2)=c

所确定的函数x2(x1)单调减、下凸

解释条件中正负号的实际意义充分条件当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大.~边际效用——商品数量增加一个单位时效用的增量效用函数u(x1,x2)几种常用的形式

购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比,比例系数是参数α与β之比的平方根.

u(x1,x2)中参数

,分别度量甲乙两种商品对消费者的效用，或者消费者对甲乙两种商品的偏爱

.

购买两种商品费用之比只取决于λ,μ,与价格无关.

u(x1,x2)中

,

分别度量两种商品的效用或者偏爱.实际应用时根据对最优解的分析，决定采用哪种效用函数，并由经验数据确定其参数.效用函数u(x1,x2)几种常用的形式效用最大化模型应用举例

例1征销售税还是征收入税政府从消费者身上征税的两种办法:

销售税

~根据消费者购买若干种商品时花的钱征税

收入税

~根据消费者的收入征收所得税利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论征税前设甲乙两种商品的单价为p1,p2，消费者准备花的钱为y,等效用线为u(x1,x2)=c，消费点为Q(x1,x2).l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1,x2)=c0x2x1l

例1征销售税还是征收入税对甲商品征销售税,税率为p0

征税前的消费点Q

消费线AB1,B1在B的左边

AB1与l1相切于Q1(x1*,x2*)若改为征收入税

政府得到的销售税额p0x1*

征收的税额与销售税额p0x1*相同

消费线A2B2与l2相切于Q2,可证B2在B1的右边.

l2在l1上？l2在l1下？

如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1,对消费者来说征收入税比征销售税好.

例2

价格补贴给生产者还是消费者政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取的两种价格补贴办法：

把补贴款直接给生产者把补贴款发给消费者而让商品涨价

~鼓励商品生产,对消费者无影响让甲商品价格涨到p1+p0,

补贴消费者多花的钱p0x1*,使仍达到消费点Q

lQABu(x1,x2)=c0x1x2l΄Q΄A'B'x1'x2'补贴前的消费点Q

消费线过Q,与l'相切于Q'

的效用函数值大于Qx1'<x1*

,x2'>x2*

对消费者更有利对甲商品生产不利3.5生产者的决策背景根据经济学的又一条最优化原理——“生产者追求最大利润”，用数学建模的方法帮助生产者或供销商做出决策.生产者或供销商根据产品的成本和产值决定投入，按照商品的销售情况制订价格.在市场经济中“消费者追求最大效用”，生产者呢？最大利润模型x~产品产量f'(x)~边际产值——x变化一个单位时产值的改变量c'(x)~边际成本——x变化一个单位时成本的改变量最大利润在边际产值等于边际成本时达到.假定产品可以全部销售出去变成收入f(x)~产值(收入),c(x)~成本利润达到最大利润的产量x*在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格，使利润最大.

产量x等于销量，数量无限制.

收入与x成正比，系数p即价格.

成本与x成正比，系数c即边际成本.

销量x依于价格p,x(p)是减函数.简化假设求p使r(p)最大最优定价模型

利润c/2~成本的一半b~弹性系数——价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）a~绝对需求(

p很小时的需求)b

p*

a

p*

a,b可由p和x的统计数据作拟合得到~利润达到最大的定价利润最优定价模型

投资费用一定下的产值最大模型

x1,x2~甲乙产品的产量c1,c2~甲乙产品的单位成本s~总投资费用f(x1,x2)~产值函数

在条件下求x1,x2使产值f(x1,x2)

最大.

QABs/c2s/c1···x1x2x2f(x1,x2)=vx10v增加等产值线f(x1,x2)=v单调减、下凸、互不相交.几何分析投资线AB必与一条等产值线相切于Q点.与效用最大化模型类似下凸~稀缺产品的产值更高投资费用一定下的产值最大模型

最优解(x1,x2)满足

在条件下求x1,x2使产值f(x1,x2)

最大.

用拉格朗日乘子法求条件极值~边际产值当两种产品的边际产值之比等于它们的价格之比时，产值达到最大.产值最大与费用最小的对偶关系

x=(x1,x2)T,c=(c1,c2)投资费用一定的产值最大模型

g(s,c)~给定的单位成本c下费用不超过s的最大产值.产值一定的投资费用最小模型s(v,c)~给定的单位成本c下产值不低于v的最小费用.对偶极值问题只要解决其中之一,另一个就迎刃而解

成本函数是简单的线性函数c(x).

产值函数f(x)在实际生产过程中常常难以确定.——从成本函数确定产值函数的图解法产值最大与费用最小对偶关系的应用

Qf(x)≥vlAB0x1x2

给定v和c求得最小费用s(v,c)=s

画出直线AB:cx=sx=(x1,x2)T,c=(c1,c2)f(x)≥v的点在AB上方,且AB上有一点Q位于l:f(x)=v上

改变c重复上述过程,得到一系列不同斜率的直线

区域f(x)≥v在直线上方,其边界是等产值线l:f(x)=v

包络线

改变v重复上述过程,得到一系列等产值线3.6血管分支背景机体提供能量维持血液在血管中的流动.给血管壁以营养.克服血液流动的阻力.消耗能量与取决于血管的几何形状.在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则.研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度.问题模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面.血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动.血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度d近似与血管半径r成正比.qq1q1ABB´CHLll1rr1

q=2q1r/r1,

?考察血管AC与CB,CB´粘性流体在刚性管道中运动

p~A,C压力差，

~粘性系数克服阻力消耗能量E1提供营养消耗能量E2管壁内表面积2rl管壁体积

(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比模型假设qq1q1ABB´CHLll1rr1

模型建立qq1q1ABB´CHLll1rr1

克服阻力消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量模型求解qq1q1ABB´CHLll1rr1

数学规划模型

实际问题中的优化模型x~决策变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决策变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域的边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析链接:/s/1o7IkogM密码:kfxuLingo软件下载及相关资料企业生产计划4.1奶制品的生产与销售

空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划.时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划.本节课题例1加工奶制品的生产计划1桶牛奶

3公斤A1

12小时

8小时

4公斤A2

或获利24元/公斤获利16元/公斤50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1

制订生产计划，使每天获利最大35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?

可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？每天：问题1桶牛奶3公斤A1

12小时8小时4公斤A2

或获利24元/公斤获利16元/公斤x1桶牛奶生产A1

x2桶牛奶生产A2

获利24×3x1

获利16×4x2

原料供应

劳动时间

加工能力

决策变量

目标函数

每天获利约束条件非负约束

线性规划模型(LP)时间480小时至多加工100公斤A1

50桶牛奶每天基本模型模型分析与假设

比例性可加性连续性xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关xi取值连续A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工A1,A2的数量,时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工A1,A2的数量,时间是与相互产量无关的常数加工A1,A2的牛奶桶数是实数线性规划模型模型求解

图解法

x1x20ABCDl1l2l3l4l5约束条件目标函数

Z=0Z=2400Z=3600z=c(常数)~等值线c在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。模型求解

软件实现

LINGOmodel:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCost

X120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。结果解释

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000

MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

model:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end三种资源“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）原料无剩余时间无剩余加工能力剩余40结果解释

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量影子价格35元可买到1桶牛奶，要买吗?35<48,应该买！

聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?2元！原料增加1单位,利润增长48时间增加1单位,利润增长2加工能力增长不影响利润Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseMILK50.0000010.000006.666667TIME480.000053.3333380.00000CPCT100.0000INFINITY40.00000

最优解不变时目标函数系数允许变化范围敏感性分析

(“LINGO|Ranges”)

x1系数范围(64,96)

x2系数范围(48,72)

A1获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划?x1系数由243=72增加为303=90，在允许范围内不变！(约束条件不变)结果解释

Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseMILK50.0000010.000006.666667TIME480.000053.3333380.00000CPCT100.0000INFINITY40.00000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围原料最多增加10时间最多增加5335元可买到1桶牛奶,每天最多买多少?最多买10桶!(目标函数不变)充分条件!例2奶制品的生产销售计划

在例1基础上深加工1桶牛奶3公斤A1

12小时8小时4公斤A2

或获利24元/公斤获利16元/公斤0.8公斤B12小时,3元1公斤获利44元/公斤0.75公斤B22小时,3元1公斤获利32元/公斤制订生产计划，使每天净利润最大30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？50桶牛奶,480小时至多100公斤A1

B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？

每天销售10公斤A1的合同必须满足，对利润有什么影响？1桶牛奶3kgA1

12小时8小时4kgA2

或获利24元/kg

获利16元/kg

0.8kgB12小时,3元1kg获利44元/kg

0.75kgB22小时,3元1kg获利32元/kg

出售x1kgA1,

x2kgA2，

x3kgB1,x4kgB2原料供应

劳动时间

加工能力

决策变量

目标函数

利润约束条件非负约束

x5kgA1加工B1，x6kgA2加工B2附加约束

基本模型模型求解

软件实现

LINGO

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3460.800Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX10.0000001.680000X2168.00000.000000X319.200000.000000X40.0000000.000000X524.000000.000000X60.0000001.520000RowSlackorSurplusDualPrice13460.8001.000000MILK0.0000003.160000TIME0.0000003.260000CPCT76.000000.00000050.00000044.0000060.00000032.00000Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3460.800

Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX10.0000001.680000X2168.00000.000000X319.200000.000000X40.0000000.000000X524.000000.000000X60.0000001.520000RowSlackorSurplusDualPrice