4.5.1 函数的零点与方程的解（九大题型）（原卷版）

4.5.1函数的零点与方程的解【题型归纳目录】题型一：求函数的零点题型二：根据零点求函数解析式的参数题型三：零点存在性定理的应用题型四：根据零点所在区间求参数范围题型五：根据零点的个数求参数范围题型六：一次函数零点分布求参数范围题型七：二次函数零点分布求参数范围题型八：指对幂函数零点分布求参数范围题型九：函数与方程的综合应用【知识点梳理】知识点一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．【方法技巧与总结】1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4、判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．【典型例题】题型一：求函数的零点例1．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（

）A． B．C． D．例2．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点为（

）A． B．2 C． D．例3．（2023·全国·高一专题练习）若是二次函数的两个零点，则的值是（）A．3 B．15 C． D．变式1．（2023·高一单元测试）函数的零点为（

）A． B． C． D．无零点变式2．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）函数的零点为（

）A．0 B．1 C． D．【方法技巧与总结】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.题型二：根据零点求函数解析式的参数例4．（2023·江苏·高一假期作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（）A． B．C． D．例5．（2023·全国·高一专题练习）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12例6．（2023·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，变式3．（2023·高一课时练习）已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为（

）A． B． C．4 D．3变式4．（2023·高一课时练习）若实数，满足，，则（

）A． B．1 C． D．2题型三：零点存在性定理的应用例7．（2023·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（

）A． B． C． D．例8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（

）x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2个 B．3个C．4个 D．5个例9．（2023·全国·高一专题练习）方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．变式5．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．变式6．（2023·全国·高一专题练习）若是函数的零点，则属于区间（

）.A． B．C． D．【方法技巧与总结】解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．题型四：根据零点所在区间求参数范围例10．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例11．（2023·全国·高一专题练习）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．例12．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式7．（2023·高一单元测试）已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式8．（2023·辽宁鞍山·高一统考期末）已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（

）A．8 B．9 C．10 D．11题型五：根据零点的个数求参数范围例13．（2023·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为例14．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为．例15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是.变式9．（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是．变式10．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是．变式11．（2023·全国·高一专题练习）函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是.【方法技巧与总结】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．题型六：一次函数零点分布求参数范围例16．（2023·高一课时练习）若函数的表达式在内有零点，则实数的取值范围．例17．（2023·高一校考课时练习）若方程的根在内，则的取值范围是．例18．（2023·高一课时练习）若函数在上存在，使，则实数的取值范围是.变式12．（2023·浙江杭州·高一统考期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是.题型七：二次函数零点分布求参数范围例19．（2023·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为.例20．（2023·江苏扬州·高一江苏省高邮中学校联考阶段练习）设集合，，则实数的取值范围是.例21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是．变式13．（2023·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知点的坐标分别为，，若二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，则实数的取值范围是.变式14．（2023·江苏·高一假期作业）函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为．变式15．（2023·全国·高一专题练习）若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是.变式16．（2023·全国·高一假期作业）若方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是．题型八：指对幂函数零点分布求参数范围例22．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例23．（2023·天津·高一统考期末）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．例24．（2023·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．变式17．（2023·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考阶段练习）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式18．（2023·湖南岳阳·高一校考阶段练习）函数，若互不相同，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式19．（2023·吉林白城·高一校考期末）已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型九：函数与方程的综合应用例25．（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知函数为偶函数．(1)求实数的值；(2)若函数有大于0的零点，求实数的取值范围；(3)若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．例26．（2023·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知函数，R．(1)若为偶函数，求a的值；(2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．例27．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若函数，，求函数的最小值；(2)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.变式21．（2023·陕西西安·高一西安中学校考期中）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值，并判断函数的单调性（给出单调性即可，不要求证明）；(2)设关于的函数有零点，求实数的取值范围.变式22．（2023·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(3)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.变式23．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数，其中．(1)当时，求的零点；(2)当为偶函数时，①求的值；②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．变式24．（2023·山东泰安·高一统考期末）已知函数．(1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式；(2)若函数有且只有一个零点，求a的值；(3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【过关测试】一、单选题1．（2023·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）若二次函数在区间有且仅有一个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·北京·高一北京市陈经纶中学校考阶段练习）二次函数.的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，且，如图所示，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．4．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．5．（2023·上海·高一专题练习）如果关于的方程至少有一个正根，那么实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2023·浙江温州·高一苍南中学校考阶段练习）设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）方程在区间和各有一个根的充要条件是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）设函数则下列结论中正确的是（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数的零点是0,2 D．若，则m的取值范围是10．（2023·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（

）A． B． C． D．11．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，.下列说法正确的有（

）A．的零点在区间内 B．的零点在区间内C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.512．（2023·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）已知二次函数有两个零点，，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2023·江苏·高一专题练习）若函数有两个小于2的不同零