《二项式定理》完整版

1．“杨辉三角”的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………第一页，共二十六页。二项式系数的性质

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．第二页，共二十六页。二项式系数的性质2．二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：第三页，共二十六页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由于：所以相对于的增减情况由决定．

第四页，共二十六页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由：

二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

可知，当时，第五页，共二十六页。（3）各二项式系数的和

二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

第六页，共二十六页。

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：

（1）

（2）

（3）当时，

（4）

当时，第七页，共二十六页。第八页，共二十六页。杨辉三角课堂练习：1）已知，那么=

；2）的展开式中，二项式系数的最大值是

；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=

；第九页，共二十六页。第十页，共二十六页。例、若展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；第十一页，共二十六页。例5、(1)已知的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x的项。(2)已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。例4、已知展开式中第2项大于它的相邻两项，求x的范围。第十二页，共二十六页。第十三页，共二十六页。例1、计算：（1）（2）例2、求的展开式中的系数。例3、求展开式中的常数项。第十四页，共二十六页。3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________第十五页，共二十六页。5.求值：第十六页，共二十六页。

例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416第十七页，共二十六页。例2、在的展开式中，1）系数的绝对值最大的项是第几项？2）求二项式系数最大的项；3）求系数最大的项；4）求系数最小的项。练习：第十八页，共二十六页。第十九页，共二十六页。第二十页，共二十六页。例6、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则(1)a1+a2+a3+…+a7=_______(2)a1+a3+a5+a7=_________(3)a0+a2+a4+a6=_________赋值法练习:(5)若已知

(1+2x)200=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a200(x-1)200

求a1+a3+a5+a7+…+a199的值。第二十一页，共二十六页。第二十二页，共二十六页。第二十三页，共二十六页。

余数是1，所以是星期六例4、今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？第二十四页，共二十六页。例5、求精确到0.001的近似值。变式引申：填空1）除以7的余数是

；2）除以8的余数是

。第二十五页，共二十六页。内容总结1．“杨辉三角”的来历及规律。二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。数列，求（1）