《14.3.1 提公因式法》课件（3套）

14．3因式分解14．3.1提公因式法教学目标1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．2．了解公因式概念和提取公因式的方法．3．会用提取公因式法分解因式．重点会用提取公因式法分解因式．难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．重点和难点教学设计一、问题导入同学们，我们先来看下面两个问题：1．630能被哪些整除，说说你是怎样想的？2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a＝101，b＝99代入进行计算，但如果应用平方差公式应先把a2－b2变形成(a＋b)·(a－b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简捷．通过对上面两个问题的解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．二、探究新知1．教材第114页的“探究”．要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．2．提出因式分解的概念．利用教材中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的两种不同的变形，并强调它们的特点．下列由左到右的变形，是否是因式分解，为什么？(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(2)x2－4＝(x＋2)(x－2)；(3)x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x.[探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系，对因式分解的概念的建立很有必要．通过这次练习强化因式分解的概念]3．提公因式法研究多项式pa＋pb＋pc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．让学生体验：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的，你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？三、举例分析例1把8a3b2＋12ab3c分解因式．分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后依照教材进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．练习用提公因式法分解因式：(1)3mx－6nx2；(2)4a2b＋10ab－2ab3.例2把2a(b＋c)－3(b＋c)因式公解．分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察，从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b＋c，再用提公因式法进行分解．例3计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12.让学生观察并分析怎样计算更简单．思考：说说例1、例2和例3的公因式有什么不同？四、巩固练习1．完成教材第115页练习第1，2，3题．2．讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？五、小结提高1．举一个例子说说什么是因式分解．2．什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？3．说说提公因式法的一般步骤．(1)确定提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式．六、布置作业1．教材第119页习题14.3第1题．2．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什么？若不正确，请写出正确答案．①－25a2x2－20a3x2＝－5ax(5x－4ax)；②2a(x－y)3－3b(y－x)2＝(x－y)2[2a(x－y)＋3b]．在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程．此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习，得出结论．接着通过例题讲解，最后让学生自主完成练习题，老师当堂讲评．教学反思知识点1：因式分解的概念1．下列式子变形是因式分解的是(

)A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)知识点2：公因式的概念2．观察下列各组式子：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是(

)A．①②

B．②③

C．③④

D．①④3．多项式3a2b2－15a3b3－12a2b2c各项的公因式是________．BB3a2b2知识点3：用提公因式法分解因式4．下列多项式分解因式，正确的是(

)A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)5．分解因式：(1)

xy＋x＝__________；(2)

2mx－6my＝___________．Bx(y＋1)2m(x－3y)6．(例题变式)分解因式：(1)－7ab－14a2bx＋49ab2y；解：原式＝－7ab(1＋2ax－7by)(2)6x(a－b)＋4y(b－a)．解：原式＝2(a－b)(3x－2y)7．下列因式分解中错误的是(

)A．x3－3x2＋x＝x(x2－3x)B．(a－b)2－(b－a)＝(a－b)(a－b＋1)C．xn－xn＋1＝xn(1－x)D．2t－3t2＝t(2－3t)8．分解因式(a＋b)(a＋b－1)－a－b＋1的结果为______________.A(a＋b－1)29．分解因式：(1)3xmyn＋2＋xm－1yn＋1；解：原式＝xm－1yn＋1(3xy＋1)(2)(m－n)4＋m(m－n)3＋n(n－m)3.解：原式＝2(m－n)4方法技能：1．提公因式时，取多项式各项系数的最大公约数作为系数，取相同字母(或因式)的最低次幂作为字母因式．2．第一项若是负的可先提出负号，提出负号时各项要变号；当公因式与某一项相同时，提公因式后此项为1，注意不要漏项．易错提示：提公因式时忽视符号变化而出错．14.3因式分解14.3.1提公因式法1．了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．2．理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.整式的乘法计算下列各式:x(x+1)=(x+1)(x－1)=x2+xx2－1请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x=__________;(2)x2–1=__________.x(x+1)(x+1)(x-1)

上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.整式的乘法与因式分解有什么关系？x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是方向相反的变形.

由p(a+b+c)=pa+pb+pc可得:pa+pb+pc=p(a+b+c)这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p所得的商.

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

它的各项都有一个公共的因式p,我们把因式p叫做这个多项式各项的_______.pa+pb+pc

公因式【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公因式1.系数的最大公约数

42.找相同字母aｂ3.相同字母的最低指数a1b2

公因式为：4ab2【解析】8a3b2+12ab3c

=4ab2•2a2+4ab2•3bc

=4ab2(2a2+3bc).【例题】【解析】a（x－3）+2b（x－3）

=(x－3)(a+2b).【例2】把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因此可以把(x－3)作为公因式提出来.把下列各式分解因式:1.a（x－y）+b（y－x）;分析：虽然a（x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y)与(y－x）互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如：y－x=－（x－y）【解析】a（x－y）+b（y－x）

=a（x－y）－b（x－y）

=（x－y）（a－b）.【跟踪训练】【解析】6（m－n）3－12（n－m）2=6（m－n）3－12［－（m－n）］2=6（m－n）3－12（m－n）2=6（m－n）2（m－n－2）.2.6（m－n）3－12（n－m）21.填空请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=______（a－2）;（2）y－x=_____（x－y）;（3）b+a=______（a+b）;（4）（b－a）2=_____（a－b）2;（5）－m－n=_____（m+n）;（6）－s2+t2=_____（s2－t2）.--++--2.分解因式a2－a=

．【解析】

a2－a=a(a-1).答案：a(a-1)3.因式分解

【解析】用提公因式法因式分解：答案：2a(a-2)

4.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（2）4kx－8ky（3）5y3+20y2

（4）a2b－2ab2+abm4k5y2ab5.把下列各式分解因式（1）8x－72（2）a2b－5ab（3）4m3－6m2（4）a2b－5ab+9b（5）－a2+ab－ac=8（x－9）=ab（a－5）=2m2（2m－3）=b（a2－5a+9）=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）【解析】原式=（a+b－c)(a－b+c)－(b－a+c)(a－b+c)

=（a－b+c)［(a+b－c)－(b－a+c)］

=（a－b+c)(a+b－c－b+a－c）

=（a－b+c)(2a－2c）

=2（a－b+c)(a－c）.6.把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)(b－a－c)分解因式.1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.提公因式法2.分解因式的方法：注意符号变化

通过本课时的学习，需要我们掌握：14.3因式分解14.3.1提公因式法复习与回顾:整式的乘法计算下列各式:x(x+1)=；(x+1)(x－1)=.x2+xx2－1630能被哪些数整除？说说你是怎样想的。思考请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x=___________;(2)x2–1=__________.x(x+1)(x+1)(x-1)

上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.探究x2-1

因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得:

ma+mb+mc=m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做

.它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的ma+mb+mc

公因式提公因式法例1把8a3b2+12ab3c

分解因式.8a3b2－12ab3c的公因式是什么？最大公约数相同字母最低指数公因式4ab2一看系数二看字母三看指数观察方向例1把8a3b2+12ab3c

分解因式.解:8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc=4ab2(2a2+3bc).例2

把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.分析:(b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.解:2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a-3).练习一理解概念

判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；

(2)2x(x－3y)=2x2－6xy(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；

(4)x2+4x+4=(x+2)2；

(5)(a－3)(a+3)=a2－9(6)m2－4=(m+2)(m－2)；

(7)2πR+2πr=2π(R+