2020届高考数学(理)一轮必刷题-专题06-函数的奇偶性与周期性(解析版)

考点06函数的奇偶性与周期性1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝exC．f(x)＝cosx D．f(x)＝ex－e－x【答案】D【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B,f(－x)＝e－x＝eq\f(1,ex)≠－f(x)，故不是；对于C，f(－x)＝cos(－x)＝cosx≠－f(x)，故不是；对于D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，是奇函数，故选D.2．设函数f(x)＝x＋sinx(x∈R)，则下列说法错误的是()A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数【答案】D【解析】因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sinx)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误．3．对于函数f(x)＝asinx＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是()A．2和1 B．2和0C．2和－1 D．2和－2【答案】B【解析】设g(x)＝asinx＋bx3＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.4．已知函数f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).故选B.5．已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sinx，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是()A．c＜b＜a B．c＜a＜bC．a＜c＜b D．a＜b＜c【答案】B【解析】因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．所以函数f(x)的周期为4，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sinx，所以函数在[0，1]上单调递增，因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，又因为f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.6．已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2019)＝()A．－2 B．2C．－98 D．98【答案】B【解析】由f(x＋4)＝f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(3)＝f(－1)，且f(－1)＝2，∴f(2019)＝2.7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.8．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0<x<2时，f(x)＝－lnx，则ef(eq\f(7,3))的值为()A.eq\f(3,5) B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝lneq\f(5,3)，所以ef(eq\f(7,3))＝elneq\f(5,3)＝eq\f(5,3).故选D.9．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋fA．0 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.10．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为()A．－3 B．－2C．2 D．3【答案】C【解析】依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在R上是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(－2)＝－f(2)＝0，结合图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0，))若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】B【解析】由题意，偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤|x|对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤1，则－1≤a≤1.故选B.12．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2014)＝()A．0 B．－4C．－8 D．－16【答案】B【解析】由题意可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.故选B.13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上是增函数，且函数y＝f(x－3)为奇函数，则()A．f(－31)＜f(84)＜f(13)B．f(84)＜f(13)＜f(－31)C．f(13)＜f(84)＜f(－31)D．f(－31)＜f(13)＜f(84)【答案】A.【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，则有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)为周期为6的周期函数．若函数y＝f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f(x)＝－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为奇函数．又由函数在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上是增函数，则函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2)))上为增函数，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故选A.14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0<x<1时，f(x)＝9x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝________.【答案】－3【解析】∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).又当0<x<1时，f(x)＝9x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－9eq\f(1,2)＝－3.又f(2)＝f(0)＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝－3.15．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．【答案】－8【解析】因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.16．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)＝________.【答案】5【解析】∵函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，∴－1－a＋2a＝0，即a＝1.∵f(x)＝f(－x)，∴ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，即f(x)＝x2＋1.则f(2a－b)＝f(2)＝5.17．已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________.【答案】－eq\r(－x)－1【解析】∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴当x<0时，即－x>0，有f(x)＝－f(－x)＝－(eq\r(－x)＋1)，即x<0时，f(x)＝－(eq\r(－x)＋1)＝－eq\r(－x)－1.18．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数．由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.19．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．20．已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2,且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答案】(1)0(2)f(x)为偶函数(3)(－15,1)∪(1,17)【解析】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4