数值分析实验报告

附录:上机实验报告样本学院汽车与交通工程专业车辆工程学号学生姓名上机地点90305日期2023年6月3日实验一：MATLAB基础操作、多项式求解优化一、实验目的熟悉MATLAB编程的流程、函数编写方法以及循环控制的编写。二、实验设备计算机、MATLAB软件。三、实验内容对简单的经典问题进行程序的编写，观察计算机运算过程中的误差问题，并编写Horner算法实现多项式的算法设计。题目一：用MATLAB计算i=110000.1图1源程序（默认精度）图2两种循环的运行结果-在默认显示精度下并不等于零,但运算过程在默认显示精度下并没有误差图3源程序（增加显示精度-formatlong）图4两种循环的运行结果-在formatlong显示精度下也不等于零,且浮点误差总是出现在第18次累加图5源程序（减小显示精度-formatbank）图6运行结果-formatbank精度下计算结果为零，并没有显示出浮点误差题目二：用MATLAB编写函数fn=i=1图7源程序图8运行结果题目三：用MATLAB输出9*9口诀，要求按照9*9口诀的格式输出图9源程序-分别用for和while循环图10for和while运行结果（相同）题目四：编写Horner算法程序计算fx=x5+3x3图11源程序图12运行结果要求：1)上机前，熟悉MATLAB的基础操作，包括简单内置函数的调用以及绘图操作；2) 熟练掌握MATLAB循环程序的使用；3) 熟悉Honer算法进行多项式计算以节省计算；4) 将计算公式、最终代码及结果打印。

四、实验体会在学习函数的多项式插值与逼近方法的过程中，我深刻认识到了数值计算的重要性。在实际问题中，我们通常无法得到给定函数的解析表达式，因此需要使用数值计算方法来求解。而多项式插值与逼近方法是其中一种非常重要的数值计算方法，它在许多领域中都有着广泛的应用，如机器学习、图像处理、计算机辅助设计等。而在上机实验中，我也逐渐体会到了不同的插值与逼近方法的优缺点以及其适用范围。例如，拉格朗日插值法和牛顿插值法虽然容易理解和实现，但在插值节点数较多时容易产生龙格现象，而且拉格朗日插值法在数据节点改变时，都需要重新计算，这对于拥有众多数据点的插值而言会使得计算量非常大，在编程时，每改变一次插值节点数，程序也要做相应更改，因此应用起来不如牛顿插值法方便。在实践中，根据实际需求选择最适合的插值与逼近方法十分重要。最后，在实验中我也学会了使用MATLAB等数值计算软件进行函数的插值与逼近。这些软件对数值计算方法的实现、计算结果的可视化以及结果的误差分析都有较大帮助，不仅可以加快计算速度，还可以提高计算精度。

实验二：函数的多项式插值与逼近一、实验目的能够对不同多项式插值与逼近方法实现函数的拟合问题。二、实验设备计算机、MATLAB软件。三、实验内容利用MATLAB采用不同方法实现函数的多项式插值与逼近。题目一：对龙格函数fx=11+x2，绘制在[-5,5]区间5等分与要求：编程实现。不同插值结果用不同线形绘制。（不能利用matlab中自带的拉格朗日因子函数）提示：对于插值函数L(x),利用拉格朗日插值公式，对x=[-5:0.1:5]计算其对应y=L(x)，并利用plot(x,y)函数进行绘制。对于8阶最佳一致逼近多项式，等价于给定一组节点（根据切比雪夫多项式计算的9图13源程序（可见，拉格朗日插值方法对于采用不同的点其计算结果并不能重复使用使计算量大）图14运行结果（可以看出，插值多项式并非次数越高越好，高次多项式易出现边界震荡的龙格现象）题目二：假定某天的气温变化记录如下表所示，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。t/h0123456789101112T/℃15141414141516182022232528t/h131415161718192021222324T/℃313231292725242220181716考虑下列类型函数，计算误差平方和，并作图比较效果。（1）二次函数；（2）三次函数；（3）四次函数；（结果如下图所示）图15源程序图16运行结果（次数较高时拟合效果较好，但并非次数越高越好）要求：1）上机前，掌握多项式插值方法，包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段低次插值方法。2）上机前，熟悉函数逼近的不同方法，包括最佳一致逼近、最佳平方逼近；掌握最小二乘多项式拟合方法。3）利用MATLAB进行函数图像的绘制。4）利用MATLAB进行插值的计算以及函数的逼近5)将计算公式、最终代码及结果打印。四、实验体会首先，通过本次实验，我深入理解了多项式插值和逼近的原理，包括基于拉格朗日、牛顿法的插值算法，以及最小二乘法的多项式拟合方法。在实验过程中，通过简单地手工计算和编写MATLAB程序，做了一定对比，掌握了这些算法的具体实现方法，并进一步深入了解了不同算法的优缺点和适用范围。其次，我通过本次实验深刻认识到了函数的精确计算在实际问题中常常是不可行的，因此需要使用数值方法来近似估计函数的值。同时，为了在实际应用中得到比较好的结果，我们需要注意误差分析和实际需求，选择最合适的数值计算方法。最后，本次实验还让我深刻认识到了计算机的重要性。使用计算机编程可以大大提高计算效率，帮助我们解决更加复杂的实际问题。实验三：数值积分与非线性方程数值解法一、实验目的能够对给定的函数进行数值积分的计算，以及对给定的非线性方程进行数值解法。二、实验设备计算机，MATLAB软件。三、实验内容利用MATLAB采用不同方法对给定的函数进行数值积分的计算，以及对给定的非线性方程进行数值解法。题目一：已知积分0成立，我们可以通过对上面给定被积函数的数值积分来计算π的近似值。利用复合梯形求积方法的递推公式T2n=12Tn算法步骤提示：1：计算T1，令k=12：按递推公式计算T2k3：判断|T2k-T2k-1|是否小于3*10-6；如果是，则输出近似值T2k，否则，令k=k+1，转第图17源程序图18运行结果题目二：对方程x3-x-1=0，用Maltab绘制在[-2,2]区间函数图示。分别用Matlab编程实现二分法（计算区间[a,b]取为[1,2]）以及牛顿迭代法（取初值x0=1.5）求解方程，使得计算结果有4位有效数字，图19源程序图20运行结果（在给定区间内有且仅有一个根）图21运行结果（牛顿法迭代次数少，收敛快，相比二分法具有很大优势）要求：1）上机前，掌握数值积分的不同方法，包括中点公式、梯形公式与Simpson公式，以及其对应的复合的求积公式。掌握龙贝格数值求积方法及公式。2）上机前，掌握非线性方程求解的不同方法，包括二分法、简单迭代法、牛顿法。3）利用MATLAB进行函数图像的绘制。4）利用MATLAB进行数值求积的计算以及非线性方程的求解。5)将计算公式、最终代码及结果打印。四、实验体会 首先，通过本次实验，我深入理解了数值积分的原理和方法。在实验中，应用了复合梯形法、牛顿迭代法等数值积分算法，并通过简单地手工计算与编写的MATLAB程序做比较，掌握了这些算法的实现方法。在实践中，我深刻认识到数值积分方法的精确性和计算效率之间需要做出平衡，并注意误差分析和积分范围的实际需求。其次，我通过本次实验了解了一些非线性方程数值解法的基本原理和方法。在实验中，使用了二分法、牛顿迭代法等非线性方程解法，并通过手工计算和编写MATLAB程序，掌握了这些算法的实现方法。在实践中，我深刻认识到非线性方程求解的复杂性和多样性，并理解了选择合适的求解方法对于实际问题的重要性。最后，本次实验还让我深刻认识到计算机编程的重要性。使用计算机编程可以大大提高计算效率和精确度，帮助我们解决更加复杂的实际问题。使用MATLAB等数值计算软件工具可以更快地进行计算，并且可以智能分析和优化计算结果。综上所述，本次实验让我深入理解了数值积分和非线性方程求解的原理和方法，在实践中更加深入了解了不同算法的优缺点和适用范围，并深刻认识到了计算机在数值计算和数学问题解决中的重要作用。这些都对我的学习和工作有着积极的影响。

实验四:常微分方程求解一、实验目的掌握常微分方程的求解方法。二、实验设备计算机、MATLAB软件。三、实验内容利用MATLAB采用不同方法对给定的一阶常微分方程初值问题进行数值求解。题目一：分别用Euler方法和改进的Euler方法求解下列初值问题：y计算y(1.5)。比较它们的计算结果，从中体会预估-校正的作用。图22源程序图23运行结果（两种算法结果几乎重合，区间短并未体现改进欧拉法的优势）图24运行结果要求：1）上机前，熟悉傅里叶变换的方法。2）上机前，熟悉一阶常微分方程初值问题的求解方法，包括欧拉方法（显式欧拉法、隐式欧拉法、梯形公式、改进的欧拉法）以及龙格-库塔法。3）利用MATLAB进行函数图像的绘制。4）利用MATLAB进行傅里叶变换的计算以及一阶常微分方程初值问题的求解。5)将计算公式、最终代码及结果打印。

四、实验体会在这次实验中，使用了欧拉法、改进欧拉法等数值解常微分方程的方法以及相应的实现。进一步地，我还简单了解了差分方程的形式，包括一阶和二阶常微分方程，在概念和实践上都有了更深的理解。另外，通过为常微分方程建立数值模型的过程，我也能够尝试如何将实际问题抽象为数学模型，并使用数值方法快速求解这些模型。在实践操作中，我们需要谨慎使用步长。通过比较使用不同步长时求解结果的差异，我学会了如何调整步长选择，使计算结果更加准确。此外，我也了解了设置终止条件和选择合适的初值和边界条件的重要性。这些都是实用方法，在实际工程问题中经常遇到的。在本次数值