第三章 光的衍射

第三章光的衍射教师：张旨遥办公地点：光电楼321室E-mail:zhangzhiyao@本章主要内容衍射的基本原理夫琅禾费衍射光学成像系统的衍射和分辨本领夫琅禾费多缝衍射衍射光栅菲涅耳衍射全息术前言光的衍射现象是光波动性的一个主要标志，也是光波在传播过程中的最重要属性之一。本章将在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象及其应用：菲涅尔衍射（近场衍射）夫琅禾费衍射（远场衍射）夫琅禾费衍射问题的计算比较简单，并且在光学系统的成像理论和现代光学中有着特别重要的意义，将是本章的重点。6.1衍射的基本原理一、光的衍射现象光的衍射：光波在传播过程中遇到障碍物时，不能用反射、折射和散射来解释的光偏离直线传播的现象，也称为光的绕射。衍射的两个主要特点：光波可以绕过障碍物，在某种程度上传播到障碍物的几何阴影区域中；在几何阴影区附近呈现出光强的不均匀分布（光强起伏）。将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个具有清晰边界的均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影；随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应地变小，而后光斑边缘开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环；圆孔继续减小，光斑及圆环不但不减小，反而会增大；使用单色（白色）光源时，形成明暗相间（色彩相间）的同心环带。典型的圆孔衍射实验刀片边缘的衍射圆屏的衍射中心为泊松亮斑根据光源、衍射屏和观察屏三者之间的相对位置，可将衍射现象分为两类：菲涅尔衍射：光源或观察屏距离衍射屏有限远时，所观察到的衍射。夫琅禾费衍射：光源和观察屏都距离衍射屏无穷远（或者相当于无穷远）时，所观察到的衍射，此时，衍射屏上的入射波和衍射波都可看成平面波。菲涅尔衍射夫琅禾费衍射衍射屏衍射屏观察屏观察屏光源光源衍射和干涉具有相同的实质：相干光波叠加引起的光强重新分布。衍射和干涉的不同之处：干涉：通常为有限个相干光波的叠加；衍射：无限个相干光波的叠加。由于衍射的特殊性，在数学上遇到了很大的困难，以至于许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，实际的衍射理论都是一些近似解法。后面将介绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。二、惠更斯-菲涅耳原理Huygens，Christiaan惠更斯，克里斯蒂昂(1629—1695)荷兰物理学家、数学家、天文学家

伽利略时代和艾萨克·牛顿时代之间最伟大的科学家，他发明了第一具成功的摆钟(还有很多其他发明)，设计并改进了天文望远镜，提出了完整的光的波动说。惠更斯受到了当时最高标准的教育，1645-1647年他在莱顿大学研读了数学和法学，然后到布雷达继续攻读法学两年。通过望远镜的观察，惠更斯对光的本质发生了兴趣，并创立了用波描述光的行为的完整理论。这一工作在1678年致法国科学院的信件中首次发表，其完整形式则于1690年发表在他的《论光》一书中。惠更斯原理：波源S在某一时刻所产生的波阵面∑，则∑面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出球面次波，其后某一时刻的波阵面∑’即是该时刻这些球面次波的包络面，波阵面的法线方向就是该光波的传播方向。惠更斯原理成功之处直线传播规律反射折射规律双折射现象较好的解释光的定性地解释光的干涉、衍射现象不足之处不能解释干涉衍射光的振幅变化不能解释衍射光强的重新分布惠更斯原理的成功与不足衍射的显著程度与障碍物（或孔）大小和波长之比有关发生明显衍射的条件：障碍物或孔的大小比波长小，或者与波长相差不多。在生活中，常见的波的衍射现象有：声音传播中的“隔墙有耳”等；在带窗户的房间中可以接受到收音机和手机信号，是电磁波的衍射。惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑次波来自于同一个光源，应该是相干的，因而光场中任意一点的光振动应该是光源和该点之间任一波阵面上所有子波相干叠加的结果，这就是惠更斯-菲涅耳原理。光源如果为光源S的波阵面，则。光场中的任意一点面法线面元对P点光场的贡献为（复振幅）：比例常数：倾斜因子：光源S在波阵面上Q点引起的光振动复振幅当时，有最大值；随着的增大，迅速减小；当时，。P点总的光场复振幅-----惠更斯-菲涅耳公式利用上述公式可以计算任意形状的孔径或屏的衍射问题，但是一般情况下积分计算很困难，只有在某些简单的情况下才能获得精确的解析解。惠更斯-菲涅耳公式的意义：对于简单孔径的衍射可以获得满意的结果。惠更斯-菲涅耳公式存在的问题：计算所得的相位比实际相位落后；为了解释没有倒退波存在，菲涅耳假设当时，有，而当时，有，这是在原理之外附加的假设，而且他没有给出倾斜因子的具体形式，因此，从理论上讲，惠更斯-菲涅耳原理是不够完善的。三、基尔霍夫衍射公式基尔霍夫从微分波动方程出发，利用数学场论中的高斯定理以及电磁场的边值条件，给出了惠更斯-菲涅耳原理较完善的数学表达式，将空间P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场建立起了联系，并且在某些近似条件下，得到了菲涅耳理论中没有确定的常量和倾斜因子的具体表达式，建立起了光的衍射理论。该理论将光波作为标量来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量，而假定其他有关分量可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，因此称为标量衍射理论。假设单色光波通过闭合曲面传播，空间P点处的光场为如果P点是无源场，该点光场应满足标量波动方程即：亥姆赫兹（Helmholtz）方程假设另一个任意复函数也满足亥姆赫兹方程并且在面内和面上有连续的一、二阶偏微商（个别点除外）。构造积分：表示在面上每一点沿向外法线方向的偏微商。由高斯定理可得到其中，是面所包围的体积。考虑亥姆赫兹方程，则即选取为球面波函数函数除了在点外，处处解析。因此，选取复合曲面，其中包围P点，半径为无穷小量。球坐标系下，有对于面上的点，有则因此亥姆赫兹-基尔霍夫积分定理它将空间任意一点的光场与其周围任一闭合曲面上的光场联系了起来，实际上可以看作是惠更斯-菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔，由点光源S照明，并且的线度满足其中表示和中较小的一个。为了应用基尔霍夫积分定理求P点的光场，围绕P点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔，不透明屏的部分背照面，以P点为中心、R为半径的大球的部分球面。在面上，和的值由入射波决定，与不存在屏时的值完全相同。式中，是离点光源单位距离处的振幅，表示外向法线与从S到上某点Q的矢量之间夹角的余弦。在不透明屏背照面上，有

通常称面和面上的两个假定为基尔霍夫边界条件；这两个假定是近似的，因为屏的存在必然会干扰处的场，特别是开孔边缘附近的场；在上，光场值也并非处处绝对为零；严格的衍射理论表明，在前述的开孔限度限制下，误差不大，作为近似理论，仍然可以采用上述假定。对于面，有，因此，在上的积分为式中，是对于P点所张的立体角，是立体角元。索末菲（Sommerfield）辐射条件而当时，是有界的，所以当时，在面上的积分为零通过上述讨论可得，计算P点的光场，只需要考虑孔径面上的积分，即其中菲涅耳-基尔霍夫衍射公式惠更斯-菲涅耳衍射公式菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的贡献如果将积分面元视为次波源，菲涅耳-基尔霍夫公式可解释为：P点的光场是上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与波长成反比；因子表明：次波源的振动相位超前入射波；倾斜因子表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在0和1之间。如果一平行光垂直入射到上，则当时，，表明波面法线方向上次波贡献最大；当时，，表明菲涅耳在关于次波研究中假设是不正确的。上式对于光源和观察点是对称的，意味着S点源在P点产生的效果和在P点放置同样强度的光源在S点产生的效果完全相同，称为亥姆赫兹互易定理。单色点光源S照射开孔，在开孔后任意一点P点产生的光场复振幅为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式在计算衍射问题时，因被积函数的形式较复杂，对于一些极简单的衍射问题，仍不易得到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际情况作进一步的近似处理。虽然基尔霍夫衍射公式是由点光源照明导出的，但是仍然普遍适用于一般单色光照明的情况，因为总可以把任一复杂的光波分解为简单的球面波的线性叠加。在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学系统光轴夹角极小的傍轴光线，因此下面的两个近似条件通常都成立第一：因此第二：（观察屏与衍射孔的距离）指数中的未用代替，这是因为指数中所影响的是次波场的相位，会显著影响干涉效应，所以不可用常数替代。在傍轴近似下，按观察屏与衍射孔的距离不同，衍射公式中的还可进行不同的简化，常见的有两种：菲涅耳近似（菲涅耳衍射，近场衍射）；夫琅禾费近似（夫琅禾费衍射，远场衍射）。圆孔的投影菲涅耳衍射：距离增大时，光斑范围扩大，光斑中圆环数减少，环纹中心亮、暗交替变化。夫琅禾费衍射：一个较大的中间亮、边缘暗，且在边缘外有较弱的亮、暗圆环的光斑。距离增加，只是光斑扩大，光斑形状不变。傍轴近似下旁轴近似下，蓝色部分为微小量考虑展开式，则其中，的大小决定了哪些展开项可以忽略不计。菲涅耳近似（近场）当大到使得展开式中第三项引起的相位变化远远小于时，即菲涅耳近似（此区域观察到的衍射称为菲涅耳衍射，即近场衍射）P点光场的复振幅为菲涅耳衍射公式可看成的傅里叶变换。旁轴近似下夫琅禾费近似（远场）菲涅耳近似夫琅禾费近似（此区域观察到夫琅禾费衍射，即远场衍射）P点光场的复振幅为夫琅禾费衍射就是入射光场的傅里叶变换。菲涅耳衍射（近场衍射）和夫琅禾费衍射（远场衍射）都是在傍轴近似下，利用基尔霍夫衍射公式求解衍射问题时的近似。近场和远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径越大，相应的近场和远场的临界值距离衍射屏也越远。菲涅耳衍射区包含了夫琅禾费衍射，凡是用来分析计算菲涅耳衍射的公式都适用于夫琅禾费衍射。例如：对于光波波长为600nm、圆孔直径为2cm的情况，试估算菲涅耳衍射起点到圆孔的距离。菲涅耳近似条件即由于菲涅耳衍射光斑只略有扩大，可忽略，所以可取因此，菲涅耳衍射区要求例如：对于光波波长为600nm、圆孔直径为2cm的情况，试估算夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。夫琅禾费近似条件即其中因此，菲涅耳衍射区要求由上面的计算可以看到，要产生夫琅禾费衍射，观察屏到衍射屏距离的要求比菲涅耳衍射苛刻得多。四、衍射的巴比涅原理若两个衍射屏中，一个屏幕的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分相对应，这样的一对衍射屏称为互补屏。例如：和就是一对互补屏。巴比涅原理：一对互补屏在衍射场某点产生的复振幅之和等于光波自由传播时在该点产生的复振幅。由巴比涅原理得出两个重要结论：若，则；两个互补屏不存在时，光场为零的那些点，互补屏产生完全相同的光强分布，但是光场相位差为。用巴比涅原理可由一种衍射屏的衍射图样求出互补屏的衍射图样。例如：圆孔→圆屏，单缝→细丝。若，则；放置一个屏时，对应光场为零的那些点，在换上它的互补屏时，光场和没有屏时一样。6.2夫琅禾费衍射一、夫琅禾费衍射装置单色点光源S放置在透镜L1的焦平面上，若开孔面上有均匀的光场分布，可令，又因为透镜L2紧贴孔径，则，观察屏上的光场复振幅为矩形沿x1轴和y1轴的宽度分别为a和b，中心位于坐标原点。傍轴近似下透镜焦平面上，P点的光场复振幅为二、矩孔衍射光强x方向分布y方向分布次极大位置次极大位置注意观察中央主极大与周围次极大的特点（宽度、强度等）。以x轴上的光强分布为例，对光强极大值和极小值位置进行分析（此时，y=0）为了获取极值点位置，需要对光强进行一阶微分，并令其等于0。两种情况：或者对于第一种情况即当时，，此时，即中心为极大值；当时，，此时，即存在一系列极小值点。暗纹间隔对于第一种情况即对应两个相邻暗条纹之间的次极大位置。00110.0471820.0169430.0083440.00503极大值序号能量主要集中在中央主极大！单色光矩孔衍射图样10.0470.0470.0470.0470.00220.00220.00220.0022单色光矩孔衍射图样思考：中央亮斑x（y）方向宽度与矩孔x1（y1

）方向的宽度关系？中央亮斑的半角宽度：中央亮斑的半宽度尺寸：中心亮斑边缘决定条件：白光矩孔衍射图样由于中央亮斑集中了绝大部分光能，它的半角宽度的大小可以作为衍射效应强弱的标志。矩孔尺寸越小，它对光束的限制越大，衍射场越弥散，反之，矩孔尺寸越大，衍射场就越集中。当波长远远小于孔宽时，光束几乎自由传播，表明衍射场基本集中在沿直线传播方向上，在透镜焦面上衍射斑收缩为几何像点。波长越大，衍射效应越显著，波长越短，衍射效应可忽略，所以说几何光学是波动光学当波长趋于0时的极限情形。三、单缝衍射如果矩孔一个方向的宽度比另一个方向的宽度大得多，例如：，矩孔就变成了狭缝（单缝）。衍射图样只分布在x轴方向。衍射光强分布中央亮纹的半角宽度是其他亮纹的两倍如果用一根不透光的细丝（金属丝或纤维丝）来代替单缝，则可获得细丝的夫琅禾费衍射。思考：狭缝光源照射下，细丝的衍射图样是怎样的？提示：巴比涅原理。无衍射屏时，只在观察屏上有一条中心亮纹；除了中心亮纹位置以外，其余地方狭缝和细丝衍射光强分布一样，只是光场复振幅有的相位差。细丝夫琅禾费衍射的实际应用：激光衍射细丝测径仪，精确测量金属丝或纤维丝的直径。思考：如何测量？暗纹间隔目前，已经把激光衍射细丝测径仪用于细丝生产过程做连续的动态监测。在实际测量中，只要测量出细丝衍射条纹间距，就可以计算出细丝的直径。衍射光场的形成机理：观察屏上P点的光强是单缝AB上无穷多个相干波源多光束干涉的结果。四、圆孔衍射由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射对于分析光学仪器的特性具有重要意义。由于圆孔结构的几何对称性，用极坐标处理更方便。观察屏上P点的光场为在圆对称情况下，积分与方位角无关，可令。贝塞尔函数性质：贝塞尔函数递推关系观察屏上P点的光强度为夫琅禾费圆孔衍射图样主极大01极小0次极大0.0175极小0次极大0.0042极小0次极大0.0016极大和极小中央亮斑占据整个入射光强的84%，称为艾里（Airy）斑。两相邻暗环间距不相等，距离中心越远，间距越小，这一点有别于矩形孔的衍射图样。艾里斑的角半径：艾里斑的半径：6.3光学成像系统的衍射和分辨本领一、成像系统的衍射现象理想的光学成像系统，点物成点像。实际的光学成像系统，光学元件的通光孔起着光阑的作用，会产生衍射，点物成衍射像斑。通常情况下，光学系统的孔径光阑比光波波长大得多，所以衍射效应极小，衍射像斑非常接近点像，但可用足够倍数的显微镜观察衍射像斑结构。星点检验法在生产中，常采样该方法检测物镜成像质量的优劣。其中，为待检测的物镜，其口径小于的口径，所以是由的孔径光阑产生的夫琅禾费衍射像斑。例如：的光阑直径为D=30mm，焦距为f=120mm，光波波长为546.1nm时，衍射的艾里斑半径为如此小的像斑人眼无法直接看出其结构细节，只能通过显微镜放大来观察。除了衍射以外，被检验物镜通常或大或小地存在着像差（球差、彗差、像散、场曲、畸变、色差等），因而所形成的衍射像斑也反映了像差的影响，使得它与理想系统所成的像斑在衍射条纹形状及强度分布方面有了差别。在光学工厂中，常常通过比较这种差别来判定被检物镜成像质量的优劣。这种方法称为星点检验。星点像----无像差衍射受限系统星点像----球差星点像----彗差62.51星点像----像散二、在像面观察的夫琅禾费衍射对于光学成像系统，比较多的情形是对近处的点光源（点物）成像（比如照相物镜、显微物镜），由于光阑对光束的空间限制作用，点物依然成衍射像斑。问题：对于近距离成像的光学系统，在像面上观察到的衍射像斑是否可以应用夫琅禾费衍射公式来计算？菲涅耳衍射计算公式得到像面上的复振幅分布由于孔径光阑受到会聚球面波照明，所以在光阑面（通光孔）上的复振幅分布为：光阑面上Q点到观察面上像点S’的距离通常物点S和像点S’在光轴上，选取C为x1y1面的原点、S’为xy面的原点，Q点坐标为（x1，y1），所以有在旁轴近似下，分子和分母中的可做如下两种近似分母：分子：所以有：光阑面上的光场振幅说明在像面上观察到的近处点物的衍射像也是孔径光阑的夫琅禾费衍射图样。相应的艾里斑半径为：光阑到像面的距离。：孔径光阑的直径。成像系统对无穷远处的点物在焦面上所成的像是夫琅禾费衍射像；成像系统对近处点物在像面上所成的像是夫琅禾费衍射像；总之，成像系统对点物在它的像面上所成的像是孔径光阑的夫琅禾费衍射图样。分辨本领：系统能分辨开两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光学成像系统的重要指标。一般光学系统的通光孔都是圆的，因此，无像差的理想光学系统的分辨本领是由圆孔夫琅禾费衍射所形成的衍射花样（即艾里斑）大小所决定的。瑞利判据：衍射图样中央极大与另一个衍射图样的第一极小重合，作为恰能分辨两个点物的极限。角分辨极限：三、成像系统的分辨率人眼的分辨本领设瞳孔直径为2mm，对黄绿光来说，角分辨极限为人眼在明视距离（25cm）处，能分辨的两点间的极限距离为人眼对放在明视距离处的物体，间隔小于0.1mm的细节无法分辨。望远镜的分辨本领为了提高分辨率，天文望远镜物镜的直径要做得很大。现在已有直径16m的天文望远镜物镜。望远镜物镜：对“无穷远”物体在“焦平面”上成像。分辨本领用两个恰好能分辨的点物对物镜的张角表示。通过合成孔径的方法，美国宇航局（NASA）在2001年已获得相当于85m直径的望远系统。其原理为：通过两个精确定位的、相距100~1000m的采集器接收两路星光，再反射到合成器，从而扩大了接收望远镜的通光孔径。照相物镜的分辨本领照相物镜一般用于对较远的物体成像，并且所成的像由大致位于照相物镜焦面的感光底片记录。照相物镜的分辨率以像面上每毫米能分辨的直线数N来表示。能分辨的最靠近的两直线在感光底片上的距离为物镜的相对孔径为了充分利用照相物镜的分辨能力，所使用的感光底片的分辨率应该大于或等于物镜的分辨本领。显微镜的分辨本领显微镜用于观察近处微小物体。用刚好能分辨的两点物间的距离表示其分辨率。显微镜由物镜和目镜组成，在一般情况下，系统成像的孔径光阑为物镜框，它限制了显微镜的分辨本领。阿贝正弦条件：物镜的数值孔径提高显微镜分辨本领的途径：增大物镜的数值孔径减小物镜的焦距，使孔径角u增大；采用油浸物镜，增大物方折射率。减小波长如果被观察物体不是自身发光，用短波长的光照明，通常在照明设备附加一块紫色滤光片。特种显微镜电子显微镜：电子束的波长在10-3nm量级，虽然其物镜的数值孔径较小，但分辨率也比普通光学显微镜高千倍以上。望远镜、显微镜中目镜的作用目镜的定义：用来观察前方光学系统所成图像的目视光学器件，是望远镜、显微镜等目视光学系统的组成部分。为消除像差，目镜通常由若干个透镜组合而成，具有较大的视角和视角放大率。目镜只能对物镜的像起放大作用；只要物镜所成的像可以分辨，经目镜放大后一定可以分辨；但是如果物镜所成的像不可分辨，不管目镜放大倍数为多少，经过目镜放大的像是不可分辨的；因此，望远镜和显微镜的分辨本领主要取决于物镜。6.4夫琅禾费多缝衍射一、引言多缝衍射是指许多条等间距、等宽度的通光狭缝所引起的衍射，是研究衍射光栅的基础。多缝的总缝数为，每个狭缝宽度为，相邻两个狭缝的间距为（在光栅中称为光栅常数）。二、强度分布公式光强分布可以通过夫琅禾费衍射积分公式直接积分得到（留作课后练习）。思考：多缝衍射屏与单缝衍射屏有什么联系？下面将从衍射和干涉的本质出发得到光强分布公式。衍射屏的通光面：多缝是单缝的一维周期性排列。思考：多缝和单缝的衍射光场是否也有某种联系？构成多缝的每条单缝都会产生衍射光场；多缝衍射光场是各单缝衍射光场的相干叠加（Why?）。缝后透镜L2的作用：使得衍射屏上每个单缝的衍射条纹位置与缝的位置无关，即缝垂直于光轴方向平移时，其衍射条纹的位置不变。单缝中心在光轴上单缝在孔径面内上移，其中心不在光轴上每个单缝产生各自的一套衍射条纹，当每个单缝等宽时，各套衍射条纹完全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加。最边缘一个单缝的夫琅禾费衍射图样在P点的复振幅为：常数相邻单缝在P点产生的相位差为多缝在P点产生的复振幅是N个振幅相同、相邻光束光程差相等的多光束干涉结果，其复振幅为P点光强为：单缝在观察屏中心P0点产生的光强单缝衍射因子多缝干涉因子单缝衍射因子与单缝本身的性质（包括缝宽乃至单缝范围内引入的幅度和相位变化）有关；多缝干涉因子来源于狭缝的周期性排列，与单缝本身的性质无关；只要把单个衍射因子求出来，将它乘上多光束干涉因子，就可以得到任意周期排列光阑的夫琅禾费衍射图样强度分布。三、多缝衍射的特点与图样多缝衍射的特点和图样可以通过分析多缝干涉因子和单缝衍射因子的极大值和极小值条件得到。单缝衍射因子多缝干涉因子单缝衍射光场和光强分布当分子和分母同时为零时，产生干涉主极大。常称为光栅方程，其中，为主极大的级次。对于多缝干涉因子，做如下讨论注意：分母为零时，其分子必为零分母为零相邻单缝对应衍射光线的光程差满足相干相涨条件！由N条无限细的狭缝干涉所形成的干涉主极大的强度与缝数N的平方成正比。光栅方程的物理含义根据诺比塔法则当分子为零、分母不为零时，产生干涉极小。在两个相邻干涉主极大之间有N-1个零值（极小值）。在两个相邻干涉主极大之间有N-1个极小值，必然有N-2个次极大；次极大值比干涉主极大值小很多；次极大的准确位置应对干涉因子求导数定出；次极大的强度与它离开主极大的远近有关，主极大旁边的次极大最强，但其强度也只有主极大强度的4%左右。条纹角宽度指两相邻极小之间的角距离也是主极大与相邻极小之间的角距离，因此也称为主极大的半角宽度。缝数N越大，主极大的宽度越小，主极大亮纹越亮、越细（Why？）。多光束干涉的特点？第m级与第m+1级主极大之间的间距为相邻主极大之间的间距只与波长以及缝距有关，而与干涉级次无关。因此，如果以为坐标，则同一波长的各主极大之间是等间距的。N=6多缝衍射图样是单缝衍射图样和多缝干涉图样两者的乘积，是单缝衍射和多缝干涉的双重效果的叠加，它兼有两者的特点；多缝衍射图样可以看作单缝衍射图样对多缝干涉图样的包络调制。各级主极大的强度为它们是单缝衍射在各级主极大位置上产生的强度的倍；其中零级主极大的强度最大，等于；一般来说，缝宽很小，因此单缝衍射中央极大的范围较宽，包含了几级干涉主极大，也就是说，多缝衍射的光能量实际上是集中在单缝衍射中央极大范围内的几条对应的干涉主极大上。多缝衍射图样中有可能出现缺级现象如果某一级干涉主极大方向正好与单缝衍射极小的位置重合，那么，该主极大值被调制为零，对应级次的干涉主极大就会消失，称为缺级现象。干涉主极大的位置满足：衍射极小的位置满足：缺级的条件：即：缺级缺级光栅常数给出了各级主极大值的位置，单缝因子仅影响光强在各主极大值之间的分配。当缝数增大时，衍射图样有两个显著的变化：能量向主极大位置集中（为单缝衍射时的倍）；亮条纹变得更加细而亮。6.5衍射光栅一、引言衍射光栅：能对入射光波的振幅和相位或者二者之一进行空间周期性调制的光学元件。衍射光栅的工作基础：夫琅禾费多缝衍射。衍射光栅的分类多种多样按工作方式分为：透射式和反射式；按对光波的调制方式分为：振幅型和相位型。透射光栅：在光学平玻璃上刻划出一道道等间距的刻痕，刻痕处不透光，未刻痕处则是透光的狭缝。反射光栅：在金属反射镜上刻划出一道道等间距的刻痕，刻痕上发生漫反射，未刻痕处在反射光方向发生衍射，相当于一组衍射狭缝。光栅最重要的应用是作为分光元件，即把复色光分开成各单色光，可应用于由远红外到真空紫外的全部光波波段；还可以用于长度和角度的精密测量，以及作为调制元件等。使用光栅作为分光元件的光谱仪称为光栅光谱仪。二、光栅的分光性能光栅方程：定量描述光栅的分光原理；由多缝夫琅禾费衍射图样中干涉主极大位置公式决定。光栅方程：光栅常数：入射角：衍射角：级次：所得结论对反射型光栅同样适用。（留作课后练习）光栅的色散当入射角一定时，除零级主极大外，不同波长光波的同一级主极大具有不同的衍射角，即发生了色散现象，表明光栅具有分光能力。对应于不同波长的各级主极大亮线称为光栅光谱线。将不同波长的同级主极大分开的程度称为色散本领。光栅的色散可用角色散和线色散来表示。角色散：角色散与光栅常数成反比。角色散与级次成正比。常将波长相差0.1nm的两条谱线分开的角距离称为角色散。将同级次衍射光聚焦在物镜焦面上，单位波长差的两条谱线分开的距离称为线色散。线色散：角色散和线色散是光谱仪的重要质量指标，光谱仪的色散越大，就越容易将两条靠近的谱线分开。实用光栅通常每毫米有几百以至上千条刻线，即光栅常数d通常很小，所以光栅具有很大的色散本领，这一特性使光栅光谱仪成为一种优良的光谱仪器。在不大处记录光栅光谱，几乎不随变化，色散是均匀的，这种光谱称为匀排光谱，便于光谱仪的波长标定。由于衍射，每一条谱线都具有一定宽度。当两谱线靠得较近时，尽管主极大分开了，它们还可能因彼此部分重叠而分辨不出是两条谱线。光栅的色分辨本领：表征光谱仪分辨开两条波长相差很小的谱线能力的参量。根据瑞利判据，当的第级主极大刚好落在的第级主极大旁的第一级小值处时，这两条谱线恰好可以分辨开。色分辨本领：光栅的分辨极限：光栅的色分辨本领正比于光谱级次和光栅线数，与光栅常数无关。注意将光栅的色分辨本领与F-P标准具的分辨本领进行对比，两者有何联系？对于光栅来讲，一般所使用的光谱级次都不是很大（），但是光栅线数是一个很大的数目，因此，光栅的分辨本领仍然很高。例如：一块宽度为60mm，每毫米刻有1200线的光栅（），在其产生的一级光谱中，分辨本领为自由光谱范围：相邻级次的光谱不发生重叠的波长范围。由于光栅使用的光谱级很小，所以它的自由光谱范围比较大。而F-P标准具需要两反射镜间隔非常小。例如：为达到光栅一级谱的自由光谱范围，F-P标准具两反射镜之间的往返光程应满足，该间隔很难达到。波长的级谱线与波长的级谱线重叠时，波长在内的不同级谱线不会重叠。三、闪耀光栅普通光栅：衍射零级极大与干涉零级主极大同向，能量集中在零级，无色散；而用于分光的较高级次谱线只分配到较少的能量。闪耀光栅：通过控制刻槽的形状，使衍射零级极大偏离干涉零级主极大，而对准用于分光的较高次干涉主极大（使该级光谱闪耀）。我们所期望的分光器件性能：色散大、能量大。解决办法：让衍射零级极大偏离干涉零级极大。闪耀角（）：刻槽面与光栅面之间的夹角，通常非常小。槽面宽度约等于光栅常数如何实现衍射零级极大与干涉零级主极大的分离？单缝衍射零级极大的方向：单缝内无数条光线光程差为零的传播方向；多缝干涉零级主极大的方向：相邻单缝对应光线光程差为零的传播方向。入射光垂直于光栅刻槽面入射时，光谱仪中称之为自准式入射，单个刻槽表面衍射中央（零级）极大的方向对应于入射光的反方向，即刻槽板的几何光学反射方向。对于光栅平面，入射光以角度入射，在入射光的反方向上，光程差由光栅方程确定上式表示单个刻槽面衍射的中央（零级）极大与诸刻槽面间干涉的级主极大（即级光谱）重合的条件。在现代光栅光谱仪中，很少使用透射光栅，大量使用反射光栅，尤其是闪耀光栅。级闪耀波长：波长为的级光谱获得闪耀（衍射零级极大与级干涉主极大重合），并获得最大光强度。因为，所以波长的其他级次（包括零级）的光谱都几乎和单个刻槽面衍射的极小位置重合，致使这些级次的光谱强度很小，大部分能量（80%以上）都转移并集中到级光谱上。对于波长的级闪耀光栅，也对波长的级光谱闪耀。由于衍射的中央极大到极小有一定宽度，所以闪耀波长附近一定波长范围内的谱线也有相当大的光强。入射光垂直于光栅平面入射时，相邻两槽面衍射光的光程差为槽面间干涉主极大的位置由光栅方程决定单槽面衍射光的中央（零级）极大位置反射角：闪耀波长满足一级闪耀二级闪耀四、正弦（振幅）光栅矩形（振幅）光栅：透射系数按矩形函数变化。正弦（振幅）光栅：透射系数按余弦或正弦函数变化。正弦（振幅）光栅的特点：衍射图样仅包含0级、+1级和-1级衍射光。证明思路：对于N个衍射单元周期性排布的衍射图样，只需求出单个衍射单元的衍射因子，再将其乘上多光束干涉因子就可以得到总的衍射光场和光强；利用夫琅禾费积分公式求出一个周期的衍射因子；将单个周期的衍射因子乘上多光束干涉因子。光栅透射系数假设光栅被均匀照射，即入射到光栅面上的为均匀平面波（振幅设为1），则单个周期的衍射光场为正弦（振幅）光栅衍射图样的光强分布特点：光栅常数（周期）和衍射孔宽度相同。五、波导光栅光波导：一种能够将光波限制在其内部或表面附近，引导光波沿确定方向传播的介质几何结构。种类包括：平板波导、条纹波导以及具有圆形截面的圆波导（光纤）等。波导光栅：波导上折射率周期分布构成的一种光栅。种类包括：平面波导光栅和圆形波导光栅（光纤光栅）。平面波导光栅：集成光学中一个重要的功能器件。光输入、输出耦合器；滤波器；声光波导调制器。光纤光栅：1978年制作成功；纤芯折射率沿轴向发生周期性变化；布拉格光纤光栅（FBG）和长周期光纤光栅（LPFG）。光纤光栅的应用：带阻（带通）滤波器；光波分复用器；稀土掺杂光纤激光器的反射镜，并可在一定范围内实现输出波长调谐；啁啾光纤光栅可实现色散补偿；温度、压力、折射率光纤传感器，并可构成分布式或多点测量系统。6.6菲涅耳衍射一、引言菲涅耳衍射是在菲涅耳近似条件成立的距离范围内所观察到的衍射现象，相对于夫琅禾费衍射而言，观察屏距离衍射屏不太远。菲涅耳衍射可直接运用基尔霍夫衍射公式进行计算，但是数学处理复杂并且数值计算费时。处理菲涅耳衍射现象时，均采用比较简单、物理概念很清晰的如下两种方法：菲涅耳波带法（代数加法）；振幅矢量加法（图解法）。二、菲涅耳波带法及圆孔、圆屏菲涅耳衍射菲涅耳波带法圆形环带边缘到P0点的光程差为半个波长，这些环带叫作菲涅耳半波带或菲涅耳波带。第k个波带在P0点产生的振幅可表示为比例常数：第k个波带到P0点的距离：第k个波带的面积：倾斜因子：波带面积为两个球冠面积之差：第k个波带在P0点产生的振幅可简化为表明各半波带在P0点产生的振幅只与倾斜因子有关，而与各波带到P0点的距离和面积均无关。波带的序数k越大，倾角和也越大，因而各波带在P0点产生的振动的幅度随k的增大而单调减小，即相邻波带的对应点到P0点的光程差为半波长，因此，各波带在P0点产生的复振幅总和为由于单调下降，且变化缓慢，经计算发现相邻波带振幅仅差万分之一左右，所以近似有当波带数为奇数时当波带数为偶数时当足够大时，和相差很小，所以总的复振幅为正号“”为取奇数。负号“”为取偶数。表明P0点振幅和强度与圆孔包含的波带数有关；当为奇数时，P0点的强度较大；当为偶数时，P0点的强度较小；若逐渐增大或缩小圆孔，在P0点将可以看到明暗交替的变化。对于一定大小的圆孔以及光波波长，波带数取决于P0点到衍射屏中心的距离。当把观察屏沿光轴平移时，同样可以看到P0点忽明忽暗的交替变化。如果圆孔非常大，或者根本不存在圆孔衍射屏时，则有，因此，总的复振幅为表明P0点的复振幅等于第一波带产生的复振幅的一半，强度为第一波带产生的强度的1/4。综上所述，可以总结如下：当圆孔包含的波带数目不是非常大时，菲涅耳衍射明显，P0点的光强大小取决于圆孔所包含波带数的奇偶数（与光波波长、圆孔大小以及P0点到圆孔中心的距离等有关）。当圆孔包含的波带数目很大时，圆孔的大小不再影响P0点的光强；这与从光的直线传播定律出发所得出的结论相符；也就是说，当圆孔包含的波带数目很大时，从波动概念和从光的直线传播概念得出的结论开始吻合。圆孔衍射图样离轴点P’的半波带分割这些波带在P’点产生的光强，不仅取决于波带数目，而且取决于每个波带露出部分的面积，精确计算强度不容易。当P’点离开中心点时，该点光强会出现亮暗交替的变化。圆孔的菲涅耳衍射图样是一组明暗交替变化的同心圆环条纹，中心可能是亮点也可能是暗点。观察屏和衍射屏不同距离处的圆孔菲涅耳衍射图案圆屏的菲涅耳衍射考虑一个与圆孔同样尺寸的不透明圆屏作为衍射屏，则对于P0点，波带应从算起到无穷大，因此，总的复振幅为中心P0点总是亮的，称为泊松亮点。圆屏的衍射图样：中心为亮点，周围有一些亮暗相间的圆环条纹。当圆屏较大时，很小，接近于零，中心不再能看出是亮点，也回归到光的直线传播原理。思考：将圆屏和圆孔作为互补屏，应用巴比涅原理是否可以得出中心始终是亮点的结论？圆孔：当，等效于无衍射屏：圆屏：，始终为亮点。三、菲涅耳波带片奇数波带透光，偶数波带被阻挡偶数波带透光，奇数波带被阻挡这种将奇数波带或偶数波带挡住的特殊光阑称为菲涅耳波带片。假设上述光阑包含20个波带，让10个奇数波带通光，而10个偶数波带不通光，则P0点的振幅为光阑不存在时的振幅光强：光强约为光阑不存在时的400倍！菲涅耳波带片的聚光作用类似一个普通的透镜，所以又称为菲涅耳透镜。菲涅耳波带片是对应于距离为的轴上点P0设计的，当用单色平面波垂直照射波带片时，将在P0点呈现一亮点，该点称为波带片的焦点，距离称为波带片的焦距。单色平面波的菲涅耳波带片为平面圆环（教材244页图6-43），外圆半径满足计算式菲涅耳波带片的焦距为菲涅耳波带片对有限远的点光源也有一个类似普通薄透镜的成像关系式。成像公式：即：S’为亮点，所以必须满足该式。菲涅耳波带片和普通透镜在成像方面的主要不同点：除了P0这个焦点（称为主焦点）外，还有一系列光强较小的次焦点，它们距离波带片分别为，此外，还有一系列与实焦点对称的虚焦点。相邻波带到点的光程差：。相邻波带到点的光程差：。相邻波带到点的光程差：。适应波段范围非常广。比如用金属薄片制作的波带片，由于透明环带没有任何材料，可以在从紫外到软X射线的波段内作透镜用，而普通玻璃透镜只能在可见光区内使用。此外，还可以制作声波和微波的波带片。波带片的焦距与波长密切相关，其数值与波长成反比。波带片的色差比普通透镜大得多，色差较大是波带片的主要缺点。长条形波带片方形波带片方形波带片的应用：衍射式激光准直仪在焦点处会聚成平行于波带片条带的明亮直线在焦点处会聚成十字亮线四、菲涅耳直边衍射可由振幅矢量加法得到的科纽（Cornu）螺线进行说明。6.7全息术一、引言全息术（全息照相）是利用干涉和衍射方法来获得物体完全逼真的立体像的一种成像技术。全息术是由盖伯（D.Gabor）最早于1948年提出的。1960年以来激光的出现，解决了高相干性与高强度光源问题，全息术得到了迅速的发展，并在许多领域获得成功的应用。普通照相：根据几何光学成像原理，通过照相物镜记录下物体发出的或散射的光波强度（即振幅），将空间物体成像在一个平面上，由于失去了光波的相位信息，因而失去了物体的三维特征：不再存在视差；改变观察角度时，不能看到像的不同侧面。根据惠更斯---菲涅耳原理，光波在传播路径中一个平面上的复振幅分布唯一地确定它后面空间的光场，或者说，该平面上的复振幅分布完全代表其对平面后面空间任一点的作用。只要设法将一个平面上的复振幅分布记录下来，并再现出来，这时即使物体不存在，光场中的一切效应，包括对物体的观察，将完全与物体存在时一样。全息照相就是一种记录复振幅分布并能将其再现出来的方法，所产生的像是完全逼真的立体像，当以不同的角度