第24讲　三角函数的性质与图象（原卷版）

第24讲三角函数的性质与图象基础知识1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).

(2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质和图象(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈R,且x≠kπ+π2值域

奇偶性

奇函数周期2π2ππ单调性[2kπ-π2,2kπ+π2]上为增函数;[2kπ,2kπ+π]上为减函数;上为增函数

(kπ-π2,kπ+π2零点kππ2+kkπ对称轴x=kπ+π

无对称中心

(kπ+π2,0(kπ2常用结论1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期T=2π|ω|,函数y=Atan(ωx+φ)的周期2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12T,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14T,其中T为周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T,其中分类探究探究点一三角函数的定义域例1(1)函数f(x)=-2tan(2x+π6)的定义域是 (A.{x∈R|x≠π6B.{x∈R|x≠-π12C.{x∈R|x≠kπ+π6(k∈ZD.{x∈R|x≠kπ2+π6((2)当x∈[0,2π]时,y=tanx+-cosx的定义域为A.[0,π2) B.(πC.[π,3π2) D.(3π2[总结反思]求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图象来求解.变式题函数f(x)=1+2sinx的定义域为探究点二三角函数的值域或最值例2(1)函数f(x)=2cosx+cos2x+2(x∈R)的最大值是 ()A.12 B.5 C.6 D.(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为.

(3)已知函数f(x)=sin(x+π6),其中x∈[-π3,a],若f(x)的值域是[-12,1],则实数a[总结反思]求解三角函数的值域(最值)的几种方法:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可设t=sinx,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).变式题函数f(x)=sin(2x+π3)(0≤x≤5π12)的值域为 (A.[-12,1] B.[0,1C.[0,1] D.[-12探究点三三角函数性质的有关问题 微点1三角函数的周期性例3(1)函数f(x)=tanx1+tan2xA.π4 B.π2 C.π D(2)给出下列函数:①y=cos|2x|;②y=|cosx|;③y=cos(2x+π6);④y=tan(2x-π4).其中周期为π的是 (A.①②③ B.①③④C.②④ D.①③[总结反思]求三角函数的周期的常用方法:(1)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的周期T=2π|ω|,函数y=Atan(ωx+φ)的周期(2)图象法:利用三角函数图象的特征求周期.微点2三角函数图象的对称性和奇偶性例4(1)曲线y=2sin(ωx+π4)(ω>0)的一个对称中心的坐标为(3,0),则ω的最小值为(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,且f(π12)=2,则(3)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,将y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位可以得到一个奇函数的图象,将y=f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位可以得到一个偶函数的图象,则|a-b|的最小值为 ()A.0 B.π8 C.π4 D[总结反思](1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图象的相邻两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则周期T=2|b-a|;②若函数图象相邻的两个对称中心分别为点(a,0),点(b,0),则周期T=2|b-a|;③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则周期T=4|b-a|.微点3三角函数的单调性例5(1)下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|(2)(多选题)将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π12个单位得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,π2]上是增函数,则实数ω的可能取值为 (A.23 B.1 C.56 D[总结反思](1)解决形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图象利用y=sinx的单调性求解.如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.(2)已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asint的单调区间的子区间列不等式(组)求解.▶应用演练1.【微点1】(多选题)下列函数中,周期为π2的是 (A.y=sin|x| B.y=cos|4x|C.y=|tanx| D.y=|sin2x|2.【微点2】若函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,对任意的x都有f(x)=f(2-x),则sin(ω+φ)等于 ()A.±3 B.0 C.±1 D.±23.【微点3】若函数g(x)=sin(ωx+π4)的图象关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)上单调递增,则ω的值为 (A.π2 B.C.π4 D.4.【微点3】若函数f(x)=cos(2x-π6)在(-a,a)上没有最小值,则a的最大值为 (A.π12 B.πC.5π12 D同步作业1.函数f(x)=tan(x+π6)的周期为 (A.π3 B.πC.π D.2π2.函数f(x)=cos(2x+π6)的图象的一条对称轴方程为 (A.x=π6 B.x=C.x=2π3 D.x=-3.函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象是 ()图K24-14.已知函数f(x)=sin(2x-π6),则下列四个结论中正确的是 (A.函数f(x)的图象关于点(5π12,0)B.函数f(x)的图象关于直线x=-π8C.函数f(x)在区间(-π,π)内有4个零点D.函数f(x)在区间[-π2,0]5.已知函数f(x)=sinx+acosx(a∈R)图象的一条对称轴是直线x=π6,则a的值为 (A.5 B.5 C.3 D.36.函数y=cos2x+sinx-1的值域为 ()A.（-∞,14] B.[0,1C.[-2,14] D.[-7.函数f(x)=3tan(2x+π3)的图象的对称中心是8.函数y=a-bcos3x(b<0)的最大值为32,最小值为-12,则y=sin(4a-b)πx的周期是 (A.13 B.C.π3 D.9.已知函数f(x)=sinx①f(x)不是周期函数;②f(x)是奇函数;③f(x)的图象关于直线x=π4对称;④f(x)在x=5π2其中所有正确结论的编号是 ()A.①③ B.②④C.①③④ D.①②④10.已知函数f(x)=4sin（3x-π6）的定义域为[0,m],值域为[-2,4],则m的取值范围是 (A.（2π9,4π9） B.（2π9C.[2π9,4π9] D.[2π911.若函数f(x)同时满足以下三个性质:①f(x)的周期为π;②对任意的x∈R,都有f(x-π4)+f(-x)=0;③f(x)在(3π8,π2)则f(x)的解析式可能是 ()A.f(x)=cos(x+π8B.f(x)=sin2x-cos2xC.f(x)=sinxcosxD.f(x)=sin2x+cos2x12.(多选题)关于函数f(x)=|cos2x-sin2x|+1,下列说法正确的是 ()A.函数f(x)在x=kπ2(kB.函数f(x)以π2为周期且在区间(π4,πC.函数f(x)是偶函数且在区间(π4,π2D.将f(x)的图象向右平移1个单位得到g(x)=|cos(2x-1)|+1的图象13.已知函数f(x)=2cos(ωx+π4)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称,且在(π2,π)上单调递增