数列与平面向量练习题

数列局部：1.等比数列中，，=4，函数，那么〔〕A．B.C.D.2.〔〕A.B.C.2D.不存在3、在等比数列中，，公比.假设，那么m=〔〕〔A〕9〔B〕10〔C〕11〔D〕124.数列的首项，其前项的和为，且，那么——〔A〕0〔B〕〔C〕1〔D〕25、是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，那么数列的前5项和为〔〕〔A〕或5〔B〕或5〔C〕〔D〕6、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，那么以下等式中恒成立的是〔〕A、 B、C、 D、7、如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，那么=〔〕A．2B.C.4D.68．设等差数列的前n项和为,假设,,那么当取最小值时,n=〔〕A．6 B．7 C．8 D．99、等比数列满足，且，那么当时，()A.B.C.D.10、设等比数列{}的前n项和为，假设=3，那么=〔〕A.2B.C.D.311、等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。假设=1，那么=()A.7B.8C12、为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，那么使得到达最大值的是〔〕A.21B.20C.19D.1813、数列的通项，其前项和为，那么为〔〕A．B．C．D．14、数列满足：那么________；=_________.15、等差数列{}前n项和为。+-=0，=38,那么m=_______16、设等差数列的前n项和为,假设,那么.17、将正⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕个全等的小正三角形〔图2，图3分别给出了n=2,3的情形〕，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数〔当数的个数不少于3时〕都分别依次成等差数列，假设顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=_______________.18、设，，，，那么数列的通项公式=．19、设，将的最小值记为，那么其中=__________________.20、数列满足那么的最小值为__________.21．假设数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，那么得到一个新数列．例如，假设数列是，那么数列是．对任意的，，那么，．解答题：1、在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。〔Ⅰ〕假设=，证明，，成等比数列〔〕〔Ⅱ〕假设对任意，，，成等比数列，其公比为。证明：〔i〕是等差数列。(ii)对任意,,有2、数列中，是函数的极小值点〔Ⅰ〕当a=0时，求通项；〔Ⅱ〕是否存在a，使数列是等比数列？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，请说明理由。3、设各项均为正数的数列的前n项和为，，数列是公差为的等差数列。〔1〕求数列的通项公式〔用表示〕；〔2〕设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。4、在数列中，〔I〕设，求数列的通项公式〔II〕求数列的前项和5、设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。〔1〕求数列的通项公式及前项和；〔2〕试求所有使得为数列中的项的正整数的值。6、数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.〔Ⅰ〕分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；〔Ⅱ〕证明：，且；〔Ⅲ〕证明：当时，成等比数列.7、对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中〔和可以相等〕；对于随机选取的〔和可以相等〕，记为关于的一元二次方程有实数根的概率。〔1〕求和；〔2〕求证：对任意正整数≥2，有.8、等比数列{}的前n项和为，对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.〔1〕求r的值；〔11〕当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立。9、曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕证明：.10、首项为正数的数列满足〔I〕证明：假设为奇数，那么对一切都是奇数；〔II〕假设对一切都有，求的取值范围.11、各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有〔1〕当时，求通项〔2〕证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有12、数列的前n项和〔n为正整数〕。〔Ⅰ〕令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(Ⅱ〕令，试比拟与的大小，并予以证明。13、数列满足，.猜测数列的单调性，并证明你的结论；〔Ⅱ)证明：。14、等差数列{}的公差为d〔d0〕，等比数列{}的公比为q〔q>1〕。设=+…..+,=-+…..+(-1,n假设==1，d=2，q=3，求的值；假设=1，证明〔1-q〕-〔1+q〕=，n；(Ⅲ)假设正数n满足2nq，设的两个不同的排列，，证明。15、设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。〔I〕求数列的通项公式；〔II〕记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；〔III〕设数列的前项和为。正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。16、是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。假设，是否存在，有说明理由；找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；假设试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。17、设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．〔Ⅰ〕假设，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；〔Ⅱ〕假设每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；平面向量局部：1、平面上O,A,B三点不共线，设，那么△OAB的面积等于〔〕(A)(B)(C)(D)2、向量a，b满足，那么〔〕A.0B.C.4D.83、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，那么〔〕〔A〕8〔B〕4〔C〕2〔D〕14、定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的选项是〔〕A.假设与共线，那么B.C.对任意的，有D.5、在中，=90°AC=4，那么等于〔〕A、-16B、-8C、8D、166．和点M满足.假设存在实数m使得成立，那么m=()A．2B．3C．4D．57、平面向量满足，且与的夹角为120°，那么的取值范围是__________________.8.向量，满足，，与的夹角为60°，那么9、在中，,,,那么.10.假设向量=〔1,1,x〕,=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件，那么=.11、设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，那么它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()wA．B.4C． 12、向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么()A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向13、设P是△ABC所在平面内的一点，，那么〔〕A.B.C.D.14、设、、是单位向量，且·＝0，那么的最小值为 ()A. B. C.D.15、是两个向量集合，那么() A．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝16、向量，那么() A.B.C.D.17、平面向量a与b的夹角为，，那么()A.B.C.4D.218、O，N，P在所在平面内，且，且，那么点O，N，P依次是的()A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心19、，那么向量与向量的夹角是〔〕A． B． C． D．20、函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于() 21、假设平面向量，满足，平行于轴，，那么22、向量和向量的夹角为，，那么向量和向量的数量积=.23、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如下图，点C在以O为圆心的圆弧上变动.假设其中,那么的最大值是________.24、向量，，，假设∥，那么=．解答题：1、在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数t满足()·=0，求t的值。2、设向量〔1〕假设与垂直，求的值；〔2〕求的最大值;〔3〕假设，求证：∥.3、向量与互相垂直，其中．〔1〕求和的值；〔2〕假设，求的值．4、在，，求角A，B，C的大小.5、△顶点的直角坐标分别为.(1〕假设，求sin∠的值;〔2〕假设∠是钝角，求的取值范围.图4图46、如图，点和单位圆上半局部上的动点．⑴假设，求向量；⑵求的最大值．参考答案数列局部：1.C2.B3.C4.B5.C6.D7.C8.A9.C10.B11.C12.B13.A14.1,015.1016.117.18.19.20.21.2，解答题：1、〔Ⅰ〕证明：由题设，可得。所以==2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。〔Ⅱ〕证法一：〔i〕证明：由成等差数列，及成等比数列，得当≠1时，可知≠1，k，从而所以是等差数列，公差为1。〔Ⅱ〕证明：，，可得，从而=1.由〔Ⅰ〕有所以因此，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m()假设m=1,那么.假设m≥2，那么+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1〔〕所以从而···综合〔1〕〔2〕可知，对任意,,有证法二：〔i〕证明：由题设，可得所以由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。〔ii〕证明：因为所以。所以，从而，。于是，由〔i〕可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得=，故。从而。所以，由，可得。于是，由〔i〕可知以下同证法一。2、3、〔1〕由题意知：，，化简，得：，当时，，适合情形。故所求〔2〕〔方法一〕，恒成立。又，，故，即的最大值为。〔方法二〕由及，得，。于是，对满足题设的，，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，那么符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。4、〔I〕由有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()〔II〕由〔I〕知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=5、〔1〕设公差为，那么，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得,(2)〔方法一〕=,设，那么=,所以为8的约数〔方法二〕因为为数列中的项，故为整数，又由〔1〕知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。6、〔Ⅰ〕由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.由于都属于数集，∴该数集具有性质P.〔Ⅱ〕∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，由于，∴，故.从而，∴.∵，∴，故.由A具有性质P可知.又∵，∴，从而，∴.〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，当时，有，即，∵，∴，∴，由A具有性质P可知.，得，且，∴，∴，即是首项为1，公比为成等比数列。7、8、解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,〔2〕当b=2时，,那么,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成立.那么当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.9、解：〔1〕设直线：，联立得，那么，∴〔舍去〕，即，∴〔2〕证明：∵∴由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，那么有，即.10、解：〔I〕是奇数，假设是奇数，其中为正整数，那么由递推关系得是奇数。根据数学归纳法，对任何，都是奇数。〔II〕〔方法一〕由知，当且仅当或。另一方面，假设那么；假设，那么根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。〔方法二〕由得于是或。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。11、解：〔1〕由得将代入化简得所以故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为那么考察函数,那么在定义域上有故对，恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.12、解〔I〕在中，令n=1，可得，即当时，，..又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由〔I〕得，所以由①-②得于是确定的大小关系等价于比拟的大小由可猜测当证明如下：证法1：〔1〕当n=3时，由上验算显示成立。〔2〕假设时所以当时猜测也成立综合〔1〕〔2〕可知，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时13、证明〔1〕由由猜测：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：〔1〕当n=1时，已证命题成立〔2〕假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合〔1〕和〔2〕知，命题成立〔2〕当n=1时，，结论成立当时，易知14、〔Ⅰ〕解：由题设，可得所以，〔Ⅱ〕证明：由题设可得那么①②式减去②式，得式加上②式，得③eq\o\ac(○,3)式两边同乘q，得所以，(Ⅲ)证明：因为所以假设，取i=n假设，取i满足且由〔1〕,(2)及题设知，且当时，得即，…，又所以因此当同理可得，因此综上，15、解：〔Ⅰ〕当时，又数列成等比数列，其首项，公比是……..3分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知=又当当〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知一方面，恒成立，取n为大于1的奇数时，设那么>对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有当n为偶数时，设那么<当n为奇数时，设那么<对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4………….14分16、[解法一]〔1〕由，得，．．．．2分整理后，可得，、，为整数，不存在、，使等式成立。．．．5分〔2〕假设，即，〔*〕〔ⅰ〕假设那么。当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．7分〔ⅱ〕假设，〔*〕式等号左边取极限得，〔*〕式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．10分【解法二】设那么假设d=0，那么假设〔常数〕即，那么d=0，矛盾综上所述，有，10分〔3〕设.，.13分取15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得〔4-1〕2s+2=4M1+1,故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.说明：第〔3〕题假设学生从以下角度解题，可分别得局部分〔即分步得分〕假设p为偶数，那么am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数故此等式不成立，所以，p一定为奇数。当p=1时，那么am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分当p=3时，那么am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3〔4m+9〕=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,4m+9=3k成立2分当p=5时，那么am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5〔4m+13〕=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在故不是所有奇数都成立.2分17、解：〔I〕因是公比为d的等比数列，从而由，故