平面力系-平面汇交力系（理论力学）

平面汇交力系合成的几何法及平衡的几何条件平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交与一点的力系。一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则由力的平行四边形法则作图（左），也可用力的三角形来作图（右）。矢量表达式为：F1+F2=FRAF1F2FR

A力三的角形F2

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0FRF1各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。F3F2F1F4AF1F2F4FRabcdeF12力多边形

各分力矢首尾相连，组成一个不封闭的力多边形。封闭边表示合力的大小和方向。bcdF4F1F2F3FRaeF3结论平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。

用矢量式表示为：二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示，即：在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。例2-1

已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。①选铰链C为研究对象②取分离体画受力图解：由于BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与FAC和外力P构成一平面汇交力系且平衡。由平衡的几何条件—力多边形封闭，得ACPBPFBCFAC由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于此题也可用力多边形方法用比例尺去量。几何法解题步骤：①选研究对象；

②作出受力图；

③作力多边形，选择适当的比例尺；

④求出未知数几何法解题不足：①精度不够，误差大；②作图要求精度高；

③不能表达各个量之间的函数关系。平面汇交力系合成的解析法及平衡的解析条件一、力在坐标轴上的投影Fy投影：FxF分力：FxOFyxy

A已知力可求投影Fx=F·cosθFy=F·cosβ=F·sinθ（力在坐标轴上的投影为代数量）反之，已知投影可求力的大小和方向：力的大小：力的方位：力的正交分解：i,j

分别是x和y轴方向的单位矢量。二、合理投影定理合矢量在某一轴上的投影等于其各分矢量在同一轴上的投影的代数和。证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1，F2，F3。AF2F1F3F1F2FRF3xABCD由图知

ad=ab+bc+(-dc)FRx=

F1x+F2x+

F3xF1F2FRF3ABCD(b)F1x=ab,

推广到任意多个力F1，F2，

Fn组成的平面汇交力系，可得abcd各力在x轴上投影F2x=bc,

合力FR在x轴上投影得

FRx=adF3x=-dc合力的大小合力F的方向余弦根据合力投影定理得yxBFyFx

FOFxFyA三、平面汇交力系合成的解析法FR

x=

F1x+F2x+

+Fnx=

FxFRy=

F1y+F2y+

+Fny=

FyFR=

Fx2+Fy2=(

Fx)2+(

Fy)2θ平面共点力系平衡的充要解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。平面共点力系的平衡方程：四、平面汇交力系平衡的解析条件

∑Fx=0∑Fy=0③列平衡方程代入下式解得：ACPB①选铰链C为研究对象②取分离体画受力图④解平衡方程例2-2已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。PFBCFACxy解：解析法求解平面共点力系平衡问题的一般