高等数学（财经类） 课件全套 吕小俊 第1-6章 函数和极限 - 微分方程

第一章函数和极限

§1.1函数

CONTENT1函数2初等函数3三角函数目录4反三角函数5区间函数Chapter1前言

宇宙间的一切事物都在不断地变化,变化是绝对的,不变是相对的。在我们的日常生活中,我们会遇到各种各样的量,比如温度、产量、面积等,这些量是变化的,而相对的一些量是不变的。我们称变化着的量为变量,相对不变的量为常量。自变量因变量1、函数的概念定义1设x,y是两个变量,D是一个给定的非空数集.如果对于每个数,变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应,那么称y是x的函数,记作其中,x称为自变量,y称为因变量.f是函数符号,它表示x与y的对应法则.数集D称为这个函数的定义域,也记为Df,即.1、函数的概念

对

,按照对应法则

f,

总有确定的值

y0(记为f(x0))与之对应,称

f(x0)为函数在点

x0处的函数值.因变量与自变量的这种相依关系通常称为函数关系.

当自变量x取遍D的所有数值时,对应的函数值

f(x)的全体构成的集合称为函数

f的值域,记为Rf或

f(D),即1、函数的概念注：构成函数的要素为：定义域与对应法则.它们的定义域和对应法则均相等.定义域的确定：(1)对实际问题,根据问题的实际意义确定；(2)对抽象函数表达式,约定:定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合.例如两函数相等1、函数的概念例1判断下列函数是否相同.解

(1)

的定义域为

所以的定义域为1、函数的概念例1判断下列函数是否相同.解

(2)

对应法则不同

所以1、函数的概念显函数：函数

y由

x的解析表达式直接表示.例如：隐函数：函数的自变量

x与因变量

y的对应关系由方程

来确定.例如：分段函数：函数在其定义域的不同范围内,具有不同的解析表达式.1、函数的概念例2

绝对值函数的定义域,值域.例3符号函数的定义域,值域.1、函数的概念例4

取整函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.例如,取整函数的定义域,值域.2、函数的几何特性（1）.函数的有界性

定义2

设函数f(x)的定义域为D,数集,若存在一个正数M,使得对一切,恒有,则称函数f(x)在X上有界,或称f(x)是X上的有界函数.函数的界2、函数的几何特性注：定义中的正数M不存在,则称f(x)在X上无界,或称f(x)是X上的无界函数.结论：f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.几何意义：曲线

y=f(x)的图像在区间D内被限制在y=-M和

y=M两条直线之间.2、函数的几何特性注：(1)若函数在某区间内有界,则正数M的取值不唯一.例如：在内有界,我们也可以取M=2.(2)有界性与区间有关.例如：在区间

(1,2)内有界,但在区间

(0,1)内无界.2、函数的几何特性（2）.函数的单调性

定义3

设x1和x2为区间(a,b)内的任意两个数,若当x1<x2时函数值,则称函数f(x)在区间(a,b)内单调增加或递增(如图1所示);若当x1<x2时有,则称函数f(x)在区间(a,b)内单调减少或递减(如图2所示).例

讨论函数的单调性.解函数的定义域为任取且则即所以,f(x)在区间内是单调增加的.单调增加或单调减少的函数,统称为单调函数.相应的区间称为函数的单调区间.2、函数的几何特性2、函数的几何特性（3）.函数的奇偶性

定义4

设函数f(x)的定义域D关于原点对称,若对任意的,恒有,则称f(x)为奇函数；若对任意的,有,则称f(x)为偶函数.注：偶函数的图形关于y轴对称(如图a);奇函数的图形关于原点对称(如图b).2、函数的几何特性例如

函数

是奇函数,函数

是偶函数,而函数

既不是奇函数又不是偶函数.例5

判断函数

的奇偶性.解

因为函数的定义域为,且所以f(x)为奇函数.2、函数的几何特性（4）.函数的周期性

定义5

设函数f(x)的定义域为D,若存在常数T>0,使对任意的,恒有成立,则称

f(x)为周期函数,满足上式的最小正数

T称为f(x)的周期.注：若f(x)是周期为T的周期函数,则在长度为T的两个相邻的区间上,其函数图形的形状相同.

2、函数的几何特性（4）.函数的周期性

定义5

设函数f(x)的定义域为D,若存在常数T>0,使对任意的,恒有成立,则称

f(x)为周期函数,满足上式的最小正数

T称为f(x)的周期.例如三角函数

sinx与cosx均是R上的周期函数,周期均为

.

tanx是周期为

的周期函数.初等函数Chapter2第一部分：反函数定义6

设函数

y=f(x)的定义域为D,值域为Rf,对任一,都有唯一确定的

与之对应,且满足

f(x)=y,则x是定义在Rf上,以y为自变量的函数,称为函数

y=f(x)的反函数,记为2.通常将反函数记作

;4.函数与其反函数的图像关于直线

y=x对称;5.单调函数一定存在反函数.注：1.与互为反函数;3.的定义域与值域分别为

y=f(x)的值域与定义域;

函数与其反函数第一部分：反函数

反函数的图像:

的图像关于直线

y=x对称.

定义域为D,值域为Rf

第一部分：反函数

求反函数的步骤：解出,交换x和y反函数.

第一部分：反函数例7求函数的反函数.解

的定义域为

值域为交换x和y,得反函数第二部分：基本初等函数常值函数:

定义域：函数图像：与x轴平行或重合.基本初等函数包括:

常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.第二部分：基本初等函数幂函数:

定义域：(为实数)当取不同值时,定义域也不同.1.当时,函数图像：过原点(0,0)和(1,1),在内单调增加且无界.2.当时,函数图像：单调减少且无界,曲线以x轴和y轴过点(1,1),在内为渐近线.第二部分：基本初等函数指数函数:

定义域：(a为常数)1.当时,函数图像:在x轴上方,且过点(0,1).函数单调增加且无界,值域：x轴的负半轴是曲线的渐近线.2.当时,函数单调减少且无界,x轴的正半轴是曲线的渐近线.第二部分：基本初等函数对数函数:

定义域：(a为常数)1.当时,函数图像:在y轴右方,且过点(1,0).函数单调增加且无界,值域：y轴的负半轴是曲线的渐近线.2.当时,函数单调减少且无界,y轴的正半轴是曲线的渐近线.第二部分：基本初等函数指数函数与对数函数互为反函数.由指数函数和对数函数的图像可知,定义域：值域：交换x和y,得反函数第二部分：基本初等函数正弦函数:

定义域：三角函数包括:

值域：函数是以为周期的周期函数,是奇函数,也是有界函数.第二部分：基本初等函数余弦函数:

定义域：值域：函数是以为周期的周期函数,是偶函数,也是有界函数.注:

正弦函数的图像沿x轴向左平移,即得余弦函数的图像.正割函数:

余割函数:

第二部分：基本初等函数正切函数:

函数是奇函数,并以为周期,

在内单调增加,直线为其渐近线.定义域：值域：第二部分：基本初等函数余切函数:

值域：函数是奇函数,并以为周期,

在内单调减少,直线为其渐近线.定义域：第二部分：基本初等函数

对于值域中的任何

y值,三角函数的自变量

x均有无穷多个值与之对应,因此在整个定义域上所有三角函数都不存在反函数.注：只有限制

x的取值范围后,才能考虑其反函数.

第二部分：基本初等函数反正弦函数:

定义域：反三角函数包括:

值域：函数图像:是单调增加的奇函数.反正弦函数是正弦函数在主值区间上的反函数.第二部分：基本初等函数反余弦函数:

定义域：值域：函数图像:是单调减少的非奇非偶函数.反余弦函数是余弦函数在主值区间上的反函数.第二部分：基本初等函数反正切函数:

定义域：值域：函数图像:是单调增加的奇函数.反正切函数是正切函数在主值区间上的反函数.第二部分：基本初等函数反余切函数:

定义域：值域：函数图像:是单调减少的非奇非偶函数.反余切函数是余切函数在主值区间上的反函数.第三部分：复合函数定义7

设函数

y=f(u)的定义域为Df,而函数u=g(x)的值域为Rg,若,则称函数

y=f[g(x)]为函数

y=f(u)和u=g(x)的复合函数,其中,x称为自变量,y称为因变量,u称为中间变量.(2)复合函数还可以由两个以上的函数复合而成,即中间变量可以有多个.注:(1)只有当

时,两个函数才可以构成一个复合函数.第三部分：复合函数例10

第四部分：初等函数定义8由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合,并在定义域内由一个解析式表示的函数,称为初等函数.例如

都是初等函数.第四部分：初等函数形如

的函数,称为幂指函数,其中f(x)和g(x)均为初等函数,且

f(x)>0,由恒等式

可知,幂指函数为初等函数.例如

1.等都是幂指函数,因此都是初等函数.2.分段函数一般不是初等函数.三角函数Chapter3*第一部分：三角函数三角函数公式正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数第二部分：三角函数常用公式常用公式：

1.倍角公式：

2.平方公式：3.半角公式：4.和差公式：第二部分：三角函数常用公式常用公式：

5.和差化积：

反三角函数Chapter4*第一部分：反三角函数反三角函数公式反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数限制三角函数x的取值区间,使其在所选区间上为单调函数,则存在三角函数的反函数,即反三角函数.区间Chapter5*第一部分：区间开区间：

实数集

a,b称为区间的端点,这些区间统称为有限区间,它们都可以用数轴上长度有限的线段来表示,如闭区间：

实数集

半开半闭区间：

第一部分：区间无限区间：

第二部分：邻域定义9

设

为某个正数,实数集,即开区间

称为点a的

邻域,记作,其中a称为邻域的中心,

称为邻域的半径.点a的邻域去掉中心a后的集合,即

称为点a的去心邻域,记为,其中

称为a的左邻域,称为a的右邻域.小结1.

函数的概念函数的定义，函数的运算，求函数的定义域，求函数的表达式等.2.

函数的特性有界性，单调性，奇偶性，周期性.3.

反函数反函数与直接函数互为反函数,它们的图像关于直线

y=x对称.小结4.

基本初等函数常值函数，幂函数，指数函数，对数函数三角函数，反三角函数.5.

复合函数简言之,复合函数就是函数的函数.6.

初等函数基本初等函数注意函数复合的条件.复合函数初等函数谢谢！

§1.2

数列和函数的极限

CONTENT1

数列的极限2收敛数列的性质目录3函数的极限4函数极限的性质引言

祖冲之(429年－500年),南北朝时期著名的数学家、天文学家,范阳郡遒县(今河北省涞水县)人,出生于丹阳郡建康县(今江苏省南京市),首次将“圆周率”精算到小数第七位,即在3.1415926和3.1415927之间,简化为3.1415926,被默认为是中国的“圆周率鼻祖”.引言

祖冲之(429年－500年),南北朝时期著名的数学家、天文学家,范阳郡遒县(今河北省涞水县)人,出生于丹阳郡建康县(今江苏省南京市),首次将“圆周率”精算到小数第七位,即在3.1415926和3.1415927之间,简化为3.1415926,被默认为是中国的“圆周率鼻祖”.引言

2009年,美国众议院正式通过一项无约束力决议,将每年的3月14日设定为“圆周率日”,

2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.引言

刘徽(约225年—约295年),魏晋时期著名数学家,山东省滨州邹平市人,是我国古代历史上第一位精确计算圆周率的数学家,他利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法:割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.引言

刘徽在数学上的主要成就之一就是为《九章算术》做注解,创立割圆术来计算圆周率的方法,含有极限观念,他正确地计算出圆内接正192边形的面积,得出圆周率的近似值为3.14.在此基础上,他又进一步算出圆内接正3072边形的面积,得到圆周率的近似值为3.1416,等于现在通常计算中所规定的π值.引言

2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程师爱玛(EmmaHarukaIwao)在谷歌云平台的帮助下,计算到圆周率小数点后31.4万亿位,即3.1415926535897,打破世界纪录！以往人们都是用超级计算机计算π,爱玛是第一个运用云计算进行计算的人.引言

2021年8月17日,美国趣味科学网站报道,瑞士研究人员使用一台超级计算机,历时108天,将著名数学常数圆周率π计算到小数点后62.8万亿位,创下该常数迄今最精确值记录.引言割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽播放引言正六边形面积正十二边形面积……正边形面积数列的极限Chapter1数列:第一部分：数列的概念自变量为正整数的函数其函数值按自变量n由小到大排列成的一列数称为数列,简记为其中称为数列的通项或一般项.

由于一个数列完全由其一般项所确定,故也把数列简称为数列例11第二部分：数列的极限(1)(2)(3)(4)第二部分：数列的极限当n无限增大时,数列(1)的一般项无限接近于0;当n无限增大时,数列(2)的一般项无限接近于1;当n无限增大时,数列(3)的一般项

不是1,就是-1,

不接近于任何确定的常数;当n无限增大时,数列(4)的一般项无限增大,也不

接近于任何确定的常数.观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限播放观察数列当时的变化趋势.实验表明:当n无限增大时,上述数列无限接近于1.思考:“无限接近”意味着什么？第二部分：数列的极限第二部分：数列的极限定义10如果当n无限增大时,数列an无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做数列an的极限或说数列an收敛于A,记为

如果数列an没有极限,就称数列an发散.

读作“当n趋于无穷大时,数列an的极限等于A或an趋于A”.例11或第二部分：数列的极限数列极限的严格数学定义定义11*

设有数列{xn}与常数a,若对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xn,不等式都成立,则称常数a为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为说明：(1)正数

是任意给定的(既是任意的,又是给定的).用来刻画“xn无限趋近于a”的程度,越小,xn越接近于a；

(2)正整数N是随

而定的,即N与

有关,用来刻画“n无限增大”的程度.数列极限的严格数学定义几何意义：若,则对于任给的>0,无论它多么小,都存在正整数N,在{xn}中,从第N+1项开始以后所有各项全部落在a的

邻域中,在这个邻域之外,最多只有{xn}的有限项.第二部分：数列的极限例12证明证

对任意给定的,要使不等式

成立,只需.因此,若取

时,有,从而有

由定义可知,收敛数列的性质Chapter2*第一部分：收敛数列的性质定理1*(唯一性)

若数列{xn}收敛,则其极限是唯一的.定理2*(有界性)

收敛数列是有界的.注:

定理2的逆命题不成立,即有界数列未必收敛.如

是有界数列,但它没有极限.第一部分：收敛数列的性质定理3*(保号性)

若,且

a>0(或a<0),则必存在正整数N,当n>N时,恒有xn>0(或xn<0).推论*若数列{xn}从某项起有xn>0(或xn<0),且若,则

定理4*(收敛数列与其子数列间的关系)

若数列{xn}收敛于a,

则它的任一子数列也收敛于a.函数的极限Chapter3第一部分：时函数的极限定义12如果当x的绝对值无限增大(即

时),函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当

时的极限,记为注:

自变量x的绝对值无限增大指的是：x既可以取正值,也可以取负值,但其绝对值无限增大.第一部分：时函数的极限定义13’

当(或)时,函数

f(x)趋近于常数A,则称常数A为(或)时的极限,记为注：第二部分：时函数极限的严格数学定义定义4*设函数f(x)在(M为正的常数)时有定义,A为常数,若对任意给定的正数(不论多么小),总存在正数X,使当

时,恒有则称常数A为

时函数f(x)的极限,记为第二部分：时函数极限的严格数学定义几何意义：

表示作直线

和,则总存在一个正数X,使得当

时,函数

y=f(x)的图形位于这两条直线之间

练习例13用定义证明

证

对任意给定的,要使

只需,因此,取,则当

时,必有

于是由定义4知,

练习例14讨论极限

是否存在.

解

由函数

的图形可知,

由于故

不存在.

第三部分：水平渐近线水平渐近线：若,则称直线

y=C为函数

y=f(x)图形的水平渐近线.例如,例13中直线

y=0为

的水平渐近线;例14中直线

及

均为

的水平渐近线.第四部分：时函数的极限考察函数当x分别从左侧和右侧趋于0.5时的变化趋势见下表.x00.10.30.40.49…0.5…0.510.60.91f(x)11.21.61.81.98…2…2.022.22.83由表可知,当x无限接近于0.5时,f(x)趋于常数2.我们称当时,函数f(x)的极限为2.则当时,函数f(x)的极限为2.令第四部分：时函数的极限定义14如果当x无限接近于定值

x0,即当

时(在

x0处可以无定义),函数

f(x)无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数

f(x)当

时的极限,记为

特例：

第五部分：时函数极限的严格数学定义定义15*设函数

f(x)在

x0的某去心邻域内有定义,A为常数.若对任意给定的(无论

多么小),总存在,使当

时,恒有则称常数A为函数

f(x)当

时的极限,记为说明：

(1)函数极限与

f(x)在点

x0处是否有定义无关；(2)与任意给定的正数

有关；第五部分：时函数极限的严格数学定义说明：(3)的几何解释:任意给定一正数,作平行于x轴的两条直线

和.根据定义,对于给定的,存在点

x0的一个

去心邻域,当

y=f(x)的图形上的点的横坐标

x落在该邻域内时,这些点对应的纵坐标落在带形区域

内.第六部分：左、右极限左极限：当

时,函数

f(x)趋于常数A,则称A为

f(x)在点

x0处的左极限,记为,简记为右极限：当

时,函数

f(x)趋于常数A,则称A为

f(x)在点

x0处的右极限,记为,简记为注：

练习例15用定义证明.

证

当

时,任意给定,要使只要取,则当

故由定义6知

练习例16设,讨论

是否存在.

解

因为所以

不存在.

练习例17设,求.

解

因为所以

练习例18设,求.

解

因为所以

不存在.函数极限的性质Chapter4第一部分：函数极限的性质定理5*

(1)(唯一性)若

存在,则其极限值唯一；

(2)(局部有界性)若

存在,则函数

f(x)在

x0的某去心邻域内有界；

(3)(局部保号性)若,且

A>0(或

A<0),则在

x0的某去心邻域内恒有(4)若,且在

x0的某去心邻域内

f(x)>0(或

f(x)<0),则有小结1.

数列极限的概念2.

收敛数列的性质

收敛:

数列没有极限.

发散:小结3.

函数极限的概念4.

函数左、右极限的概念5.

极限存在与左、右极限之间的关系时函数的极限:时函数的极限:或或或谢谢！

引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽返回观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限返回§1.3

无穷小与无穷大

CONTENT1无穷小2无穷大目录无穷小Chapter1第一部分：无穷小的概念定义16极限为零的变量(函数)称为无穷小.例如

(1)函数sinx是当

时的无穷小；(2)函数

是当

时的无穷小；(3)

是当

时的无穷小.第一部分：无穷小的概念说明：

(1)无穷小本质上是这样一个变量(函数)：在某个过程(如

或)中,该变量的绝对值能小于任意给定的正数.(2)无穷小不能与很小的数(如千万分之一)混淆,但零可以作为无穷小的唯一常数.(3)无穷小是相对于x的某个变化过程而言的.

例如,当

时,是无穷小；

当

时,不是无穷小.第一部分：无穷小的概念定理6*

的充分必要条件是其中

是当

时的无穷小.证*

必要性

设,则对任意给定的,存在,使当

时,恒有令,则

是当

时的无穷小,且第一部分：无穷小的概念定理6*

的充分必要条件是其中

是当

时的无穷小.证*

充分性

设

其中A为常数,是当

时的无穷小,于是

因为

是当

时的无穷小,故对任意给定的,存在,使当

时,恒有,即

从而.第二部分：无穷小的性质定理7(1)有限个无穷小的和或差仍为无穷小；(2)有限个无穷小的积仍为无穷小；(3)无穷小与有界函数之积是无穷小；

常数与无穷小之积仍为无穷小.

练习例19求

解

因

时,,故

时,为有界函数.又因

时,x为无穷小,由定理1知,当

时,为无穷小,即无穷大Chapter2第一部分：无穷大的概念定义17当

时,函数

f(x)的绝对值|

f(x)|无限增大(即大于预先给定的任意正数),则称函数

f(x)为

时的无穷大,记为若,则称函数

f(x)为

时的正无穷大(或负无穷大).例如第一部分：无穷大的概念是时的负无穷大量,是时的正无穷大量,即说明:无穷大是极限不存在的一种特殊情形.表示:极限不存在注:第一部分：无穷大的概念(1)无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;(2)无穷大量与自变量的变化过程有关;(3)无穷大量必无界,但反之不真.例如当时是无界的,但不是无穷大.第二部分：铅直渐近线铅直渐近线：

若,则称直线

为

y=f(x)图形的铅直渐近线.例如,

时,的绝对值无限增大,即当

时,是无穷大,故,

x=1为

的铅直渐近线.第三部分：无穷小与无穷大的关系定理8在自变量的同一变化过程中,若

f(x)为无穷大,则

为无穷小;反之,若

f(x)为无穷小,且,则

为无穷大.例如,因,故

；

因,故.

练习例20求解因为根据无穷小与无穷大的关系有小结1.

无穷小的概念及性质2.

无穷大的概念及铅直渐近线3.

无穷小与无穷大的关系

谢谢！

§1.4

极限运算法则

CONTENT1极限的四则运算法则2复合函数的极限目录极限的四则运算法则Chapter1第一部分：极限的四则运算法则定理9设

则第一部分：极限的四则运算法则注：

定理中的(1)和(2)可推广到有限个函数的情形.推论：

设

存在,C为常数,n为正整数,则有

练习例21求

解

推广：设,则

练习例22求

解

注：设有理分式函数,其中

分别为n次和m次多项式,且,则

练习求例23解商的法则不能用,又由无穷小与无穷大的关系,得

练习求例24解先约去不为零的公因式x-1

后再求极限,时,分子和分母的极限都是零(型),消去零因子法

练习求例25解时,分子和分母的极限都是无穷大(型),无穷小因子分出法先将分子分母除以x的最高次幂,分出无穷小,再求极限,

练习注:当m和n为非负整数时,有无穷小因子分出法:分子和分母同除以自变量的最高次幂，以分出无穷小,然后再求极限的方法.

练习例26求

解

当

时,题设极限是无穷多个无穷小之和,先变形再求极限.

练习例28已知,求常数

a,b.解

由于

于是,上式中分子多项式的次数应为零,故有

解得

练习例29求

解

由于

且|sinx+cosx|<2,故由无穷小的性质,得

复合函数的极限Chapter2第一部分：复合函数的极限定理10(变量替换定理)设

y=f(u)与

u=g(x)构成复合函数.若,且,又,则有

练习例30求解(法一)作变换

u=sinx,则当

时,,得

练习例30求解(法二)小结2.

复合函数的极限1.

极限的四则运算法则四则运算法则、“消去零因子法”、“无穷小因子分出法”、“有理化法”

变量替换定理：谢谢！

§1.5

极限存在准则与两个重要极限

CONTENT1极限存在准则2两个重要极限目录极限存在准则Chapter1第一部分：极限存在准则定理11(夹逼准则)(1)若数列{xn},{yn},{zn}满足下列条件：

1)2)

则数列{xn}的极限存在,且(2)假设在x0的某去心邻域内有,

且有

则极限limf(x)存在,

且有

练习例31求

解

设,因,又

由夹逼准则得

第一部分：极限存在准则定义18

若数列{xn}满足条件,则称数列{xn}是单调增加的；若数列{xn}满足条件,则称数列{xn}是单调减少的.

单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.定理12

单调有界数列必有极限.注：

收敛的数列必定有界,但有界的数列不一定收敛.

练习例32设有数列

求

解

显然,故数列{xn}是单调增加的.

下面用数学归纳法证明数列{xn}有界.因为,假定

,则有

故{xn}是有界的.

根据定理2知

存在.设,因为

练习解

例32设有数列

求

所以

即

解得

所以

两个重要极限Chapter2第一部分：两个重要极限1.注:

例如：看作看作(型)

练习例33

求

解

例34

求

解

第一部分：两个重要极限2.例如看作或(型)注：

或

练习例35（1）求

（2）

求

解

解

练习（3）

求

（4）求

解

解

练习例36（1）

求

解

例36（2）

求

解

令,则,且

时,,于是由例12得

练习例37

求

解

应用案例例38

设有一笔本金A0存入银行,年利率为r,则第一年年末结算时,其本利和为

若一年分两期计息,每期利率为,且前一期的本利和为后一期的本金,则第一年年末的本利和为

应用案例若一年分n期计息,每期利率为,且前一期的本利和为后一期的本金,则第t年年末的本利和为

称为第t年年末本利和的离散复利公式.

应用案例令,则表示利息随时计入本金,因此,第t年年末的本利和为

称为第t年年末本利和的连续复利公式.本金A0称为现在值或现值,第t年年末本利和An(t)或A(t)称为未来值.已知现在值A0,求未来值An(t)或A(t),称为复利问题；已知未来值An(t)或A(t),求现在值A0,称为贴现问题,这时称利率r为贴现率.

小结1.

极限存在性定理2.

两个重要极限

夹逼定理1.2.或谢谢！

§1.6

无穷小的比较

CONTENT1无穷小比较的概念2等价无穷小目录无穷小比较的概念Chapter1

引例引例

当

时,x,3x,x2,sinx都是无穷小量,也就是说,当

时,x,3x,x2,sinx都趋近于零.但是,它们趋近于零的速度有差异,见下表：

快慢是相对的.如,x2比3x趋近于零的速度要快得多,此时

sinx与

x趋近于零的速度大致相同,此时

第一部分：无穷小比较的概念定义19设

是在自变量变化的同一过程中的两个无穷小,且

(1)若

则称

是比

高阶的无穷小,记作

；

(2)若

则称

是比

低阶的无穷小；

(3)若

则称

与

是同阶的无穷小；特别地,若

则称

与

是等价无穷小,记作

；(4)若

则称

是

的k阶的无穷小.

练习例39证明:当

时,为x的四阶无穷小.证

因为故当

时,为x的四阶无穷小.例40当

时,求tanx-sinx关于x的阶数.解

因为故当

时,tanx-sinx为x的三阶无穷小.等价无穷小Chapter2第一部分：常用等价无穷小当时,常用的等价无穷小量：例如

当

时,.

第二部分：等价无穷小定理13设

是同一过程中的无穷小,且存在,则

证

定义设是同一变化过程中的两个无穷小量,如果则称与是等价无穷小量,记作~

练习例41求解

当

时,故

第二部分：等价无穷小注：(1)求两个无穷小量商的极限时,分子、分母可分别用它们的等价无穷小量代替.(2)只有当分子或分母为函数的乘积时，各个乘积项量代换.(3)对于和或差中的函数,一般不能分别用等价无穷小才可以分别用它们的等价无穷小量代换.

等价无穷小例42求解

练习例43求解

当

时,故

小结1.

无穷小比较的概念

高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小2.

等价无穷小小结3.

常用的等价无穷小当时,谢谢！

§1.7

函数的连续性

CONTENT1连续与间断的概念2连续函数的运算性质目录3闭区间上连续函数的性质连续与间断的概念Chapter1

引言

例

自然界中有许多现象和事物不仅是运动变化的,而且这种变化往往是连续不断的.如气温的变化,河水的流动都是随着时间而连续地变化,这些现象反映在数学上就是函数的连续性.第一部分：函数的增量

设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,当自变量x由变到时,函数y相应地由变到，因此函数相应的增量为注:

是一个不可分割的整体记号.第一部分：函数的增量当

趋于零时,函数

y对应的增量也趋向于零,即

那么就称函数

y=f(x)在点

处连续.第二部分：连续与间断的概念令则得当时,有而当时,有则定义20

设函数

f(x)在点

x0的某邻域内有定义.

(1)若,则称

f(x)在点

x0处连续,并称

x0为

f(x)

的一个连续点；

(2)若

f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称

f(x)在(a,b)内

连续；

(3)若

x0不是

f(x)的连续点,则称

x0为

f(x)的间断点,或称

f(x)在点

x0处间断.第二部分：连续与间断的概念第二部分：连续与间断的概念(1)函数

f(x)在点处有定义;函数

f(x)在点处连续,必须同时满足以下三个条件：(2)极限存在;(3)注：

练习例试证函数在x=0处连续.证几何解释：若

f(x)连续,则曲线

y=f(x)的图形是一条连续不间断的曲线；若

x0是

f(x)的间断点,则曲线

y=f(x)在点

处发生断裂.如图所示,函数

f(x)在区间(a,b)内共有三个间断点:x1,x2,x3.第二部分：连续与间断的概念第三部分：单侧连续的概念定义21(1)若

f(x)在点

x0的某左邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处左连续；若

f(x)在点

x0的某右邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处右连续.第三部分：单侧连续的概念定义21(1)若

f(x)在点

x0的某左邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处左连续；若

f(x)在点

x0的某右邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处右连续.(2)若

f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内连续,且在左端点a处右连续、在右端点b处左连续,则称

f(x)在闭区间[a,b]上连续.第三部分：单侧连续的概念注：函数f(x)在点处连续

练习例44讨论函数

在点

x=0和

x=1处的连续性.

解

在点

x=0处,有

由此可知

因此,f(x)在

x=0处连续.

练习例44讨论函数

在点

x=0和

x=1处的连续性.

解

在点

x=1处,有

因左、右极限不相等,故

不存在,故

x=1是

f(x)的间断点.

但是,由