辽宁省朝阳市喀左蒙古族自治县卧虎沟乡中学高二数学理测试题含解析

辽宁省朝阳市喀左蒙古族自治县卧虎沟乡中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣ B． C．1﹣ D．参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：A．2.复数满足，则=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.有5件产品．其中有3件一级品和2件二级品．从中任取两件，则以0.7为概率的是（）A．至多有1件一级品

B．恰有l件一级品

C．至少有1件一级品

D．都不是一级品参考答案：A4.若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga?lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】先根据a＞1，b＞1判断lga、lgb的符号，再由基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga?lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga?lgb的最大值是1故选B．【点评】本题主要考查基本不等式的应用．在应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”的要求．5.过点C(4,0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围()

A．|k|≥1

B．|k|>

C．|k|≤

D．|k|<1参考答案：B略6.函数f（x）=2+lnx在x=1处的导数为（）A．2 B． C．1 D．0参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=∴f（x）=2+lnx在x=1处的导数为1，故选：C．7.已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（

）A．11

B．10

C．9

D．16参考答案：A略8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（

）．A.25个 B.26个 C.36个 D.37个参考答案：C设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。考点：本题主要考查三角形构成条件、分类计数原理的应用。点评：结合三角形知识，将符合条件的三角形分成11类，运用分类计数原理得解。

9.设等差数列的首项为a，公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是（）A．a＞0，d＞0 B．a＞0，d＜0 C．a＜0，d＞0 D．a＜0，d＜0参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】先利用反证法证明d大于0，方法为：假设d小于0，由首项为a，公差为d，利用等差数列的通项公式表示出此数列的通项，假设ak小于0，则n大于k时，后面的项都为负数，这就与此数列只有负数项矛盾，故d不能小于0，得到d大于0，再根据此数列含有负数项，首项a必须小于0，从而得到满足题意的条件．【解答】解：若d＜0，由等差数列的通项公式得：an=a+（n﹣1）d，此时设ak＜0，则n＞k时，后面的项都为负数，与只有有限个负数项矛盾，∴d＞0，又数列有负数项，∴a＜0，则满足题意的条件是a＜0，d＞0．故选C10.若定义在上的函数在处的切线方程是，则f(2)+f’(2)=（）A．－2

B．－1

C．0

D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆与圆的位置关系是

．参考答案：相交12.设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是_______

参考答案：5-5i13.已知中，分别为内角的对边，且，则______．参考答案：，∴利用余弦定理可得，整理可得：，∴由余弦定理可得：，故答案为．14.设函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；②在区间（﹣∞，﹣4）内存在实数x，使得f（x）g（x）＜0成立；则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣4，﹣2）【考点】函数的值．【分析】由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立；由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．【解答】解：解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，则，∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0．又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．15.已知复数z满足z?（i﹣i2）=1+i3，其中i为虚数单位，则z=

．参考答案：﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由z?（i﹣i2）=1+i3，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【解答】解：由z?（i﹣i2）=1+i3，得=，故答案为：﹣i．16.直线被椭圆截得弦长是____

_____。

参考答案：417.设满足约束条件，求目标函数

的最小值

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足，.（1）求，，的值；（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.参考答案：（1）（2）试题分析：(1)利用递推关系可求得；(2)猜想，按照数学归纳法的过程证明猜想即可.试题解析：解:(1)计算得猜想证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即成立，则当时，，即时猜想成立由①②得对任意，有19.（本题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.（1）求an及Sn；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）设等差数列的公差为d，因为，所以解得，所以（2）由（1）知，所以，所以

20.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）通过补形，延长延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF，从而可证明CE∥BF，然后由线面平行的判定定理得证；（2）由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为，则点H到E点的距离应最小，由此得到H的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，利用已知条件证出BF⊥平面A1AB，从而得到∠EBH为平面A1BD与平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决．【解答】法一、（1）证明：如图，延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴C为AF的中点．∵E为AB的中点，∴CE∥BF．∵BF?平面A1BD，CE?平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，．∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．∴．∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，∴BF⊥平面A1AB．∵AB?平面A1AB，A1B?平面A1AB，∴BF⊥AB，BF⊥A1B．∴∠ABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）．在Rt△EHB中，=，cos∠ABA1=．∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．法二、（1）证明：如图，取A1B的中点F，连接DF、EF．∵E为AB的中点，∴EF∥AA1，且．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴EF∥CD，EF=CD．∴四边形EFDC是平行四边形．∴CE∥DF．∵DF?平面A1BD，CE?平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，．∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan=．∴．在Rt△EHB中，．∵Rt△EHB～Rt△A1AB，∴，即．∴AA1=4．以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），A1（0，0，4），B，D（0，2，2）．∴=（0，0，4），=，=（0，2，﹣2）．设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），由，，得，令y=1，则．∴平面A1BD的一个法向量为n=．∵AA1⊥平面ABC，∴=（0，0，4）是平面ABC的一个法向量．∴cos=．∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为．【点评】本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法．是中档题．21.（12分）（2015秋?洛阳期中）已知数列{an}的前n项和Sn=（）n﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当bn=log（3an+1）时，求数列{}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由Sn=（）n﹣1．当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．（2）bn=log（3an+1）=n，可得==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵Sn=（）n﹣1．当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）n﹣1﹣=．∴an=．（2）bn=log（3an+1）=n，∴==．∴数列{}的前n项和Tn=+…+=1﹣=．【点评】本题考查了递推关系应用、数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（本小题满分12分）几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.参考答案：.解：(1)证明：取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC，又因为△ABD为正三角形，