广东省惠州市石湾中学高二数学理联考试题含解析

广东省惠州市石湾中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=则AD和BC所成的角是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3..如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（***）A．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一参考答案：A略4.双曲线的渐近线方程为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A5.为测试一批新出厂的小米手机质量,从上产线上随机选取了200部手机进行测试,在这个问题中,样本指的是(

)A.小米手机 B.200 C.200部小米手机 D.200部小米手机的质量参考答案：D6.已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(

)A． B．2 C． D．3参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题7.抛物线的焦点坐标是(

).A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入参考答案：D略9.在中，角A，B，C的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.在等差数列{an}中，已知a1+a3+a11=6，那么S9=（）A．2 B．8； C．18 D．36参考答案：C考点：等差数列的前n项和．

专题：计算题．分析：先根据等差数列的通项公式，利用a1+a3+a11=6求得a1+4d的值，进而代入等差数列的求和公式求得前9项的和．解答：解：a1+a3+a11=3a1+12d=6，∴a1+4d=2∴S9==（a1+4d）×9=18故选C点评：本题主要考查了等差数列的前n项的和．考查了学生对等差数列基础知识的把握和应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知斜率为的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于、两点，则的长为

．参考答案：

椭圆的右焦点为（1，0），直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得x=0或，即有交点为，则弦长为，故答案为.12.设是定义在实数集R上的函数，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x≥1时，有，则的大小关系是

．参考答案：13.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为

参考答案：414.已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=．参考答案：﹣x4﹣x考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；转化思想．分析：先设x∈（0，+∞）得﹣x∈（﹣∞，0），代入已知的解析式求出f（﹣x），再由偶函数的关系式f（x）=f（﹣x）求出．解答：解：设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，∴f（﹣x）=﹣x﹣x4，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣x﹣x4，故答案为：﹣x4﹣x．点评：本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出f（﹣x）的关系式，再利用偶函数的关系式求出f（x）的表达式，考查了转化思想．15.若x>0,y>0,且2x+3y=6,则log2x+log2y的最大值是__________.参考答案：16.若“?x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为

．参考答案：1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“?x∈，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．17.某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为______.类别老年教师中年教师青年教师合计人数900180016004300参考答案：180.试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.故答案为：.考点：分层抽样.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知⊥平面，∥，=2，且是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面；

(III)

求此多面体的体积．

参考答案：解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=又AB∥DE，且AB=∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．

…………3分又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF∥平面BCE

…………5分

（Ⅱ）∵，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD∵AB⊥平面ACD，DE//AB

∴AF⊥平面CDE

…………8分又BP∥AF

∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE

…………10分(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高

…………14分略19.设t∈R，已知p：函数f（x）=x2﹣tx+1有零点，q：?x∈R，|x﹣1|≥2﹣t2．（Ⅰ）若q为真命题，求t的取值范围；（Ⅱ）若p∨q为假命题，求t的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（Ⅰ）利用q为真命题，转化列出不等式求解即可t的取值范围；（Ⅱ）求出两个命题都是假命题时的公共部分即可．【解答】解：（Ⅰ）若q为真命题，：?x∈R，|x﹣1|≥2﹣t2．可得2﹣t2≤0，解得t∈（﹣]．t的取值范围：（﹣]；（Ⅱ）p∨q为假命题，两个命题都是假命题；p为假命题，函数f（x）=x2﹣tx+1没有零点，即t2﹣4＜0．解得t∈（﹣2，2）．q为假命题，可得t．p∨q为假命题，t的取值范围．20.已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线,使得和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.

(1)求双曲线G的渐近线的方程；

(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点,求当的面积最大时点P的坐标.参考答案：解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx,则由渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝,所以k＝±,即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x.

…

3分(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2－4y2＝m,把直线的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程,整理得3x2－8x－16－4m＝0,则xA＋xB＝,xAxB＝－.(*)∵|PA|·|PB|＝|PC|2,P、A、B、C共线且P在线段AB上,∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2,即(xB＋4)(－4－xA)＝16,整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.将(*)代入上式得m＝28,∴双曲线的方程为－＝1.

…

7分(3)由题可设椭圆S的方程为＋＝1(a>2),设垂直于的平行弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),则＋＝1,＋＝1,两式作差得＋＝0.由于＝－4,x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0,所以－＝0,所以,垂直于的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆S内的部分.又由已知,这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,所以＝,即a2＝56,故椭圆S的方程为＋＝1.

…12分

由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点,易得切线m的方程为,解得切点坐标,则P点的坐标为

…14分21.已知等差数列{an}满足a2=2，点（a4，a6）在直线x+2y﹣16=0上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an+2，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由点（a4，a6）在直线x+2y﹣16=0上，可得a4+2a6﹣16=0，又a2=2，即∴3a1+13d﹣16=0，a1+d=2，解得a1，d，即可得出．（II）bn=an+2=n+2n．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵点（a4，a6）在直线x+2y﹣16=0上，∴a4+2a6﹣16=0，又a2=2，∴3a1+13d﹣16=0，a1+d=2，解得a1=d=1，∴an=1+（n﹣1）=n．（II）bn=an+2=n+2n．∴数列{bn}的前n项和Sn=+=+2n+1﹣2．22.已知函数f（x）=（x﹣1）2+ln（2x﹣1）．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；（2）记g（x）=alnx，若对任意x≥1，都有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再找到函数的单调性，即可求出函数的函数f（x）的极值点；（2）构造函数，，求证函数的最小值为0，即可．【解答】解：（1）f