【数学】基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课堂小结3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法.瞬时速度平均速度y=f(x)平均变化率瞬时变化率在x=

x0处函数y=f(x)在x=

x0处的导数P0Poxyy=f(x)割线切线T几何意义割线P0P的斜率切线P0T的斜率1.导数的定义如果当∆x→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或，即

从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derivedfunction)(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′，即复习引入2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

f

′(x0)就是切线的斜率，即3.如何求函数y=f(x)的导数?§5.2导数的运算

5.2.1基本初等函数的导数

高中数学人教A版（2019）选择性必修2探究新知1.函数

y＝f(x)＝c

的导数即也就是说任意一个常数的导数是0.追问：若y=c(如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0的物理意义是什么？若y=c表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.所以路程保持不变，是关于时间的常值函数.xyOy＝c2.函数

y＝f(x)＝x

的导数即若y=x(如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.xyy=xO追问：若y=x(如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1的物理意义是什么？3.函数

y＝f(x)＝x2

的导数即追问1：y′=2x的几何意义是什么？表示函数y＝x2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，

y′=2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y＝x2增加得越来越快.追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？某物体做变速直线运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.4.函数

y＝f(x)＝x3

的导数追问1：还有没有其它得到

的方法？即追问2：y′＝3x2的几何意义是什么？xyOy＝x3y′＝3x2表示函数y＝x3的图像上的点(x,y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.追问3：随着x的变化，函数y=x3的导数y′＝3x2也在变化，导数随x的变化反映出了函数y=x3怎样的变化？当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y=x3增增加得越来越快；当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x3增加得越来越慢.

从导函数的非负性来看，除x=0时函数的导数为0外，函数的导数恒为正，因此函数在定义域上恒为增函数.xyOy＝x35.函数

y＝f(x)＝

的导数x1—追问1:画出函数

的图象.根据函数

的图象，结合函数的导数，描述它的变化情况.

结合函数图象及其导数

发现，当x<0时，随着x的增加，函数减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢.追问2：求出曲线在点(1,1)处的切线方程.x+y-2=0即6.函数

y＝f(x)＝

的导数Oxy即追问1：该函数的定义域及其导数的定义域是否一样？不一样，原函数的定义域为{x|x≥0}，导数的定义域为{x|x>0}.问题:前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数——幂函数，根据这些幂函数的导数结果，你能总结出对于一般幂函数的导函数公式吗？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数表11121133114641151010511615201561[南宋]杨辉(n∈N*)《详解九章算法》记载的表公式证明：的情况.说明：实际上，此公式对n∈R都成立，但证明较复杂，此处只给出了n∈N*的证明．(n∈N*)看几个例子:练习.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.分析：这两个公式的证明需要用到三角函数的和差化积公式和重要的极限证明:(公式3)☆以下公式需熟记，但其推导过程不要求掌握，仅作了解证明:公式5：对数函数的导数

（1）重要极限

证明：

前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数．一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用．基本初等函数的导数公式必须熟记于心！【思路点拨】

解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导．提示：不正确．２．函数f(x)＝π＋2的导数．[解析]

∵π＋2为常数，∴f′(x)＝0.问题探究例3.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为

其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的