流体力学-理想流体的平面无旋运动

引言

在理想无旋流的条件下，进一步探讨流体运动微分方程的求解。论述势流理论的基本内容，引出不可压缩流体平面流动的流函数概念，重点讨论不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系以及求解势流问题的

方法。第六章理想流体的平面无旋运动第一节无旋流动的势函数第六章理想流体的平面无旋运动1无旋流动的势函数在无旋流动中：存在函数：第一节无旋流动的势函数按矢量分析

函数称为速度势函数。存在着速度势函数的流动，称为有势流动，简称势流。

从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是恒定流动还是非恒定流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。第一节无旋流动的势函数势函数在某一方向上的偏导数等于速度在该方向的分量。势函数的性质：第一节无旋流动的势函数

势函数是调和函数不可压缩流体的连续性方程为：即拉普拉斯方程式中为拉普拉斯算子，称为拉普拉斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。第一节无旋流动的势函数在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续性方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。第一节无旋流动的势函数③任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差。而与曲线的形状无关。这样，将求环量问题变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即。第二节平面无旋运动第六章理想流体的平面无旋运动1流函数在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：存在流函数：

一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数。第二节平面无旋运动流函数的性质：（1）等流函数线即是流线。流线等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。（2）两流线间的流函数差值，等于两流线间的单宽流量。第二节平面无旋运动第二节平面无旋运动（3）平面势流的流函数是调和函数。2平面无旋流动（1）势函数为调和函数。把势函数值都相等的点连起来形成的曲线为等势线，等势线的方程为（2）流函数为调和函数。例题一一平面流场的速度分布为问：１）是否存在流函数？如存在，求出流函数；２）是否存在势函数？如存在，求出势函数。解：１）因为所以该流场是不可压缩流体的平面运动，存在流函数。２）计算涡量所以不存在势函数例题二已知速度势，求流函数，并画出通过点（1，1）的流线与等势线。写出点（1，1）处流线与等势线的法向，证明他们相互正交。解：解：因，故等势线通过（1，1）的等势线为通过（1，1）的法线方向流线即等流函数线为通过（1，1）的流线为通过（1，1）法线方向显然，两法线法向正交。第二节平面无旋运动3流函数与势函数的关系（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。（柯西-黎曼条件）

和互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。当势函数和流函数二者知其一时，另一个则可利用共轭关系求出，而至多相差一任意常数。（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交。第二节平面无旋运动4平面无旋运动的流网

流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线簇构成的正交网格。其存在条件是不可压缩平面势流。第二节平面无旋运动流网的性质：

组成流网的流线与等势线互相垂直，即等流函数线与等势线互相垂直。

网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之比。如取则网格成正方形。第二节平面无旋运动

流网内任一点A，的增值方向与方向一致；的增值方向为方向向正y轴旋转90°后所得的方向。

第二节平面无旋运动流网的绘制：1）固体边界本身就是流线之一，等势线与边界正交。2）自由液面必是流线。3）根据流动的大致方向，按照事先选定的网格比例绘制出流线簇和等势线簇流网的应用：有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布，从而也可以得出压力分布。即在流场中，流线愈密集的地方，其流速愈大，而压力愈小。它是求解稳定平面势流的近似图解法。第二节平面无旋运动第三节基本平面势流第六章理想流体的平面无旋运动1均匀直线运动流场内速度的大小和方向均为常值的流动。也称为等速平行流。实例：均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板。第三节基本平面势流特例：①若，流动平行于y轴，则②若，流动平行于x轴，则等势线族和流线族在流场内处处正交，且都为平行直线。第三节基本平面势流2点源及点汇（1）点源

设某平面有一产生流体的源泉O，流体自源泉O点流出后沿一平面均匀的向四方作扩散流动，这种扩散运动叫着点源运动。单位时间流出的流体体积Q称为源强。实例：泉眼向各方的流动；离心式水泵叶轮内的流体运动。第三节基本平面势流第三节基本平面势流极坐标表示为:第三节基本平面势流（2）点汇

当产生流体的源泉O改为吸收流体的汇聚点O，四周流体均匀的向汇聚点集中，这种运动叫着点汇运动。点汇运动与点源运动仅符号相反。实例：地下水向井中的流动。极坐标表示为：第三节基本平面势流注意：①

点源和点汇的流函数并不是单值的，因为从出发回转一圈到起始点，这时的值并不等于零而是等于，因此流经包围源(或汇)点的任何封闭曲线上的流量并不等于零。②

因为当时，点源和点汇的速度势函数和速度均为正无穷大或负无穷大，源点或汇点是奇点，所以速度势函数和速度的表示式只有在源点或汇点以外才能使用。第三节基本平面势流3点涡

流场中各流体质点均绕某点O以辐向流速（c为常数）作圆周运动，因而流线为同心圆簇，而等势线则为自圆心O发出的射线簇，这种流动称为点涡(环流)。实例：自然界中龙卷风；离心式水泵;

离心式除尘器等。第三节基本平面势流极坐标表示为：第四节势流的叠加第六章理想流体的平面无旋运动1势流叠加原理

几个简单势流叠加组合成的较为复杂的流动仍为势流（复合势流），且各函数间的关系如下：第四节势流的叠加2源环流动点源流动与点涡流动叠加。实例：容器底部小孔旋转出流，旋风除尘器、旋风燃烧室、离心式水泵叶轮内流体。第四节势流的叠加流线是一簇对数螺形线；等势线是与流线正交的螺形线。流线方程为：等势线方程为：3偶极流

偶极流是把源点及汇点间距无穷小的等强度点源和点汇叠加起来形成的流动。

设点源（Q）与点汇（－Q）间的距离为2a，则任意点M的速度势为：第四节势流的叠加第四节势流的叠加

若存在（M为偶极强度），这样的源汇点叫偶极点。第四节势流的叠加流线方程为：

偶极流的流线是一族圆心在y轴上的圆族，并在坐标原点与x轴相切；等势线是一族圆心在x轴上的圆周族，并在坐标原点与y轴相切。第四节势流的叠加4均匀直线流中的偶极流——圆柱绕流

偶极点在坐标原点的偶极流与沿x

轴的均匀直线流（）叠加而成。实例：河水流过桥墩，风吹过烟囱。流线方程为：其中，