陕西省西安市中铁学校2022年高二数学理联考试题含解析

陕西省西安市中铁学校2022年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：B【考点】72：不等式比较大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出．【解答】解：=，．∵，∴，∴b＜c．∵=4，∴．即c＜a．综上可得：b＜c＜a．故选：B．【点评】本题考查了有理化因式和不等式的性质，属于基础题．2.点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（

）A．圆

B．椭圆

C．双曲线的一支

D．直线参考答案：D3.已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P（1，3），离心率为的双曲线的标准方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），把点P的坐标代入即可得出．【解答】解：∵，∴a=b，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），又点P（1，3）在双曲线上，则λ=1﹣9=﹣8，∴所求双曲线的标准方程为．故选D．4.已知函数则不等式≥的解集为

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C略5.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.下列说法正确的是

A、三点确定一个平面

B、四边形一定是平面图形

C、梯形一定是平面图形

D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点参考答案：C7.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则=(

)（A） （B）－4 （C）4 （D）参考答案：A8.过点（2，1）的直线中，被圆截得的弦长为最大的直线方程为（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：A略9.设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为(

)A.x±y=0

B.x±y=0

C.x±=0

D.±y=0参考答案：D10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于()

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足不等式组,则的最小值为_________。

参考答案：12.已知A(1,2),P(x,y)满足,则_________参考答案：13.曲线在点处的切线斜率为________.参考答案：0【分析】求出原函数的导函数，得到函数在该点处的导数值，即为曲线在点处的切线的斜率.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线的斜率0.【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线的斜率的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目.14.双曲线的一个焦点为,则的值为___________,双曲线的渐近线方程

为___________.参考答案：－1;15.已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是

．参考答案：1﹣【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12﹣=12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，故答案为：1﹣．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．16.设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得...的值为：

.参考答案：11.略17.椭圆+=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为．参考答案：4【考点】椭圆的简单性质．【分析】先将椭圆方程化为参数方程，再求圆心到直线的距离d，利用三角函数的性质求其最大值，故得答案．【解答】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）则P到直线的距离为d==，当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4，故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考答案：因为，所以有的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。19.（本小题满分12分）设椭圆=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点，求出这个圆的方程.参考答案：（1）设F1(－c,0)，F2(c,0)

|DF1|= 又=2

∴∴a=，b=1∴椭圆方形为. （2）设圆心在y轴上的圆与椭圆交于A(x0,y0)，B(－x0,y0)

F1A，F2B是圆C的两条切线

F1(－1,0)，F2(1,0)

=(x0+1,y0)，=(－x0－1,y0)

⊥∴－(x0+1)2+y02=0 ………………①即y02=(x0+1)2 而+y02=1 ………………②由①②得：∴x0=－，y0=∴A(－,)，B(,)设圆心为C(0,m)则=(,m－)

=(－,)

⊥，－+m－=0

m=∴圆心C(0,)，半径r=∴圆方程为x2+(y－)2=.20.已知函数（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值；参考答案：(1)在上单调递增，在上单调递减.(2)最大值为0，最小值为.【分析】通过求导函数判断函数单调性，进而判断函数在的最值.【详解】（1）的定义域为.对求导得，因函数定义域有，故，由.∴在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，∴在上的最大值为.又，，且，∴在上的最小值为，∴在上的最大值为0，最小值为.【点睛】此题是函数单调性和函数最值的常见题，通常利用导数来处理。21.如图所示，四棱锥P

ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点，二面角PADB为60°．（1）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60?，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90?，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．又BE?平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．解：（2）连接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．∵PB=，∠ABP为直角，MB=PB=，∴AM=，∴EF=．又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB==．∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接PE，BE，由已知推导出∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，推导出BE⊥PB，BE⊥BC，由此能证明平面PBC⊥平面ABCD．（2）连接BF，由BE⊥平面PBC，得∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解答：证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60?，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90?，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．又BE?平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．解：（2）连接BF