河南省商丘市刘楼联合中学高二数学理上学期期末试卷含解析

河南省商丘市刘楼联合中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：因为：=====．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．2.已知直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）过点（1，2），则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．1参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】根据直线过点（1，2），求出a，b的关系．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）过点（1，2），可得：2a+2b=2，即a+b=1．则=（）（a+b）=2+=4．当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值为4．故选C．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．3.已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C4.命题p：?x0＞1，使x02﹣2x0﹣3=0，则?p为（）A．?x＞1，x2﹣2x﹣3=0 B．?x＞1，x2﹣2x﹣3≠0C．?x0≤1，x02﹣2x0﹣3=0 D．?x0≤1，x02﹣2x0﹣3≠0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】特称命题：?x0＞1，使x02﹣2x0﹣3=0的否定是：把?改为?，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即?x＞1，x2﹣2x﹣3≠0【解答】解：特称命题：?x0＞1，使x02﹣2x0﹣3=0的否定是全称命题：?x＞1，x2﹣2x﹣3≠0．故选B．【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可．5.下列命题①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤﹣3，则x2+x﹣6≥0”的否命题．其中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用四种命题定义及其之间的关系即可得出．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x+y=0”正确；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题为：“若a2≤b2，则a＜b”，不正确；③“若x≤﹣3，则x2+x﹣6≥0”的否命题为：“③“若x＞﹣3，则x2+x﹣6＜0”不正确．综上可知：只有①．故选：B．6.已知定义在R上的函数f(x)满足其导函数在R上恒成立，则不等式的解集为（

）A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(1,+∞)

D．(－∞,－1)∪(1,+∞)参考答案：D7..已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足的x取值范围是（

）A.（﹣1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（﹣1，1）参考答案：B【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,【详解】首先函数定义域是R，再者根据和偶函数在区间上单调递增，可得，解得，故选B.【点睛】本题是基础题，考查偶函数的性质.8.命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．【解答】解：命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”．故选：D．9.已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．+=4 B．+=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=2参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，并表示出e1和e2，根据椭圆和双曲线的定义、勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论．【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，则e1=，e2=，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|=2m

①由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|=2a

②又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2

③①2+②2得，|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③得，a2+m2=2c2，即，即，故选：B．10.已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4π B．3π C．2π D．π参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L7：简单空间图形的三视图；LR：球内接多面体．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若两条直线x+ay+3=0，（a﹣1）x+2y+a+1=0互相平行，则这两条直线之间的距离为_____．参考答案：∵两条直线互相平行，∴，解得或（舍）．这两条直线之间的距离为：故答案为．

12.过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，为右焦点,若是正三角形，则椭圆的离心率为

.参考答案：13.用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有

人.参考答案：高二抽取45-20-10=15人，由得

x=90014.如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求直线与平面的所成角的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．是正三角形，．又底面侧面，且交线为．侧面．连，则直线与侧面所成的角为．

在中，，解得．

此正三棱柱的侧棱长为．

（Ⅱ）解：过作于，连，侧面．为二面角的平面角．

ks5u

在中，，又，

．又

在中，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．

在中，．

为中点，点到平面的距离为．

答案：

15.设满足线性约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为__________．参考答案：略16.如图，已知可行域为△ABC及其内部，若目标函数z=kx+y，当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是

.

参考答案：17.已知的值如表所示：如果与呈线性相关且回归直线方程为，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数的值；（Ⅱ）若，求在区间上的最大值．参考答案：（Ⅰ）因为

令，得，所以，随的变化情况如下表：00极大值极小值

所以

(II)因为所以当时，对成立

所以当时，取得最大值

当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值

当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值

当时，在时，，单调递减

在时，，单调递增又，

当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值.

综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值当时，在取得最大值.19.已知函数f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈，可求范围x+∈，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈，∴x+∈，∴sin（x+）∈，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈，∴可解得f（x）在区间上的最小值为：﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即kPE?kAB=﹣1，所以?k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．21.在△ABC中，bsinA=acosB． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值． 参考答案：【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=，由此求得B的值． （Ⅱ）由条件利用正弦定理得c=2a，再由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，求得a的值，可得c=2a的值，求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB， 由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB， 故有tanB=， ∴B=． （Ⅱ）∵sinC=2sinA，∴c=2a， 由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+4a2﹣2a2acos， 解得a=，c=2a=2． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．22.设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢