湖南省湘潭市第十二中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

湖南省湘潭市第十二中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B令x=c代入双曲线的方程可得，由|F2Q|>|F2A|,可得，即为3>2=2(?)，即有①又恒成立，由双曲线的定义,可得c恒成立，由,P,Q共线时,取得最小值，可得，即有②由e>1，结合①②可得，e的范围是.故选：B.

2.椭圆上有一点P到左准线的距离是5，则点P到右焦点的距离是（

）

A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：C3.若，则

的最小值为（

）A

2

B

4

C

8

D

16参考答案：B4.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两动点，且EF＝2，则三棱锥P－QEF的体积为A.

B.

C.8

D.16参考答案：A5.如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1，P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点求出底面面积高，即可求出四棱锥B﹣APQC的体积．【解答】解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1

则V=SABC?h=?1?1??1=

认为P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点

则VB﹣APQC=SAPQC?=

（其中表示的是三角形ABC边AC上的高）

所以VB﹣APQC=V故选B6.若点A（1，m-1,1）和点B(-1,-3,-1)关于原点对称，则m=（

）A.-4

B.4

C.2

D.-2参考答案：B略7.如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=(

) A．15° B．30° C．45° D．60°参考答案：B考点：弦切角．专题：计算题．分析：根据所给的圆的直径和BC的长，得到三角形的一个锐角是30°，根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到另一个直角三角形的角的度数，即为所求．解答： 解：∵圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3∴∠BAC=30°，∠B=60°，∵过C作圆的切线l∴∠B=∠ACD=60°，∵过A作l的垂线AD，垂足为D∴∠DAC=30°，故选B．点评：本题考查弦切角，本题解题的关键是同弧所对的圆周角和弦切角相等和含有30°角的直角三角形的应用，本题是一个基础题．8.如图，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是(

)A．①③④

B．②③④

C．①②④

D．①②③参考答案：D略9.抛物线的准线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.设x∈R，则x>e的一个必要不充分条件是A.x>1

B.x<1

C.x>3

D.x<3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“，”的否定是

．参考答案：12.命题“对任何”的否定是________参考答案：略13.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定抛物线的焦点坐标，准线方程，求出直线AF的方程，进而可求点A的坐标，由此可求△AKF的面积【解答】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1∵∠AFO=120°（O为坐标原点），∴∴直线AF的方程为：代入抛物线方程可得：3（x﹣1）2=4x∴3x2﹣10x+3=0∴x=3或∵∠AFO=120°（O为坐标原点），∴A（3）∴△AKF的面积是故答案为：【点评】本题以抛物线的性质为载体，考查三角形面积的计算，求出点A的坐标是关键．14.（本大题12分）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成角的余弦值参考答案：直线AM和CN所成角的余弦值为15.已知数列的前项和，则数列的通项公式为____________。参考答案：略16.在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，，E是CD的中点，则

.参考答案：17.若复数是纯虚数，则实数＝____________.参考答案：-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据正弦定理将边化角，利用两角和的正弦函数公式化简得出cosA；（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，又A∈（0，π），∴sinA≠0，∴．（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即，∴b2+c2=9+bc≥2bc，∴．∵sinA==，∴△ABC的面积，（时取等号）∴．19.（本小题满分14分）已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且.（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．参考答案：解：（1）∵，且边通过点，∴直线的方程为．…1分设两点坐标分别为．由，得．…3分∴．………4分又边上的高等于原点到直线的距离．∴，．………6分（2）设所在直线的方程为，由得．………8分因为A,B在椭圆上，所以．设两点坐标分别为，则，，所以．………12分又因为的长等于点到直线的距离，即．所以．所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为．………1

略20.如图，在三棱锥中，已知△是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且，（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由．

参考答案：解一：（1）取AC的中点H，因为AB＝BC，所以BH⊥AC．因为AF＝3FC，所以F为CH的中点．因为E为BC的中点，所以EF∥BH．则EF⊥AC．因为△BCD是正三角形，所以DE⊥BC．因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE．因为AB∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC．所以DE⊥AC．因为DE∩EF＝E，所以AC⊥平面DEF（2）（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．所以当CF＝CN时，MN∥OF．所以CN＝解二：建立直角坐标系

略21.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图形如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低总造价。参考答案：略22.（14分）已知函数．（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；参考答案：（1）由，得，……（2分）令，得或．

……（3分）列表如下：0

00极小值极大值……（5分）由，，∴，即函数在上的最大值为，

……（6分）∴．