2022-2023学年浙江省金华市金东实验中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年浙江省金华市金东实验中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设g（x）为R上不恒等于0的奇函数，（a＞0且a≠1）为偶函数，则常数b的值为（）A．2B．1C．D．与a有关的值参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由g（x）是奇函数，f（x）是偶函数，则根据函数奇偶性的性质可得出函数为奇函数，然后利用f（﹣x）=﹣f（x），建立方程求出常数b的值．【解答】解：因为g（x）是奇函数，f（x）是偶函数，则根据函数奇偶性的性质可得出函数为奇函数，所以m（﹣x）=﹣m（x），即即，解得b=2．故选A．2.设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：因为x∈R，“x＞1“?“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．故选：C．3.抛物线y2＝8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为()A．1

B.

C.

D.参考答案：A4.平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为(

)A.椭圆

B.圆

C.椭圆或线段或不存在

D.不存在参考答案：C略5.过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0参考答案：D【考点】直线的截距式方程．【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=﹣2x，即2x+y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k=﹣3，故直线方程是x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．6.在△ABC中，若，则△ABC是（）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形参考答案：B【考点】GZ：三角形的形状判断；HP：正弦定理．【分析】由题中等式结合正弦定理，算出A=B=，由此可得△ABC是以C为直角的等腰直角三角形．【解答】解：∵，∴结合正弦定理，可得sinA=cosA，因此tanA=1，可得A=．同理得到B=∴△ABC是以C为直角的等腰直角三角形故选：B7.已知全集，，，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选B．9.已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{3} B．[3，5）∪{} C．[，]∪{5} D．[3，7）∪{}参考答案：D【考点】5B：分段函数的应用；3O：函数的图象．【分析】若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则函数y=logax，与y=|x﹣5|﹣1上有且只有一个交点，解得：实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，∴函数y=logax，与y=|x﹣5|﹣1上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣1）点时，a=，当对数函数的图象过（3，1）点时，a=3，当对数函数的图象过（7，1）点时，a=7，故a[3，7）∪{}，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象，数形结合思想，难度中档．10.在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程．【详解】在中，令，得，所以圆C的圆心坐标为（2，0）.因为圆C经过点，所以圆C的半径，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为.故选：A【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点处的切线方程为

．（化成“直线的一般式方程”）

参考答案：12.在△ABC中，，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，，则的值________．参考答案：【分析】由角平分线定理可得，，则有，将代入化简即可求得结果.【详解】如图，在中，，角的平分线与边上的中线交于点，由角平分线定理可得，，则，即有，，解得.所以本题答案为.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，利用基底向量表示目标向量是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.13.已知数列的前项的和为，则数列的通项公式为

参考答案：14.(文)设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有

个.参考答案：6略15.数列数列﹣3，5，﹣7，9，﹣11，……的一个通项公式为．参考答案：an=（﹣1）n（2n+1）考点;数列的函数特性．专题;等差数列与等比数列．分析;设此数列为{an}，其符号为（﹣1）n，其绝对值为2n+1，即可得出．解答;解：设此数列为{an}，其符号为（﹣1）n，其绝对值为2n+1，可得通项公式an=（﹣1）n（2n+1）．故答案为：an=（﹣1）n（2n+1）．点评;本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.设中的变量满足条件，则的最大值是

参考答案：1417.命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是．参考答案：?x∈R，sinx＞1【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时?对应?，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是：?x∈R，sinx＞1．故答案为：?x∈R，sinx＞1．【点评】本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB=∴，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x≠±）（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0∴x1+x2=，x1x2=0，|MN|=，整理得，k4+k2﹣2=0，解得k2=1，或k2=﹣2（舍）∴k=±1，经检验符合题意．∴直线l的方程是y=±x+1，即：x﹣y+1=0或x+y﹣1=019.设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.详解：解：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0?↗极大值↘

∴x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：x1+0?0+↗极大值↘极小值↗

∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：x+0?0+↗极大值↘极小值↗

∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：x?0+0?↘极小值↗极大值↘

∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.20.已知函数，，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值．（Ⅱ）设函数，若在区间内存在唯一的极值点，求的值．（Ⅲ）用表示，中的较大者，记函数．函数在上恰有个零点，求实数的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算，求出的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的的值即可；（Ⅲ）通过讨论的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）易得，，所以，依题意，，解得；（Ⅱ）因为，则．设，则．令，得．则由，得，为增函数；由，得，为减函数；而，．则在上有且只有一个零点，且在上，为减函数；在上，为增函数．所以为极值点，此时．又，，则在上有且只有一个零点，且在上，为增函数；在上，为减函数．所以为极值点，此时．综上或．（Ⅲ）（）当时，，依题意，，不满足条件；（）当时，，，①若，即，则是的一个零点；②若，即，则不是的零点；（）当时，，所以此时只需考虑函数在上零点的情况．因为，所以①当时，，在上单调递增．又，所以（i）当时，，在上无零点；（ii）当时，，又，所以此时在上恰有一个零点；②当时，令，得．由，得；由，得；所以在上单调递减，在上单调递增．因为，，所以此时在上恰有一个零点；综上，．21.已知函数．(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)证明：(e为自然对数的底)恒成立．参考答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)取，有，即，求出(当且仅当时等号成立)，问题转化为证明在上恒成立即可，设，根据函数的单调性证明即可．【详解】(Ⅰ)解：函数的定义域为，当时，恒成立，所以在内单调递增；当时，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减(Ⅱ)证明：由(1)可知，当时，特别地，取，有，即，所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可设，则，当时，单调递减，当时，单调递增．故当时，，即在上恒成立因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立或：令，则，再令，则，由知，存在，使得，得，由可证，进而得证．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想。22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知可得EG∥PB，从而可证EG∥平面PAB，则只要再证明EF∥平面PAB，即证EF∥AB，结合已知容易证，根据平面与平面平行的判定定理可得．（2）若使得PC⊥平面ADQ，即证明PC⊥平面ADE，当Q为PB的中点时，PC⊥AE，AD⊥PC即可．（3）欲证平面EFG⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PAD垂直，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，满足线面垂直的判定定理，则CD⊥平面PAD，再根据EF∥CD，则EF⊥平面PAD，满足定理条件，取AD中点H，连接FH，GH，在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，则DO⊥平面EFGH，DO即为D到平面EFG的距离，在三角形PAD中，求出DO即可．【解答】解：（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG∥PB，∵EG?平面PAB，PB∥平面PAB∴EG∥平面PAB又E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又AB∥CD∴EF∥AB∵EF?平面PAB，AB?平面PAB∴EF∥平面PAB，又∵EG，EF