山西省大同市机厂中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析

山西省大同市机厂中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a≤+lnx对任意恒成立，则a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】构造函数令f（x）=+lnx，利用导函数判断函数的单调性，利用单调性求出其最小值即可．【解答】解：令f（x）=+lnx，∴f'（x）=（1﹣），当x∈[，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）递增；∴f（x）≥f（1）=0；∴a≤0．故选A．2.若函数y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】计算题；数形结合． 【分析】根据y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，得到a＜0，b＜0，对二次函数配方，即可判断y=ax2+bx在（0，+∞）上的单调性． 【解答】解：∵y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数， ∴a＜0，b＜0， ∴y=ax2+bx的对称轴方程x=﹣＜0， ∴y=ax2+bx在（0，+∞）上为减函数． 故答案B 【点评】此题是个基础题．考查基本初等函数的单调性，考查学生熟练应用知识分析解决问题的能力． 3.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,可得，长轴长等于圆，即的半径，a=2，则b=1，所求椭圆方程为：.

4.i是虚数单位，（1﹣i）Z=2i，则复数Z的模|Z|=（）A．1 B． C．D．2参考答案：B【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵（1﹣i）Z=2i，∴，则|Z|=．故选：B．5.若，则（

）A.1 B.2 C.4 D.6参考答案：C分析：由导函数定义，，即可求出结果.详解：∵f′（x0）=2，则===2f′（x0）=4．故选C．点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题.6.下列函数中，在区间(0，)上是增函数的是A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.从4台联想电脑和5台实达电脑中任选3台，其中至少含有联想电脑与实达电脑各1台，则不同的取法有（

）种.A.35

B.70

C.84

D.140参考答案：B8.已知，猜想的表达式为

（

）A.；

；

C.；

D..参考答案：C略9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．1B．2C．3D．4参考答案：C10.将8分为两数之和，使其立方之和最小，则分法为()A．2和6

B．4和4

C．3和5

D．以上都不对参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且满足，则xy的最大值为

.参考答案：3

12.在上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是___________________________。参考答案：13.已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是________________．参考答案：14.把圆周4等分，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进，掷一个各面分别写有数字1,2,3,4且质地均匀的正四面体，P从点A出发按照正四面体底面上所掷的点数前进（数字为n就前进n步），转一周之前继续投掷，转一周或超过一周即停止投掷。则点P恰好返回A点的概率是

参考答案：15.若复数对应的点落在直线上，则实数的值是

参考答案：略16.若x、y∈R+,x+4y=20,则xy的最大值为

．参考答案：2517.设球的半径为时间的函数。若球的表面积以均匀速度增长，则球的体积的增长速度与球半径

（

）A.成正比，比例系数为

B.成反比，比例系数为

C.成反比，比例系数为

D.成正比，比例系数为参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.今年来，网上购物已经成为人们消费的一种趋势，假设某网上商城的某种商品每月的销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式：y=+4（x﹣6）2，其中1＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/件时，每月可售出20千件．（1）求m的值；（2）假设每件商品的进价为1元，试确定销售价格x的值，使该商城每月销售该商品所获得的利润最大．（结果保留一位小数）．参考答案：考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）把x=4，y=20代入关系式y=+4（x﹣6）2，解方程即可解出m；（2）利用可得每月销售饰品所获得的利润f（x）=（x﹣1）[+4（x﹣6）2]，利用导数研究其定义域上的单调性与极值最值即可得出．解答： 解：（1）∵x=4时，y=20，代入关系式y=+4（x﹣6）2，得+4×22=20，解得m=12．（2）由（1）可知，饰品每月的销售量y=+4（x﹣6）2，∴每月销售饰品所获得的利润f（x）=（x﹣1）[+4（x﹣6）2]=4（x3﹣13x2+48x）﹣132，（1＜x＜6），从而f′（x）=4（3x2﹣26x+48）=4（3x﹣8）（x﹣6），（1＜x＜6），令f′（x）=0，得x=，且在1＜x＜上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在＜x＜6上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴x=是函数f（x）在（1，6）内的极大值点，也是最大值点，∴当x=≈2.7时，函数f（x）取得最大值．即销售价格为2.7元/件时，该店每月销售饰品所获得的利润最大．点评：本题主要考查函数的应用问题，求函数的解析式，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．19.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且。（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交抛物线于，两点,求证:.参考答案：（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：，则点的坐标为，点的一个坐标为， 2分∵，∴， 4分∴，∴，∴. 6分（Ⅱ）设、两点坐标分别为、，法一：因为直线当的斜率不为0，设直线当的方程为方程组得，因为所以=0，所以.法二：①当的斜率不存在时，的方程为，此时即有所以.……8分2

当的斜率存在时，设的方程为方程组得所以 10分因为所以所以.由①②得. 12分20.（本题12分）双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程.

参考答案：解：，可设双曲线方程为,点在曲线上，代入得21.已知函数f（x）＝xex﹣ax2﹣x；（1）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求a的值及f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）见解析（2）a≤e﹣1【分析】（1）求出f′（x），得到f′（﹣1）＝0，解出即可；（2）当x＞1时，f（x）＞0，转化为a，设g（x），（x＞1），则利用导数求出g（x）的最小值，即可求得a的取值范围．【详解】1）f′（x）＝（x+1）ex﹣2ax﹣1，若f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝2a﹣1＝0，解得：a，故f（x）＝xexx2﹣x，f′（x）＝（x+1）ex﹣x﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增；故单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；减区间为（﹣1，0）（2）x＞1时，f（x）＝xex﹣ax2﹣x＞0，即a，设g（x），（x＞1）∴g′（x）0，∴g（x）在（1，+∞）递增，g（x）＞g（1）＝e﹣1，∴a≤e﹣1．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法解决，转化成求函数的最值问题，涉及了利用导数求函数的最值，属于中档题．22.已知函数f（x）=x3﹣x2+x．（1）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可；（2）求出函数g（x）的导数，解