四川省遂宁市安居中学2022年高二数学理测试题含解析

四川省遂宁市安居中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量＝(cos120°，sin120°)，＝(cos30°，sin30°)，则△ABC的形状为A．直角三角形

B．钝角三角形C．锐角三角形

D．等边三角形参考答案：A2.设，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－)是极小值，f()是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③

B．①②

C．②

D．①②③参考答案：B4.为了解班级前10号同学的作业完成情况，随机抽查其中3位同学，相邻两个号数不同时抽查，则不同的抽查的方法数为（

）A．56

B．84

C．112

D．168参考答案：A若抽查的两人号数相邻，相邻号数为1，2或9,10时有7种方法，相邻号数不为1，2或9,10时有6种方法，3个号数均相邻的方法有8种，据此可知，满足题意的不同的抽查的方法数为：.本题选择A选项.

5.条件p：不等式的解；条件q：不等式x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式的解法分别解出p，q，即可判断出关系．【解答】解：条件p：不等式，可得：（x﹣3）（x+1）≤0，x+1≠0，解得﹣1＜x≤3；条件q：不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．则p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.(文科)是方程为的曲线表示椭圆时的

A．充分条件

B．必要条件

C．充分必要条件

D．非充分非必要条件参考答案：B7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则p=（

）A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.3参考答案：C【分析】首先确定随机变量X所服从的分布列，然后结合分布列的计算公式可得p的值.【详解】由题意可知：，则：，解得：或0.6，，则：，整理可得：，故.故选：C.【点睛】本题主要考查二项分布的数学期望公式，二项分布的概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1

B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．10.已知等差数列的前13项的和为39，则（

）

A.6

B.12

C.18

D.9参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】正弦定理；三角形的面积公式．【分析】由已知及tanC=可求tanC，进而可求C，然后由余弦定理可得，可求AC，代入可求【解答】解：∵sinC=cosC，∴tanC==∵C∈（0，π）∴∵AB=，BC=1，由余弦定理可得，=∴∴AC=2，==故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式12.已知函数，则的解析式为_________.参考答案：【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令，则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点13.函数在上单调递增，则实数a的取值范围为_________．参考答案：14.已知命题“p:m﹤-3,q:--m=0无实根”，则p是q的

条件。参考答案：充分不必要15.若，，，且的最小值是___.参考答案：9【分析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可．【详解】∵，，，,当且仅当时“=”成立，故答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．16.在正项等比数列中，为方程的两根，则等于

.参考答案：略17.关于函数的性质描述，正确的是________.

①f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]；

②f(x)的值域为(－1,1)；③f(x)在定义域上是增函数；

④f(x)的图象关于原点对称；参考答案：①②④【分析】函数的定义域为，故，所以为奇函数，故①④正确，又，故可判断②正确，③错误．【详解】由题设有，故或，故函数的定义域为，故①正确．当，，此时，为上的奇函数，故其图像关于原点对称，故④正确．又，当时，；当时，，故的值域为，故②正确．由可得不是定义域上增函数，故③错．综上，选①②④．【点睛】对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，为的中点，平面交于点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.参考答案：证明：（1）因为，分别为，的中点，，所以.因为，所以.因为底面，所以.因为，所以平面.所以.因为，所以平面因为平面，所以.（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，.由（1）可知，平面，所以平面的法向量为.设平面的法向量为因为，，所以即令，则，，所以，所以所以二面角的余弦值.19.（本小题满分14分）已知圆的方程是x2＋y2＝5，且圆的切线满足下列条件，求圆切线方程（1）过圆外一点Q（3，1）（2）过圆上一点P（-2，1）

参考答案：（1）若直线不与x轴垂直时，设切线方程为y-1＝k（x-3），则圆心（0，0）到切线的距离等于半径即T（1-3k）2＝5（k2＋1）Tk＝，k＝2若直线与x轴垂直时，x＝3，与圆相离，不合题意；综上所述，所求的切线方程是：x＋2y-5＝0，2x-y-5＝0························7分20.(13分)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；参考答案：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的正切值为2.解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

·n=3x+y=0，

取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)，·n=-x+z=0，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，)==.二面角N-CM-B的正切值为2.21.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°-sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°-sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°-sin18°cos12°；

④sin2(-18°)＋cos248°-sin(-18°)cos48°；⑤sin